книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

/=i

Установленное таким образом u \t) является оптимальным иерархи­

ческим решением первой стороны, а ситуация

(и0( 0 , < ( О А ( ' ) , г д е W® е Л,(« “(/)),

называется ситуацией равновесия по Штакедьбергу в иерархической ди­ намической операции; R,(u(t)) — множество оптимальных реакций п сторон второго уровня на управление u(t); это множество при каждом u(t) интерпретируется как множество ситуаций равновесия в бескоали­

ционном (стороны второго уровня действуют в конфликте независимо друг от друга) динамическом конфликте. Ситуация

где и°(0 = aig max F(u(t),6,(t)e R,(u(t))),

R, («(0) = arg max F, (w(0A (0). v/ (0«7

является ситуацией равновесия по Штакельбергу и совпадает с ситуаци­ ей равновесия по Нэшу. __

Для нахождения управлений и°(0 и £®(0> i — \,n необходимо решить

п + 1 задач оптимального управления.

Изложим необходимые и достаточные условия для ситуации равно­ весия, когда на втором уровне имеются только две стороны.

Ситуация равновесия (и0, R,(u), R2(u)) определяется выражениями

F (t,x,u \R ^(u °),R 2(u0)) = max F(t, x,u,R^ (u),R2(и)),

u&U

Fx(t,x ,zx ,u,R{ (u),R2(u)) = max Ft (t,x,zx,u,R2(и)||fl,),

«,еК|

F2(t,x,z2 (U),R2(и)) = maxF2(t,x,z2 ,u,R, (ы)||б2).

<»2e^2

Необходимые и достаточные условия, реализующие это определение, заключаются в следующем. Для того чтобы совокупность стратегий (и0,

151

д® е Л, (и), в® € R2(и)) составляла ситуацию равновесия в двухуровневом

иерархическом динамическом конфликте, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках фазовых пространств сторон, за исключением осо­ бых множеств, соответствующих конечному числу гиперплоскостей tk, t= 1, 2,..., (к — индекс множеств времени переключения управлений),

существовали непрерывно дифференцируемые функции сторон верхне­ го ф(t, х) и нижнего <р1и(/, х, z), ф2и(/, х, z) уровней и такие, чтобы удовле­

творялось уравнение Веллмана, а именно (см.п.3.2)

И Ч /.х .и ® ,^ ® ),^ ® )) Эф(/,х) | Эф(Л*) f(t,x ,u °) +

+ ^ - 8 / (t’Z, > u\R j(“))+ fi (it>x,Zj ,u ®,Rj(u)) = 0, j = 1,2, j * /,

Рассмотрим теперь применение линейного многоуровневого програм­ мирования в декомпозиционной задаче выбора решений по линейным

критериям с простой структурой ограничений. Такие задачи возникают в системах управления с иерархической структурой, в которых оказыва­ ется целесообразным осуществлять выбор решений последовательно от одного уровня к другому. Принятые на таких двух уровнях решения мо­ гут определять выбор решения на следующем уровне, и такая же ситуа­ ция может складываться при выборе решений для всех последующих уровней системы управления.

Пусть система управления имеет п > 2 уровней. На каждом уровне i е [2, й] должен быть выбран вектор переменных х е R m' так, чтобы

обеспечивался максимум его критериальной функции в виде скалярно­ го произведения (а", х*), / = 2,3,...,л, а 11 е R m‘ , при условии принадлеж­ ности вектора х = (х1 х2 ..., хО заданному множеству X

х е Х 1 ={хеЛ "|/?,1х 1+Вп х 2 +...+В"х1 <Ь‘, / = 1,2,...,/»}, й = ^ /и ,,

/-1

b‘ € R k‘ .

