книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

а оптимальная траектория из дифференциальных уравнений п. 1 при

« l ( 0 = «®, « 2 (0 = «2-

Если бы в условиях рассматриваемой задачи требовалось перевести систему из точки (*i(0), х2(0)) в ближайшую точку (х,(7), х2(7)) е Ф(х(7), 7), т.е. точку, принадлежащую ко­ нечному многообразию Ф(х(7), 7), то оптимальное управление вычислялось бы по выра­ жению

где у?(Г) /= 1, 2 определяется из решения сопряженной системы дифференциальных уравнений ¥ l (f) = 0, y 2(f) = 0 с учетом условий трансверсальности

Задача 2. Определить оптимальное управление u(t), переводящее систему за мини­ мальное время Т° из заданного начального состояния х(0) в заданное конечное состояние

х(Т) = 0, если u(t) - («,(/), «2(0)г. М * 2 , |«2|S1, uf + u l* 4, x(t) = (х,(7), х2(Т))т и

JC(0 = W(0- Определить оптимальную траекторию движения системы.

Р е ш е н и е . Воспользуемся методом Нойштадта, исходя из стандартной формы опи­

пусть при этом

1.Вычислим многообразие точек

т

2( Г ,\ |/ 0 ) = - J Ф ( 0, < ;)B (i;)[sig n [# r (<; )( £ £ ((), <;)\(f0 ] ] ( « |0 , « 20

о

и и10, м20 находятся из максимизации функции Гамильтона

221

/7 J7

¥ i ( 0 = 0, v 2(/) = 0=> V |(/) = const s o , y 2(f) = const SO; «10= ± ^ - , i/20 = ±

очевидно, шах H достигается при реализации переключений на следующих вариантах:

z,r- )- j (±.1 Л ::)^ -{ С :Ь

2. Вычислим функцию А Т ,щ ) = у 1 (2 (Т ,щ )-х (0 ))= 0 :

г .

/(T ’.Vo) =(Vio.V2o) -Л:::М*20' ") \И

Чт

-J(±«io)</s+ J(:F»ioyi;

-J(±u20)rf<;+ J(Tu20)rf?

Рассмотрим вариант переключения управлений, при котором

- J «20^5 +Jи20^»=2tn «20- Т^20>

тогда

Л Т’.Уо) “ V IO( - 2 '„ " IO + Ти10) + у 20(2/п«20 - Ти2й) - (у |0х,0 + у ^ * , ) =

= 2/n(V20«20 - ¥io«io) - Д¥го"20 - VIO»IO) ~ (¥10*10 +¥20*20)=0;

отсюда получаем

222

5. Определим х°(0 — оптимальную трае!СГорию движения системы при оптимальном управлении

из решения системы

tn <t<kT\

x2O) =- u 20t tn < t< T .

Как видим, оптимальная траектория представляется кусочно-ломаной линией с изло­ мом в момент /п,

При рассматриваемых начальных условиях из £* оптимальным управлением может оказаться

и управление может менять знак не больше одного раза (см. п. 1).

Г л а в а с е д ь м а я

Методы выбора решений при целевой неопределенности

При выборе решения по многим критериям понятия оптимальности заменяются понятием недоминируемости и собственно решение задачи представляется множеством недоминируемых альтернативных реше­ ний — множествами Парето или Слейтера. Выбор эффективного реше­ ния из этих множеств осуществляется ЛПР на основе его сужения при использовании дополнительной информации. Известен ряд подходов, обеспечивающих сужение множества Парето.

Наряду с этим разработаны другие подходы — подходы, направлен­ ные на агрегирование частных критериев в единую свертку и позволяю­ щие затем отыскивать искомое эффективное решение посредством оптимизации соответствующей свертки на исходном множестве допус­ тимых решений. При этом для построения сверток также требуется до­ полнительная информация, которую вырабатывает ЛПР.

Ниже изложен ряд методов построения и сужения множества Паре­ то, а также структуры сверток частных критериев.

7.1. Метод построения множества Парето для статических задач

Для построения множества Парето воспользуемся свойствами эф­ фективных (оптимальных по Парето) альтернатив. Такие свойства ут­ верждаются теоремами Карлина, Гермейера, Михалевича — Волковича [6; 38; 39; 79].

