книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

Введем функции

и перепишем d/f, x(t)) с учетом дискретного задания отрезка времени [/0, Т\ в виде

= т а x{ftt, x(t), u(t))At + 4 t + At, x(t + At))},

u, eUl

где x(t + At) = x(t) + <р(/, х(0, н(0), A Q , АО е G, х(7)+ е g<zG, / = 1,/и. С помощью этих соотношений приближенно вычислим б,(/, x(t)) и

сформулируем рекуррентное уравнение Веллмана. Так, для конечного момента времени tN— Т = N согласно исходной постановке задачи по­

откуда по значениям ЬЦТ, х(7)) приближенно определяем значение Ч Т — At, x(t, Т —д/)) на каком-то подмножестве С , с С и управление «('> Т — At, х), на котором имеет место функция d,(Т - At, x(t, Т —Д/));

для tN_2 = Т ~ 2Аt = N — 2 получаем

6 -5 3 9 6

81

Отсюда находим значение $ ,( Т — 2Д/, х(/, Т — 2Д/)) на каком-то под­ множестве (?2 с= (7, и управление и(Г, Т — ТА/, х); очевидно, что после вы­

полнения двух шагов будет определено управление на отрезке времени [Г —2At, 7] как кусочно-постоянное на отрезках [ T — T A t,T —At] и \ Т - At, 71. Соответствующие соотношения для других моментов време­ ни к = 0,N - 3 устанавливаются по аналогии с полученным. В результа­

те получаем рекуррентное соотношение — уравнение Веллмана

функции-управления u,(t, 0, х) на отрезке времени [/„, 71 = 0,N с интер­ валами постоянства [kAt, (к + 1)Д/], к = О,N — 1. При этом вычисляются также траектория x(t) из решения уравнения движения с заданным на­ чальным условием х(/0) и значения критериальных функционалов; x(t0) должно быть проверено на принадлежность к GNc.G N_b в случае не­

принадлежности решение не существует. Итак, для того чтобы найти

управления и траектории, на которых достигаются максимумы функций Веллмана. Заметим, что практическая реализация принципа оптималь­ ности Веллмана очень трудоемка. Поэтому разработаны другие методы реализации этого принципа, например метод Моисеева в работах [51; 37; 21].

В заключение изложим сущность необходимых условий оптималь­ ности решения в негладкой многокритериальной динамической задаче. Такие условия формируются согласно принципу максимума Понтрягина при введении субдифференциалов функций Гамильтона и терми­ нальных членов по фазовым координатам х(/), х(/0), х(7) € ЕР. Они за­

писываются по аналогии с условиями, изложенными в п.2.3, т.е. для того чтобы решение (и0, х°) было оптимальным — равновесным по Нэшу, необходимо существование вектор-функции у(/), t0< t£ T , и по­ стоянных у Л = 1, Ы| + Ы * 0, таких, что у(/), /0 < / £ 7, удовлетворяет

сопряженному уравнению в субдифференциальной форме

у(Г) = —Э,Я,(х°(0, и°(О, V(0), i = 1 ,m,

на левом и правом концах траектории x(t), h<>t<, 7, выполняются усло­

вия трансверсальности в субдифференциальной форме

у(/0) = -Э Д 0(х(/0)), у(7) = dxGj(x(T)),

82

где Gb(x(t0)) = {x(t0) e E"\h(x(t0)) < 0}, Gj(x( T]) = {x(T) e £»[?(*( 7)) < 0} и

3.3.Необходимые условия-аксиомы принятия решения по многим критериям в порядковых шкалах

Напомним очевидные утверждения:

—выбор решения из множества возможных осуществляется всегда на основе количественного или качественного сравнения связанных с решениями последствий. Это утверждение не зависит от принципа и ус­ ловий выбора решения, а также от постановки задачи выбора: матема­ тической, экономической, инженерно-производственной, управленче­ ской, интерактивной (человеко-машинной), психологической или эвристической;

—измерение, расчет значений последствий выбора и принятия ре­ шения может производиться только в какой-то определенной шкале на­ именований, ранговой — порядковой или отношений, количественной.