152

В целом же задача выбора решений в рассматриваемой системе фор­ мулируется следующим образом: найти вектор х’ е А1 при котором дос­ тигается

m axT (fl,',x /), X х ={х€Л "|Д 1,х' £*'},

‘ • * 'м

где при заданном х1 вектор х2 является решением задачи

т а х(а22,х 2), X 2 = {х е R"\B2' Xх +В22х 2 й Ь 2},

хе Х 2

апри заданных х1 и х2 вектор х3 является решением задачи

тах(а33,х 3), А 3 = {х е Ля|Я31х ‘ + В32х 2 +В33х 3 й Ь 3};

х е Х 3

далее, при заданных х1 х2, ...,х'-1 вектор х7 является решением задачи

m ax(e",x'), А ' = { х е R"\Bn x l +Bi2x 2+...+Buх ‘ й Ь 1};

х1 е Х 1

инаконец, при заданных х1 х2 ..., х< ..., х"-1 вектор х* является решени­ ем задачи

max (аяя,х"), А" = {хе Ля|Яя,х' +Яя2х 2+...+Яяях я <АЯ};

где № — матрицы размера к ,х т ,, j = 1,2,...,/, b‘ е Rkl, х' е Л"',

e ' e J T .

п

Оптимальным решением будет то х € А = П, которое удовлетворяет

п

максимальному значению функции ^ ( а '',х ') на замкнутом выпуклом /=|

множестве А. Тогда для каждого / = 2,3,...,я при заданных х1 х2 .... Xм задача /-го уровня имеет допустимое решение и для х' существует при ограниченной критериальной функции оптимальное решение, которое для линейных и вогнутых функций единственно. Принципиальная схе­ ма отыскания решения заключается в следующем: верхний уровень — лидер, располагая полной информацией о задачах и возможностях всех нижестоящих уровней, сообщает им свою стратегию как функцию от параметров управлений, находящихся в распоряжении соответствую­ щих нижних уровней; получив такую функцию, второй уровень опреде­ ляет с использованием метода линейного программирования свою оп­ тимальную стратегию как функцию от стратегии верхнего уровня (так как х2 зависит от х1) и выдает ее верхнему уровню и ближайшему ниж-

153

Г ла ва ш е с т а я

Методы выбора решений при определенности

Условия определенности, как правило, могут иметь место при при­ нятии решений краткосрочного действия или когда многократное при­ нятие для реализации не строго оптимальных решений не приводит к недопустимым отклонениям в динамике социальных, экономических, производственных и других управляемых процессов. Иначе говоря, ка­ ждое из таких решений приводит к однозначному и достоверно прогно­ зируемому исходу, и оно является результатом решения безусловных или условных экстремальных задач. В общем виде, как уже отмечалось в второй главе, такие задачи можно классифицировать следующим об­ разом.

1. Найти min f(x ), — статическая задача безусловной оптимизации в xeR”

евклидовом пространстве.

статическая задача условной оптимизации — задача математического программирования.

Задачи 1 и 2 в зависимости от свойств функции могут представлять задачи гладкой и негладкой - недифференцируемой выпуклой и невы­ пуклой оптимизации.

3. Найти min /(х ),

Dj = R, если j е J.

Это статическая задача условной дискретной оптимизации — задача дискретного программирования.

4. Найти min F(x(t)), где F(x(t)) пусть имеет простую структуру, на­

пример, вида

155

F(x(t)) = { toT jf(t,x(t))d t,

Jo

когда t0£ t< T , x(f0) = a, x(T) = b — закрепленные концы либо они могут перемещаться по заданным кривым, где /(/,*(/), *(/)), Л (М 0 ) — непре­ рывные определенные в области t0< t^ T , -oo< x(t),x(t)< 00 и обладаю­

щие непрерывными производными до второго порядка. Это простые динамические вариационные задачи на безусловный экстремум диффе­ ренцируемых функционалов.

5. Найти min/'XxW) при ограничении G(x(/)) - С, где С — заданная (*<0)

постоянная. Функционал F(x(t)) записывается, как и в предыдущей за­

даче, а функционал С(х(/)) — в интегральной и дифференциальной фор­ мах, пусть

т

G(x(t)) = jg ( t,x ( t) ,m d t,

'о

дифференцируемый функционал. Это динамическая вариационная за­ дача на условный экстремум дифференцируемого функционала.