Метод, основанный на теореме Карлина. Требуется построить множе­ ство Парето для выбора решения в многокритериальной задаче

/, (х) -> max,

х е X, — вогнутые функции, то для любой эффективной альтернативы х*

224

существует такой вектор X = {А ,}, А,,> О ^А,,. = 1, что критерий —

i

свертка вида А^./Дх), — достигает максимума при х = х* е X

i

Доказательство теоремы (см. [20—23; 39]) опирается на известную теорему отделимости выпуклых множеств.

А л г о р и т м 1. Задать компоненты вектора

Х*=(Х*Д*2,...Д*т ), Х ^ О , £ х * = 1. * - 1, 2,

/=1

2. Составить новый критерий — свертку

т

f(x ,\k) = ^ X kiMx), *= 1,2 ..... /.

/=1

3.Задать значение /.

4.Решить задачу максимизации свертки fix, А.*) для всех к - 1, 2, ..., 1 и установить

совокупности {х*}с X, доставляющие max f(x,X k ). Для этого можно воспользоваться од­

ним из методов решения условной экстремальной задачи (см. гл. 6) с учетом свойств функций Дх, X*) и g/x), j = 1

5. Построить приближение множества Парето как объединение альтернатив х'к, к —1,

2..... /.

Построение множества Слейтера с использованием теоремы Гермейера. Эта теорема чрезвычайно полезна для различных задач выбора ре­ шений по многим критериям.

Теорема Гермейера. Если х* е М0 — оптимальное решение по Парето,

П

Fj(x)> 0, V/ е N, то существуют такие Х„ X > 0, ^ Х , =1, что

1=1

minX, Fj (х) достигает максимума при х = х", где М„ в общем случае невы­

пуклый компакт.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть частные критерии непрерывны. Зада­ дим

1 Х» = п

1

F, ( * ' ) £

*=i Fk(x ')

Так как х* — оптимальное решение, то ему соответствует вектор А0. Тогда для любого х е М0 существует какой-то номер j такой, что Fj(x) < Fj(x'), а иначе х е М0. Теперь запишем неравенство

1

X0jF j(x) й X0J FJ (X ’) = minX®F, (*') = —

к Fk(x ‘)

согласно которому для всех х е М0 имеем:

min X*F, (х) й min Х^ F, (х*),

откуда следует утверждение теоремы

max minX, F, (х) = minX,F, (x*).

Отметим, что поскольку Мй — невыпуклый компакт, то х* не всегда

будет оптимальным по Парето, здесь будет иметь место оптимальность по Слейтеру. Поэтому определим множество

Х 0(X) = arg max [minX,F, (x)],

n

где X > 0, ]TX, =1. Тогда множество Слейтера примет вид i=i

S (M 0,F) = и Х 0(Х), Х е Е : .

Для его построения необходимо выполнить следующие операции.

2.Для каждого вектора значений {А.*,А*,..., А*} к- !X решить максиминную заначу

jc0(A*)=arg max [min A*F,(x)l xeAfo l£/£/t

при ограничениях Л/0 = {*€ Ея|g:(х)> 0, у = 1,/}.

Решение можно получить, например, с использованием метода штрафных функций;

вэтом случае перейти к оп. 3.

3.Преобразовать исходную задачу к последовательности К задач математического

226

к= \

Слейтера, оно содержит также и множество Парето.

З а м е ч а н и я . 1. Если функции /)<*), / = 1, п и ф(х), j = 1,/, линейны, то задача оты­ скания х0(Хк) является задачей линейного программирования.

2. Построение множества Слейтера можно осуществить и максимизацией на Л/0 об-

Построение множества Слейтера с использованием теоремы Михале- вича—Божовича (метод ограничений). Пусть требуется выбрать решение

в многокритериальной задаче F, (х) -> min, М0 — компакт, / е [1, и].

хеМ0

Теорема. Для того чтобы х° € М0 при Р£х') > О V/ € N, было эффектив­ ным при заданном векторе ц = {ц,}, ц, > 0, ^Гр., =1, достаточно, чтобы х°

i

было единственным решением системы неравенств (VvC*) S k0 V/ € N, для минимального значения kg, при котором эта система совместна.

Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы осуществим от противного, т.е. при предположении, что единственное решение х° неэффективно, а кй = kg. Но тогда должно быть решение х е Л/0, такое, что F,{x) < /)(х°),

V/ е N, и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Очевидно, что при этом будут иметь место неравенстващР^х) < щ/Х*0) ^ kg, и хотя бы одно строгое Получили противоречие: х удовлетворяет системе неравенств р,/)(х) < kg. Таким образом, х° — оптимальное решение.

