книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

d3(F,G) = JT O -G (*)]2W(z))dG(z),

z

где \|/(G (z)) — весовая функция, например \у(<7(г)) = 1.

Если вычисленная статистика не превосходит пороговый уровень с(а), установленный согласно допустимому значению вероятности ошибки первого рода а, то выбор решения делается в пользу гипотети­ ческого распределения — гипотезы в противном случае принимает­ ся решение в пользу гипотезы # 0, т.е. решение о несоответствии рас­ пределения G распределению F. Величина порога с(а) находится из

соотношения

mm, wz)) >cm= а,

где P(d(F(z), G(z)) > c|#i) — закон распределения вероятности статисти­ ки d. Этот закон табулирован для указанных статистик, соответствую­

щие таблицы значений </„ / = 1, 2, 3, в зависимости от а, приведены в [65; 66].

Тест согласия х2 Пирсона. Гипотетическое распределение G(z) из­ вестно полностью. Область изменения величины Z разбивается на I под­ множеств Д„ i = 1,/. Далее вычисляются вероятности Р„ / = 1,/, принад­

затем вычисляется мера расхождения данных выборки т{, тг, ..., т, с гипотетическими данными прь пръ ..., пр, по выражению

процентной точкой случайной величины, имеющей ^-распределение с (п - 1) степенями свободы, т.е. Р(%2 > х«) = а >если для G(z) параметры неизвестны и они оцениваются по выборке объема п, то число степеней свободы для х2_распределения равно п — г — 1, где г — количество

оцениваемых параметров. Если вычисленное значение X2 > %2, т° гипо­ тетическое распределение G(z) отклоняется; оно принимается, когда

Х2^Х«- Процентные точки х2-распределения приведены в таблицах [65]. Заметим, что х2-тест может быть выведен из метода максимума правдоподобия [62]. Действительно, пусть для Z/e А, каждой подсово­

купности Z c Д, известна функция правдоподобия (вероятность попада-

Ш

ния измерений Z в интервал Д,) р "' (Z |Д, ,(3), зависящая от неизвестного

параметра. Тогда функция правдоподобия принадлежности всей выбор­ ки интервалу Д = иД„ иД, = 0 , при независимых измерениях определя­ ется выражением

т = Г Р Я" (21д<»р)=П/>”'<р>-

<=1

рифмируем:

пР,Ф)

гф) = X 7" '1п

/=1

здесь «Р,(Р) = Zi — ожидаемое количество измерений , которые должны принадлежать интервалу Д(. Составим разность Zi — т ,— пР£Р), тогда

Х « , - Х * ( -»Х^|(Р) — «-о и пР^ф)-т,-ц,

/=1 1=1 1=1

при этом

*Р) = Х >я,1п

/=1

к критерию minx2.

Тест Колмогорова—Смирнова. Когда распределение G(z) неизвестно

или представляется неточно заданной сложной гипотезой, проверка ре­ шения о тождественности эмпирического и гипотетического распреде­ лений осуществляется по двум выборкам, одна из которых получена из эксперимента, а другая сформирована как обучающая — опорная. В этом случае статистика различения распределений G(z) и F(z) записы­

вается в виде

112

d(F„ (z),Gm (z)) = sup \F„(z)-G m(s)|, z

где n и m — объемы одной и другой выборок. Иначе говоря, осуществ­ ляется проверка однородности смешанной выборки объема п + т. Ре­ шение принимается в пользу тождественности распределений Gm и F„,

когда выполняется условие

d(F„,GJ < da,

где da — пороговое значение, установленное согласно допустимой ошибке первого рода а, в противном случае гипотеза Gm(z) отклоняется. Значение da вычисляется по распределению Колмогорова для статисти­ ки d(F,G) [65].

Знаковый тест. Тест основан на подсчете положительных и отрица­ тельных знаков независимых выборочных данных — наблюдений отно­ сительно нулевой медианы. Пусть z = (s,, s2, •••> z„) — выборка объема п из независимых одинаково распределенных значений; тогда знаковой статистикой называется вектор

sign* = (signs,, signs2, .... signs„),

1,s, >0, / = 1,и,

где signs, = •0,s, =0,

- l ,s , <0.