Было бы желательно осуществлять выбор решения, пользуясь толь­ ко количественной шкалой, однако практически в любых ситуациях, особенно в сложных и плохо структуризованных, ЛПР должно, как пра­ вило, учитывать и качественные неформализуемые факторы. Это озна­ чает, что ЛПР должно определить соответствующие критерии в форме бинарных отношений; естественно, что при этом ЛПР будет использо­ вать и соответствующие аналитические, и интерактивные методы.

Приведем постановку и подход к решению задачи выбора решения в интерактивном режиме как задачи обобщенного математического про­ граммирования по многим критериям в порядковых шкалах. Пусть ЛПР располагает дискретным ограниченным множеством X альтернативных

вариантов действий, из которых требуется выбрать наилучший х е X. Для этого ЛПР вводит на множестве X свою систему бинарных отноше­ ний R0. Система R0 есть результат агрегирования-преобразования сис­ тем бинарных отношений Rp j = 1 ,т, отдельных лиц, участвующих в вы­ боре решения х \ Будем считать, что R0 формируется по сумме мест

альтернатив и что

Х = {хе Д"| gfic) < 0, у = 1 ,т).

Каждое отдельное лицо способно, в том числе с использованием аналитических методов, устанавливать значения и опорные функциона­ лы ограничений g/x) < 0 ,j= 1,/я, для любого альтернативного варианта х е X, т.е. определять направления роста предпочтений по своей систе­ ме отношений Rj. ___

Тогда задача выбора решения по многим критериям Rt, j = 1,/я, за­

Для ее решения необходимо восстановить R0 по известным Rp j = 1,т. Здесь можно воспользоваться, например, правилом Дельфи или правилом Гудмана—Марковица (см.гл.1, [40; 71]), которое является единственным правилом группового решения (в нашем случае — правилом

ЛПР), если оно удовлетворяет следующим аксиомам [40; 71].

Аксиома анонимности. Отношение предпочтения R0 не зависит от ин­ декса соответствующего лица, участвующего в выборе решения, т.е. не меняется от перестановки этих лиц. ___

Аксиома нейтральности. Отношение предпочтения Rp j = \ ,т, не за­

висит от обозначений альтернатив.

Аксиома единственности предпочтения. Каждому набору предпочте­ ний лиц, участвующих в выборе решения, соответствует единственное транзитивное упорядочение альтернатив.

Аксиома сдвига отрезка. Если два набора предпочтений лиц, участвую­ щих в выборе решения, различаются лишь предпочтением одного лица, а Y — отрезок относительно обоих предпочтений этого лица, то для х, у € Y отношение х > у возможно лишь одновременно в обоих групповых ре­ шениях. Здесь подмножество альтернатив Y a X называется отрезком в соответствующем упорядочении, если нет таких х, у е Y и z е X \Y , что х > z > у по системе предпочтений соответствующего одного лица.

Аксиома оптимальности по Парето. Если х > у для всехj = \,т и хотя бы для одного j предпочтение строгое, то х > у. Это условие отражает суверенность участников выбора решения.

Аксиома присоединения особых альтернатив. Если к множеству X при­ соединяется альтернатива w, такая, что для каждого j = \,т найдется альтернатива x J е X, для которой x j ~ w по RJf то отношения между аль­ тернативами из X не изменяются.

Правило Гудмана—Марковица удовлетворяет всем названным ак­ сиомам, что проверяется непосредственно в [40; 71].

Представим структурную схему выбора наилучшей альтернативы х е X.

Ал г о р и т м 1. Упорядочить альтернативы по каждой системе бинарных отношений предпочтения

__

2.Ввести значения полезностей альтернатив Oj(x)J = 1,/я. Для этого можно восполь­ зоваться алгоритмом из [13] или простой рекомендацией из п. 1.8 или см. [40; 72].

3.Вычислить для каждой альтернативы суммарную полезность

у=1

4.Упорядочить альтернативы х е X в порядке убывания суммарных полезностей.

5.В качестве искомой альтернативы х* выбрать альтернативу с максимальным значе­ нием суммарной полезности.

Рассмотрим другой вариант правила выбора коллективного реше­ ния — вариант, реализующий принцип лексикографического миниму-

84

ма. Этот принцип близок принципу выбора решения на основе «-ядра в теории кооперативных игр в форме характеристической функции [40; 50]; «-ядро — это Множество недоминируемых дележей.

