книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

Метод возможных направлений. Сущность метода заключается в рас­ пространении идеи метода градиентного спуска на задачи минимизации линеаризованной критериальной функции при ограничениях, в резуль­ тате чего становится возможным отыскивать направление спуска по­ средством решения задачи линейного программирования с меньшим числом ограничений. Рассмотрим этот метод для поиска

х = aigminf(x ), X с R",

х е Х

где/(х) — выпуклая дифференцируемая функция, заданная на допусти­ мом компактном множестве

по антиградиенту критериальной функции, т.е. s0 = - /'( * 0) и перейти к операции 3. Если х0 вышла на границу X, то перейти к оп. 5.

3. Задать OQ > 0 — величину шага перемещения по направлению д0 или определить OQ из решения задачи

oto = argm in/(x0 - о /'( х 0))(||/'(х 0)|| 1)

так, чтобы не нарушались в точке х { все ограничения и значение функции y(*i) было бы наименьшим.

XaV*J ~ bi тX °ij(X~ Xjo)* °’

мм

181

f ( x w ) + « f '( x (k)))T,Xs(k))-> min , (в*, АлЮ) < О,

{*{к))

гдеЛ *^) — какая-то константа; если далее ее не учитывать, то исходная задача преобразу­ ется к виду

и искомое направление перемещения из точки х0 в точку х { определится в результате ре­ шения следующей задачи линейного программирования:

Запись вектора $Уо в виде 5у0 = s* - 5 , у g / 0>позволяет находить sjQ как решение

задачи линейного программирования с неотрицательными переменными, т.е. при этом задача линейного программирования приобретает стандартную форму (п. 6.4).

7.Условие завершения работы алгоритма:

где е > 0 определяет требуемую точность вычисления х* е X, к — индекс итерации.

Проиллюстрируем применение метода на следующей задаче.

Задача. Требуется найти решение х° =(х^ ,х2\ доставляющее минимум функции

/ ( * ) - < * , - 8)2 + 2(х2 - 5 ) 2

при ограничениях

X: 2х| + 5 х 2 £ 40, х,,х2>0.

2х1 + х2 < 16,

182

Р е ш е н и е . 1. Зададим начальное приближение: пусть

х1<#)=6,х<0>=3, (Х<0>€ X).

Ограничения выполняются как строгие неравенства 27 < 40, 15 < 16. Множество активных ограничений - пустое, Дх<0)) = 0 .

2.Вычислим antigrad/(J C 0>) в точке л^0):

е<°) = antigrad/(*<0)) = -{2(6 - 8); 2 х 2 (3 - 5)} = {4; 8}.

3.Вычислим длину шага в направлении antigrad/(х<°>); предварительно отметим, что

(а(0, е(*>) > 0, / - 1,2; а <!>= (2; 5), л<2>= (2; 1).

Второе ограничение выполняется как равенство, поэтому оно является активным ограни­

183

симплекс-

м е т о ^ Й - Г ^ ш Г С ч Т в ^

- 2 ( 0 ^ 7

2e<')+ - 2 e <‘>- + ,<•>+ _ e0>- + ,<■>♦ _ o. *<•>- = 0)

e,(,)+ + e<‘>- + e<‘>+ + e<'>’ + 0- *<l)+ + e<'>- = 1,

где e<1>+ и e<1)_ - дополнительные переменные, и составим исходную симплекс-таб­ лицу 1 (в табл. 1, 2, 3/(е(1)) — линейная форма).

184

В последней строке табл. 1 имеются положительные элементы; выберем из них макси­ мальный, т.е. 6. Это означает, что е*1)+ должен быть введен в базис, а какой-то из е*1)+,

е ^ ~ — выведен. Для этого определим разрешающий элемент; он находится согласно

Отсюда следует, что разрешающий элемент содержится в первой строке, указанной гори­ зонтальной стрелкой. Этот элемент обведен квадратом. Разрешающий элемент равен еди­ нице, поэтому соответствующая ему строка табл. 1 переносится в новую симплекстаблицу 2 без изменений.

вестную *21)+- Вторую строку преобразуем так, чтобы в клетке столбца е*1)+ появился

ноль; это достигается сложением первой, умноженной на -1 , и второй строк. Последняя строка табл. 2 также должна содержать ноль вместо 6, такой ноль есть результат сложения первой строки, умноженной на -6 , и последней из табл. 1.

Итак, новая симплекс-таблица 2 имеет вид

В последней строке в столбце е ^ ~ этой таблицы имеется положительный элемент

(17/2). Это значит, что табл. 2 необходимо преобразовать в симплекс-таблицу 3; но снача­ ла приведем табл. 2 в каноническую форму, так как разрешающий элемент равен 3. Для этого разделим все элементы второй строки на 3 и выполним преобразования в таком же порядке, как по табл. 1; получим табл. 3.