Если случайная выборка описывается симметричной плотностью вероятности, т.е. P(z,) = Д —s,), i = 1,л, то статистика signs имеет распре­

деление

Д signs = у) = (1/2)", у = -1 ; 1.

Для выбора решения в пользу гипотезы # 0 о том, что медиана гипо­ тетического распределения G(z) равна нулю, против альтернативы состоящей в том, что медиана распределения F(z) больше нуля, вычис­

ляется статистика вида

I

/(s) = £ signs,, /=i

которая затем сравнивается с пороговым уровнем л(а), установленным для допустимой ошибки первого рода а. Если /(s) ^ л(а), то гипотеза Я0 отвергается, в противном случае она принимается. Статистика l(z) имеет биномиальное распределение с параметром р = P(z, > 0), / = 1,я, и

при этом [61; 64] функции правдоподобия имеют вид

Г т = к\Н 1) = С кяр к(1 -р У -к,

/(/(s) = * |tf,) = C „*(l/2)\ к = 0, 1, 2, ..., «;

вероятность правильного выбора решения в пользу Я0 равна

/> (у,|я,)= Х О * а - / > Г * ;

*=я(а)+1

пороговое значение вычисляется из выражения

£ с я*(1/«Г = «,

*=к(а)+1

из которого видно, что а не зависит от G(z), т.е. знаковый тест — непа­ раметрический при симметричном распределении G(z).

Ранговый тест. В основе этого теста перестановки наблюденных и опорных — обучающих данных в порядке их возрастания

*<’>< t 2) <... £ & < ... £ z?*mK

где 2е0 — /-я по величине компонента вектора смешанных данных. По­ лученный таким образом вариационный ряд называется порядковой статистикой. Пусть в этом ряду компоненты упорядочиваются строго, тогда рангом R, & компоненты называют число компонент, не превос­ ходящих R, — это ранговая статистика элемента г(0. Ранговая стати­ стика обладает свойством инвариантности относительно нелинейных

монотонных преобразований, так как они не нарушают расположения элементов выборки в вариационном ряду. Поэтому до выбора реше­ ния можно пользоваться отношением порядка между компонентами выборки.

Для однородной независимой наблюденной и опорной выборки значение ранга какого-либо элемента, очевидно, должно быть равнове­ роятно независимо от распределения G(z), так как наблюденные данные

перемешаны равномерно в вариационном ряду. Однако если справедли­ ва гипотеза F(z) < G(z), то опорные данные должны располагаться пре­

имущественно в правой части ряда, т.е. будут иметь место различия в значениях рангов опорных и выборочных — наблюденных данных. Од­ ним из простых и наиболее распространенных ранговых тестов выбора решения является тест Вилкоксона [671: гипотеза о получении экспери­ ментальной выборки из симметричного распределения G(z) отвергается,

если сумма рангов обучающей выборки превышает пороговый уровень, который устанавливается согласно допустимому значению ошибки пер­ вого рода.

Ранговый тест можно преобразовать в мажоритарный выбор или, что то же, в выбор наилучшего элемента независимой выборки по боль­ шинству голосов индивидуумов (см п.1.7) , когда каждый элемент ха­ рактеризуется многими признаками и параметрами, а число элементов больше или равно трем. В этом случае вводится функция

114

Г л а в а пятая

Необходимые и достаточные условия оптимальности выбора решения при конфликте

5.1. Необходимые и достаточные условия выбора решений по принципу максимина

Принцип максимина используется при исследовании, например, конфликта двух сторон или двух коалиций, когда каждая из них стре­ мится максимизировать свой минимальный выигрыш. Этот принцип называется также принципом наилучшего гарантированного результата.

Соответствующие оптимальные стратегии сторон могут составлять и си­ туацию равновесия — седловую точку, а в бескоалиционных конфлик­ тах — точку status quo.

5.1.1. Необходимые условия оптимальности стратегий для статических задач принятия решений

Рассмотрим статическую задачу выбора решений с распадающимися переменными

max min/Хх, у)-» х° е М 0,

хеЛ/о y e N

где х® — оптимальная (гарантирующая) стратегия ЛПР; F(x,y) — не­

прерывная вместе с — функция на М'0 — открытом множестве,

М0 е Л/0'; N — компакт; М0 — выпуклый компакт.