6. Задачи 4 и 5 сформулированы при введении критериального функционала Лагранжа, они могут быть сформулированы и для случаев, когда функционалы F(x(t)), G(x(f)) зависят от нескольких неизвестных

независимых функций и от их высших производных или когда критери­ альный функционал принимает вид функционала Больца

т

,x(t),x(t))dt+Ф (Т,х(Т))

to

или функционала Майера

F(x(t)) = Ф (7>(7)),

где Ф(Т,х(Т)) является терминальным функционалом; фазовая перемен­ ная х(Т) не должна быть закреплена. При этом моменты времени f0 Т

могут быть неизвестными и подлежат определению как дополнительные переменные при ограничениях x(t) =Д/,х(/),ы(/)), ta< t< ,T , x{Q , х(Т) —

начальное и конечное состояния, они могут быть свободными либо за­ крепленными, U e Л" — некоторая область возможных значений управ­

ления; получена динамическая задача оптимального управления при критериальном функционале F(u(t)):

156

т

F(u(t)) = Jf(t,x (t),x(t))d t+Ф (Т,х(Т)) — критерий Бояща,

Т

F(u(t)) = jf(t,x(t),x(t))d t — критерий Лагранжа,

'О

F(u(t)) = Ф (Т,х(Т)) — критерий Майера.

Задачи 4—6 могут записываться и при дискретном времени, тогда они преобразуются к динамическим многошаговым безусловным или условным экстремальным задачам.

6.1. Методы решения статических безусловных задач оптимизации, основанные на использовании

производных

Метод наискорейшего спуска. Пусть Дх), х е R" — выпуклая непре­

рывно дифференцируемая критериальная функция. Ее приращение

е, = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0„) — единичный вектор /-й координаты. При f'{x ) = 0 направление наискорейшего уменьшения функции Дх)

в точке х совпадает с направлением антиградиента (—/'(х)).

Переход из точки хк в точку х*+1 осуществляется по следующему пра­

вилу:

х *+ , = * * “ р * е * = х * " р * й Я ^ ’

где В* — шаг в направлении —/f '( x ) .

И/'(**)Н

Приведем схему алгоритма отыскания минимума данной функции Дх), х € R”.

Ал г о р и т м

1.Задать начальную точку *0 е R".

2.Вычислить производную /( х 0) и единичный вектор

Л**) к о,1,....

iim )ir

157

3. Проверить неравенство/'(**) ^ У, * = 0,1,- либо Цх* - х*+1|| £ е, либо ||/(х*) - Л ^ +i)! ^ < 5, где у, е, 5 — заданные числа согласно требуемой точности вычисления искомого реше­ ния х*. При выполнении неравенства имеем или X0 =XQ — искомое решение, или надо пе­ рейти к операции 4.

4. Вычислить величину шага p j из решения задачи

Ро = arg min f( x 0 - Р0/'(*о ))•

Ро>°

Заметим, что для выбора величины шага существуют и другие способы [19; 20; 22; 24; 86].

5. Определить точку = х0 -pQ — ^ --. Н/'(*о)Н

6. Перейти к оп.2 для JC = JCJ, а при необходимости (при невыполнении неравенств оп.З) переход осуществить для х = хк, к - 2, 3,..., и до того значения к = к\ на котором в первый раз будет выполнено условие окончания поиска искомого решения.

Изложенный градиентный метод находит применение и в задачах выбора решений, сформулированных как задачи нелинейного програм­ мирования: требуется найти решение согласно максимуму критериаль­ ной вогнутой функции

,х„)

пусть при линейных ограничениях

п

< b ,,i= 1 , 2 , п, х9 SO, j = 1, 2,..., n.

7=1

Рассмотрим метод Ф р е н к а Вулфа . Сущность метода заключает­ ся в следующем. Поиск искомого решения начинается с задания на­ чального приближения принадлежащего допустимому множеству. Затем в этой точке вычисляют градиент критериальной функции и вместо по­ следней вводят линейную критериальную функцию

F(xit х 2 ..., х„) = (grad^ x^ x),

которую максимизируют при заданных ограничениях. Обозначим най­ денное решение задачи линейного программирования через £(0). По вы­ численным х<#> £(0) и gradTfa^) находят очередное приближение х0* для исходной задачи выбора решения по следующему выражению

х<|) = х(0) + а0(С<#,- х <0 ),

где Оо, будем считать, определяется исследователем (0 < а<) < 1). Аналогичным образом выполняются последующие итерации по вы­

бору оптимального решения.