В последней строке этой таблицы не содержатся положительные элементы. Это признак того, что найдено оптимальное решение

е<|>+ = 0, ,<•>-»!> «<’>+ Д Л0' = 0. е<’>+ = 0, «<•>- = 0;

185

оно удовлетворяет требованиям

отсюда е<'> = ^ |<1>+ - е<, >-)е<1>+ - е < ‘>-,е<,)+ - ,< ‘> ^ 0 - 1 , | - 0 , 0 - о ) ^ - 1 , 1 |

8. Вычислим длину шага в новом направлении е*1* = (-1/3, 2/3). Для этого предвари­ тельно определим

(*</>,е(|)) BM-S1

*<2>=х<'>+«*<'> = 1 + 5 . 1 з 4,05.

2 2 2 2 6 3

10. Проверим условия останова процесса решения согласно заданной точности дос­ тижения оптимального решения х*.

В рассматриваемой задаче

И*<■> - *<2)Ин 0,75, |Л ^ " ) - Л ^ 2))И s 1.

186

Если эти результаты согласуются с заданными требованиями по точности вычисле­ ния аргументов, как альтернатив, и по критериальной функции, то решение задачи завер­ шено. В противном случае - выполняется очередная итерация.

Метод линеаризации. Этот метод основан на идее линеаризации критериальной функции и ограничений в окрестности каждой точки хь к = 0,1, 2 , приближения к искомому решению

х* = argmin/(* ), Х с Л ”, Х = {Х е ДЛ|gfyc) <0, i - 1 ,m},

хеХ

где X — выпуклый компакт, функции fix) и g(x), i = 1,/я, дифференци­ руемы, с последующим добавлением квадратичного члена к линейной

аппроксимации критериальной функции.

Таким образом, для отыскания искомого решения х* необходимо в каждой точке х*, к = 0 ,1 ,... решить вспомогательную задачу квадратич­

ного программирования

m m [ ( / K ) , x - x , ) + i | | x - x J 2j,

V, (*) =&(**) + (£,'(**)> х - х к) й 0, i = 1,/я,

при исключении из разложения критериальной функции константы f i x k).

Ал г о р и т м

1.Задать начальное приближение х0 е Х\ х0 можно вычислить, применив, например, симплекс-метод.

где g 'ij

_dgjji*o) dx,

У=1

187

7.Вычислить приближение Xj = х0 - а ^ .

8.Перейти к выполнению оп. 3, считая et значением параметра чувствительности.

Алгоритм продолжает работу до получения приближения хк_ ь к = 1,2,..., при кото­ ром min и - и'к = 0; тогда, если и'к - 0, то x*_i = х*.

Метод штрафных функций. Метод основан на идее преобразования задачи минимизации критериальной функции Д х) с соответствующими ограничениями g,(х) <0, / = 1,т в задачу поиска решения

х* = argmin/(х ), Х = {х е Л^д(х) £ 0, i = 1 ,т)

путем минимизации штрафной функции

у(х, Q) =Д х) + P{g{x) < 0, / = 1 ,т, Ск),

где Ск -» °о, без ограничений. При этом видно, что Р(х, Ск) = 0 при х € X, а"если же х е X, то Р(х, Ск) > 0 и Р(х, Ск) —> «> при Ск —» «>; реше-

ние х = argmin\|/(x,C*) будет близким к х \

Заметим6/ что известны [21] различные конструкции функции Р(х, Ск). В общем случае Р(х, Ск) строится такой, чтобы она была диф­ ференцируемой и можно было бы применять для поиска х быстросхо-

дящийся алгоритм безусловной оптимизации п. 6.1.

Ал г о р и т м

1.Задать С - С0.

2. Вычислить x* = arg min у(х,С 0), пользуясь алгоритмом из п. 6.1, пусть при этом

3. Если XQ = х", т о работа алгоритма завершена; в противном случае залать С/ > С0 и перейти к операции 2.

Проиллюстрируем сущность метода при аналитическом решении задачи выбора оптимального решения с использованием внешней и внутренней (барьерной) штрафных функций.

188

Задача. Пусть требуется найти решение (х°,х®), при котором достигается

189

Метод с модифицированной функцией Лагранжа. Метод также (см. метод штрафных функций) основан на преобразовании исходной зада­ чи: найти

х ’ = argminf(x), Х = (х е R*\gfa) < 0, / = 1 ,т) —

к задаче безусловной оптимизации: найти

х' = arg min<p(x, X),

1 "

где <р(х, А ) =Дх) + -^ [m a x (0 , g#(x)+A,)]2 — модифицированная функция

2 i=i

Лагранжа;

А = (А,, А з , А т) — вектор коэффициентов Лагранжа, A S0, А(*) = max(0, gi (xk_x) + A(/ _l*), к — индекс итерации,

Дх), gj(x), i = 1,/л — дифференцируемые выпуклые функции.

190