Если х° е М0 — оптимальная стратегия, то с учетом свойства диффе­

ренцируемости функций minF(x,y) должно выполняться необходимое

где Дх°) — множество всех допустимых направлений в точке х°, т.е. на­ правлений, не выводящих из М0>

116

/J(x°) = Aigmin/:'(x0,y) при x = x°. yeN

Действительно, так как х° — оптимальная стратегия, то по определе­ нию имеем

Ц(х°)= max min Д х , у) £ ц(х) = min Д х, у) V xe М0,

откуда получаем производную по направлению g

дц(*°) _ limH(*° + o g )-p (x °) «-»0 а

вследствие того, что числитель в этом выражении всегда меньше или равен нулю для Vg е Дх°). Таким образом, становится обоснованным и

сформулированное необходимое условие оптимальности стратегий х° € Л/0; очевидно, оно эквивалентно выражению

конус, сопряженный конусу Дх) возможных направлений множества М0 в точке х, Дх) — замыкание конуса Дх) = {V= X(z —х)|А, > 0, z е М0).

Например, при отыскании стратегии

х° = arg max minF(x,y),

где х е [0,11, У ~ 1» 2, Дх,1) = - х 2, Дх,2) = - ( х - I)2, множество

Д х) = {2}, если х е [0, 0,5), Д х) = {1,2}, если х = 0,5 и Д х) = {1}, если

хе (0,5, 1];

Дх е [0; 0,5)) — точка из множества [2, 1); Д х е (0,5; 1]) — точка из

множества (-1 ,-2 ];

L(x = 0,5) — отрезок, соединяющий точки Z\ = ЭДх,1)/Эх = - 1 и 1г —ЭДх,2)/Эх = 1.

_ Дх) — прямая, представляющая всю ось абсцисс, при этом Дх) = Дх);

/Дх) — прямая, перпендикулярная оси абсцисс в точке х. В этом примере только в точке х = 0,5 выполняется необходимое условие

- Д х = 0,5) п /Д х = 0,5) Ф0 .

117

На рис. 3 дана геометрическая интерпретация необходимого усло­ вия в Е* с иллюстрацией полной совокупности операций по его уста­ новлению, когда на М0 заданы две вогнутые критериальные функции

Fi(x) и F2(X ).

Совокупность включает следующие операции:

1. Построить исходное множество М0 — множество допустимых аль­

тернатив, на котором должно быть найдено искомое оптимальное реше­ ние XQ.

2.Построить линии равных уровней — значений критериев F,(x) и F2(x), указать их максимальные значения maxF,(x) и maxi^x).

3.Установить области в виде вложенных один в другой выпуклых секторов, образовавшихся в результате пересечения линий равных уров­ ней; на рисунке они обозначены штриховыми черточками, направлен­ ными во внутрь секторов и непосредственно связанными с соответст­ вующими линиями равных уровней критериев. Такие секторы обозначены min{/’1(x), F2(x)}.

4.Выявить точки, принадлежащие одновременно какому-то выпук­ лому сектору и границе исходного множества М0 (границе потому, что в

рассматриваемом случае значения тах/^х) и т а х /’2(х) находятся за пре­ делами множества М0); на рисунке имеются две такие точки, одна из них х0 — это точка пересечения границы множества М0 и выпуклого

Рис. 3. Геометрическая интерпретация необходимого условия в Е2:

I — оптимальная по Слейтеру альтернатива в точке х®; 2 — исходное множество допустимых альтернатив; 3 — линии уровней критериев F\(x), F2(x); 4 — максимальные значения критериев /^(х), F2(x); 5 — градиенты функций /^(дс0), F2(х°); 6 — конус Дх°), аппроксимирующий множество Щ в точке д^; 7 — сопряженный конус Г*(х9) для конуса Ддс°); 8 — конус - Г ¥{х9), противоположный конусу Г+(х°); 9 — выпуклая оболочка ЦхР), относящаяся к точке х°; 10— выпуклая оболочка L(x), относящаяся к точке дг, II — неоптимальная альтернатива дг, 12 — градиент функций ^(дс), F2(x) в точке х; 13 — конус Дх), ап­ проксимирующий множество М0 в точке дг, 14 — конус / ’♦'(дс), сопряженный для конуса Дх); 15 — конус

- Г ¥(х), противоположный конусу Г*(х)

118

сектора с более частой штриховкой, а другая — точка х, являющаяся точкой пересечения границы М0 и выпуклого сектора с более редкой

штриховкой (внутри этого сектора располагается сектор с более частой штриховкой).