158

Ал г о р и т м

1.Задать начальное приближение дс<°>. Выполнить названные выше вычислительные действия. Проверить необходимость перехода к очередной итерации: если

||grad%x<0>)|| < 5 >0,

то х<0) принимается за искомое оптимальное решение, в противном случае - перейти к оп. 2.

2.Пусть имеет место (к + 1)-я итерация. Установить значение а*. Вычислить исход­ ное допустимое решение д^+1) = х№ + сик(С,№ - х№).

3.Вычислить градиент исходной критериальной функции в точке ^ +1).

Метод Ньютона (Ньютона—Рафсона) с регулировкой шага. ПустьД х), х с К 1— выпуклая и дважды непрерывно дифференцируема. Эта функ­

ция может быть аппроксимирована в точке квадратичной функцией

/*(*) = Л хк) + (f(xk), Ах) + |(/"(**)Ах,Дх),

где Ах = х - хк определяет направление поиска минимума функции / к(х).

На направлении Ах очередную точку х*+, выбираем согласно операции вида хж = aig min/*(x), х е R", или из решения задачи /*(х) = 0. Отсюда получим Ах* = - ( f'( x k))~'f(xk), и формулу для вычисления хж по извест­ ному хк запишем в виде

х = * _R (Г \ х к) У 'Г ( х к)

Ш* ^ к Ш " (х к) Г 'Г ( х к)\\

Для реализации этой формулы следует организовать итерационный вычислительный процесс до той итерации, на которой будет выпол­ няться критерий окончания поиска искомого решения. В результате применяется следующая схема алгоритма поиска х* = arg min/(x), х е R”.

Ал г о р и т м

1.Задать начальную точку х е Rn.

2.Вычислить производную /'( * о).

3.Проверить неравенство/'( * 0) ^ Y, Y > 0, если оно выполняется, то х0 — решение за­ дачи, иначе — перейти к операции 4.

159

4. Определить направление ех перехода к точке jct из точки х0

е, = Дх, - - < -^ * о » ~ 'Л * Ь )

IK /'^ o )) '1/'<JCo)H

5. Вычислить величину шага (3JJ из решения задачи

pj=argrain/(x0-p0«i)

Ро>°

или другими способами выбора шага [19; 20; 22; 24; 86].

6.Определить точку х х = х0 -

7.Перейти к операции 2 для х = х х и далее (см. предыдущий алгоритм).

Заметим, что для уменьшения трудоемкости алгоритма допустимо вычислять (А*))-1 не на каждой итерации, а один раз через каждые s шагов, при этом 5 подбирается эмпири­ чески в процесс вычислений.

Квазиньютоновский метод — метод переменной метрики. Пусть для метода Ньютона найдена аппроксимация невырожденной матрицы (ГЧ**))-1; обозначим эту аппроксимацию через Нк тогда

**+l ~ Хк ~ $kHkf"(xk)-

Воспользуемся выражением

/'(**) - / ' C W =/"(**+1)(** - **+■) + о(||Дх*||), Ахк = хк - хк+1,

откуда хк - xk+l = <f"(xk+l))-'<f'(xk) - f ' ( x k+i)) и представим Дх) квадра­

тичной функцией, получим точное выражение

-X* = (Г(**+,))-'(Г(**+1) - Г ( х к)).

Теперь потребуем, чтобы имело место так называемое квазиньютоновское условие Hk+l(f'(xk+l) - f ' ( x k)) = х*+, — хк, в котором

Нк+\ = (о(Нк + ДНк),

где со — масштабный множитель; ДНк — некоторая поправочная матри­ ца; # 0 и Нк+1 при любом к являются положительно определенными мат­ рицами. Выбор ДНк определяет метод переменной метрики.

Установлено [20; 87; 88], что

Бройдена, а при Y= хк+] —хк9 Z — НкAgk — алгоритм Девидона—Флетче­ ра—Пауэла (ДФП).

160