Исходные данные для выбора решения: N — конечное множество

лиц, непосредственно участвующих в выборе решения, X — произвольное множество альтернатив,

F(x,t) — вектор функции, определенной на X, с компонентами

А х, ik)> 4 е к = 1, 2,..., л, как функциями полезностей соответствую­ щих лиц из множества N.

Определение. Альтернатива z е X называется лексикографическим минимумом относительно F, если не имеется таких х е X и I, \< 1 й п , что

А х, 4) = A z,A ), k < l, А х, i,) < A z,jk)

и

А х, /,) >Ах, 4) ^ - *А х, i„), A z,ji) * A z ,h ) * - *Az,j„).

Множество всех лексикографических минимумов называют лексимином (lex min) рассматриваемой задачи выбора решения. В связи с этим наилучшее решение — суть max min.

Лексимин существует и единствен, если выполняются следующие аксиомы [40]:

Аксиома симметрии. Лексимин не зависит от перестановки функций

А ; О- Аксиома независимости от посторонних альтернатив. Если

G, = (A-,, N, F), а д , N, F), Хха Х 2 и v«?2) n * * 0 ,

то

v(G,) = v(G2) n ^ .

v() — обозначение лексимина.

Аксиома доминирования. Если

Аксиома объединения множеств целевых функций. Пусть

G\ — (X, N, Fi), G2 = (X N, F2) U G = (X ,N l v N 2,F i v F 2),

Если v(G,) n V(G2) * 0 , mo v(G) = v(G,) r> v(G2).

Это аксиома с е п а р а б е л ь н о с т и целевых функций.

85

Г л а в а ч е т в е р т а я

Необходимые и достаточные условия оптимальности выбора решений при риске

4.1. Необходимые и достаточные условия формирования механизмов выбора оптимальных решений

Для формулирования необходимых и достаточных условий опти­ мальности решений дополнительно к изложенным в п.1.6 исходным данным введем следующие допущения [2; 56]:

1. Случайный процесс z € Z является либо а) дискретным и имею­

щим распределение вероятностей при условии существования какоголибо альтернативного состояния ПиПС, либо б) абсолютно непрерыв­ ным, т.е. имеющим условную плотность распределения вероятности в зависимости от существования состояния ПиПС или за малый проме­ жуток времени At вероятность больших приращений процесса оценива­

ется малой величиной

Urn jp(z+ Az,t+ At\z,t)dAz = 0,

|Дг|£е

где е > 0, р( ) — условная плотность вероятности приращения процесса.

Согласно терминологии п. 1.6, отмеченные здесь распределение и плотность представляют конкретизации функции связи выборочных данных z е Z с неконтролируемыми ЛПР факторами-параметрами y e Y, определяющими состояние (действие) ПиПС. Состояния ПиПС

во времени могут изменяться.

2.Множество неконтролируемых ЛПР параметров Y сепарабельно;

сепарабельным будет и множество априорных распределений вероятно­ стей на Y.

3.Функция потерь Н у, у(г)) является ограниченной функцией в за­

висимости от у е Y и от у(z) — решения ЛПР, g е Г, где множество Г —

компактно.

4. Множество решающих функций {<р(у|г)} — выпуклый компакт и включает либо классические — непоследовательные, либо последова­ тельные правила выбора решений. При этом нерандомизированные ре­ шающие функции представляются элементами множества Г оконча­

тельных решений ЛПР.

87

5. Стоимость проведения экспериментов по получению выборочных данных (наблюдений z) неотрицательная, ограниченная и неубывающая

при увеличении количества экспериментов.

Эти допущения не являются нереализуемыми и ограничительными для формирования механизмов (алгоритмов) выбора оптимальных ре­ шений. Действительно, выборка z е Z на практике всегда либо дискрет­ на, либо абсолютно непрерывна. Сепарабельность множества Y необхо­

дима для обоснованного задания распределений вероятности, введение которых исходит из объективной необходимости построения функцио­ нала качества выбора решения как математического ожидания функции потерь; при этом следует заметить, что при введении распределений (если они существуют) на Y множество стратегий ПиПС расширяется и

становится множеством смешанных стратегий. Допущение относитель­ но ограниченности функций потерь и стоимости экспериментов с прак­ тической точки зрения вполне естественно и достаточно просто прове­ ряемо.