5.В точке х0 построить векторы градиенты функций F,(x) и F2(x); на

рисунке они обозначены как gradf,(x°) и gradF2(x°).

6.Построить выпуклую оболочку для этих градиентов; на рисунке она обозначена через Дх°) как отрезок прямой, соединяющий концы векторов градиентов grad/^x0) и grad/^x0).

7.Линеаризовать в точке Хф множество М0, т. е. построить в этой точке конус Дх°) как линеаризованное множество М0. Этот конус охва­

тывает полупространство, указанное на рисунке черточками возле обо­ значения Дх°).

8.Построить в точке XQсопряженный конус Д(х°) для конуса Дх°).

9.Построить в точке х0 противоположный конусу Г+(х°) конус, на рисунке противоположный (обратный) конус обозначен как - Г +(х°).

10.Проверить пересекается ли построенный конус - / ’+(х°) с выпук­ лой оболочкой Дх°); если пересечение установлено, то это означает, что

вточке выполняется необходимое условие оптимальности альтернативы XQ из допустимого множества М0. Необходимое условие на рисунке при­

ведено в виде выражения —Г+(х°) n Z,(x°) * 0 , видно, что в точке Хо оно выполняется, х0 — оптимальная альтернатива. Это условие тождествен­ но условию пересечения выпуклой оболочки Дх°) с выпуклым конусом Дх°) только в одной единственной точке, оно однозначно соответствует проиллюстрированному на рисунке условию оптимальности решения х° по Слейтеру.

Если теперь выполнить все перечисленные действия для точки х, являющейся точкой пересечения границы множества М0 и выпуклого

сектора с более редкой штриховкой, то придем к выводу, что необхо­ димое условие в этой точке не выполняется, а значит точка х, (как и любая другая не совпадающая с х0) не является оптимальным реше­ нием.

В случае нахождения значений maxF^x) и maxF2(x) внутри множест­ ва М0 конус Дх°) будет охватывать все пространство, т.е. в условиях рас­ сматриваемой задачи Дх°) = В , и тогда необходимое условие оптималь­

ности представляется фактом накрытия выпуклой оболочкой начала координат, что записывается выражением вида 0 е Дх°) или {0} е Дх°). Это условие тождественно пересечению выпуклой оболочки Дх°) с ко­ нусом Дх°) только в одной единственной точке — точке х0 (см. также п. 3.2).

Необходимое условие в случае вогнутости функции

ц(х) = ш ш Дх.у) yeN

является и достаточным для оптимальности х° е М0.

Проиллюстрируем реализацию условия (1) на трех частных случаях

(С) [6].

119

C l. Теорема. Пусть F (x,y) и F x(x, у) непрерывны на М0х N, где М0 = [а, Ь] — отрезок, N — компакт метрического пространства. Тогда для того чтобы х °е М0была оптимальной стратегией, необходимо, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) х° = а либо х° = Ь;

б) существуют две различные стратегии у1 у 2е N(x°), такие, что F(x° У ) = F(x° , у 2) = min F(x° ,у);

в) существует единственная стратегия у 1е Ы У ) и F j y , у1) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если выполнено условие а) или б), то теорема доказана. Пусть ни а) ни б) не выполнены; тогда верно условие в). Дей­ ствительно, если а) не выполнено, то а < х° < Ь, если б) не выполнено,

то JV(X°) = у1. При этом в точке х° имеем два допустимых направления g = 1, g = -1 и, воспользуясь выражением

max min

g e U x ° ) y e R ( x a )

получаем

Отсюда вытекает утверждение — условие в) Р 'ХУ , у 1) = 0.

Следствие. Пусть N = {у е F\cj <уу < dj,j = 1,л} и существует F ’ (х,у)

на [а, b ]x N, j = 1 ,п. Тогда для оптимальной стратегии х° должно выпол­

И

F y , у1) = F y , У) = minF(x°,y). yeN

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как x° — оптимальная стратегия, то вы­ полнено условие а), или б), или в) теоремы. Если выполнено а) или в), то существует единственная у1€ Й У ) и выполняется условие 1), а вы-

120