Эта теорема обусловливает метод нахождения искомого решения за­ дачи

min max u .F, (x),

x e M g IS/S* ' '

непосредственно связанной со сверткой частных критериев в теореме Гермейера

Для отыскания решения дс° е М0, системы p/i(x) £ kg, i = l ,«,

х е М0 = {хе £*"|sy(x) > 0, j = 1,1}

предварительно нормализуем частные критерии по выражению

^ max ( * * ) - * ! min ( * • ) ’

где FimM(x'), F, min(x.) — максимальное и минимальное значения крите­ рия W((x) на М0 в точках х \ х.. Таким образом, имеем систему

р1«ш (х')~ Ъ (х)

5. Найти решение задачи п. 4 для всех а = 1, 2,...» к, воспользовавшись соответствую­ щим методом (см. гл. 6).

6. Построить объединение решений х*(ра), а = 1, 2, ...» к\ это объединение ^J x (ра )

а

и есть искомое множество.

228

7.2. Алгоритм приближенного построения множества Парето с использованием пробных точек

(простейший вариант) [96]

Первый этап. Составление таблиц испытаний. 1.1. Последовательно выбрать N пробных точек-альтернатив х,, х2, ..., х„, равномерно распре­ деленных в множестве М0 (М0 — компакт).

1.2.В каждой точке xJt j = l,N вычислить значения всех частных критериев Ffocj), i = 1,л.

1.3.По каждому частному критерию составить таблицу испытаний,

вкоторой значения

расположить в порядке возрастания (критерии минимизируются на М0)

Второй этап. Выбор критериальных ограничений. По оп. 1.3 ЛПР анализирует последовательно таблицы значений частных критериев и назначает ограничения F ’", i = 1,«, без каких-либо условий по комби­

нациям значений критериев.

Третий этап. Проверка непустоты множества ^-допустимых точек альтернатив. 3.1. Последовательно выбирать таблицы значений частных критериев (по п. 1.3).

3.2. Отобрать значения критерия, удовлетворяющие ограничениям

F,{xJt) < ... 2 F frj) <, F " , i = 1,л.

3.3. Установить наличие точки х у>, для которой одновременно вы­ полняются все неравенства F, (•)€ F " для всех / € ~йп.

3.4. Если существует точка Xj , для которой выполняются все не­ равенства п. 3.3, то D 0 , и многокритериальная задача разрешима.

В противном случае необходимо вернуться к этапу 2 и потребовать от ЛПР уступок при назначении значений /)**, i = 1,я. Если такие уступ­

ки невозможны, то возвратиться к первому этапу и увеличить количе­ ство пробных точек; затем перейти к выполнению второго и третьего этапов.

3.5.Построить множество точек D в пространстве значений частных критериев для всех пробных точек из множества D.

3.6.Пометить паретовские точки; они расположены на границе

множества точек D. Для этого воспользоваться эквивалентным опреде­

лением эффективной (оптимальной по Парето) альтернативы, т. е. про-

229

верить, состоит ли из единственной точки пересечение неположитель­ ного ортанта, имеющего вершину в точке х , с множеством значений

частных критериев (см. [39]).

7.3. Аналитический метод построения множества Парето

Если Ft(x) и F2(X ), х е М0с Е " , —дифференцируемые функции и оба

критерия минимизируются, то множество Парето (компромиссную по­ верхность) можно найти аналитически как геометрическое место точек соприкосновения поверхностей уровня F^x) = bx и F2(x) = Ьг. В таких

точках

gradf,(x) = -XgradF2(x)

Компромиссная кривая соединяет точки абсолютного минимума функции F,(x) и Р2(х). Если вся эта кривая входит в М0, то определяю­ щие ее значения х и составляют совокупности множества Парето. Если же в М0 входит только ее часть, то точки компромиссной кривой, во­ шедшие в М0, по-прежнему принадлежат множеству Парето, а кроме того, парето-оптимальными могут быть и точки на границе области М0,

что проверяется непосредственно по определению множества Парето. Отмеченные обстоятельства учитываются в следующей теореме.

Теорема Да Канха—Полака—Джофриона. Пусть векторные функции Fix), g(x) дифференцируемы покомпонентно в точке

*°с М0, М0 = {хе D \gj(x) Z 0 , j = 1,*}, Z )c F ,

и выполнено условие регулярности: существует такая точка х е Е п, что

S ^ v ^ ( x ° ) = a Уб/(х°)

230