Механизмы выбора решений при риске делятся на байесовские, когда ЛПР располагает априорными сведениями о распределениях вероятно­ стей на множестве Y возможных простых и сложных состояний ПиПС, и

небайесовские — в противном случае. Простое состояние (гипотеза) опи­ сывается скалярным параметром, сложное — векторным. Теперь вос­ пользуемся выражением для среднего риска из п. 1.6, считая, что ЛПР располагает нерандомизированными решающими функциями, т.е.

4>(Y U) = 5(Y - T(Z)),

где 8 обозначает дельта-функцию и у(г) зависит от наблюденных дан­ ных. Тогда оптимальное решение 8° находится в результате решения за­ дачи

тахтт/?(ф ,ф ) = гшптах.Л(ф,ф) или minЛ(ф,8)

при заданном априорном распределении ф е {ф} на Y, где выражения

для Д(ф, ф) те же, что и в п. 1.6 (здесь 8° является байесовским решени­ ем).

Для того чтобы решение ф°и было минимаксным, необходимо и

достаточно выполнения перечисленных пяти допущений. Минимаксно­ му решению соответствует меньший максимальный средний риск по сравнению с риском при любом другом решении из {ф}. Доказательство этого решения по существу представляет доказательство известной ос­ новной теоремы теории антагонистических компактных игр [47].

При выполнении допущений 1—5 для любого априорного распреде­ ления ф е {ф} найдется решающая функция 8 е {8}, являющаяся байе­ совским решением задачи min Л(ф,8). Доказательство этого утверждения

непосредственно следует из известной теоремы Вейерштрасса о своей верхней и нижней грани [55]. При этих допущениях всегда существует наименее благоприятное априорное распределение на Y, относительно

88

которого всякое минимаксное решение <ргат является байесовским [2; 56].

Отметим также, что класс всех байесовских решений полон относи­ тельно класса всех правил выбора решений, соответствующих ограни­ ченному в зависимости от у € Кусловному риску, т.е. в полном классе всегда можно найти решение, равномерно лучшее по сравнению с каким-либо правилом, не принадлежащим ему; иначе говоря, при нали­ чии такого класса решений не возникает необходимости в рассмотре­ нии дополнительных, не принадлежащих ему решений.

Если априорные распределения вероятностей не существуют, то сформулированные выше допущения и опирающиеся на них утверж­ дения становятся нереализуемыми. В этом случае для выбора опти­ мальных решений используются небайесовские механизмы. К ним относятся механизмы, основанные на принципах максимального прав­ доподобия, Неймана-Пирсона, локальной оптимальности или на при­ менении непараметрических методов.

4.2.Структуры байесовских механизмов выбора оптимальных решений

Согласно изложенным необходимым и достаточным условиям фор­ мирования механизмов выбора выведем структуры байесовских меха­ низмов.

1. Воспользуемся выражением для среднего риска

\|/(у,), / = 1,л — априорное распределение на У пусть оно (по сообра­ жениям упрощения техники задачи) задано (иначе потребуется решение минимаксной задачи; такие задачи изложены в пятой главе).

Так как решающая функция 8(у- —у„(г)) принимает значение, равное единице, лишь при одном значении индекса j = v, j —1,л, а для всех

других она равна нулю, то для заданного априорного распределения

n

VOV). ' = !.«, Х ^ (У /) = 1»

89

структура исходного механизма определяется из

min/?(\|f,S)

5

и имеет следующий вид: принимается решение у„ если выполняются для всех j * v неравенства

ПустьЛ г | у,), /=1,2, — нормальные функции, z= (г„ z2,.... г») — вы­ борка объема п взаимно независимых одинаково распределенных одно­

мерных случайных величин. Тогда правило (1) записывается в виде: принимается решение у,, если

Л * / у , ) ^ у (у 2) [Д у2 >У| (г)) ~ Д у 2>72(*))] / ( г / у 2) ~ ¥ (у, ) [Ду, ,7,(г))- Д у, ,у, (г))] Р’

в противном случае принимается решение у2. Для принятых исход­ ных данных это правило (запишем его только для у,) преобразуется к виду

i2 а 2

^у(у2) [Ду2 ,у,Д» - Д у2 ,у2 (г))] ~ ¥(У,) [Ду, .7, (г)) - Д у,.7, (г))]

90