книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

эф ф ективны х модулей и многослойной модели. Увеличение жест­ кости заполнителя приводит к заметному сближению результатов и почти к полному совпадению при Е 2=1,5 ГПа.

Таким образом, результаты проведенных исследований поз­ воляю т в зависим ости от геометрических и механических пара­ метров слоев оценить ошибку в определении максимальных про­ гибов трехслойны х балок и цилиндрических оболочек, рассчитан­ ны х по модели с осредненными жесткостными параметрами.

4.5. Оптимальное проектирование двухслойных металлопластиковых оболочек вращения при осесимметричных взрывных и ударных нагрузках

Н аряду с исследованием динамического поведения композитных оболочек, подверж енны х при эксплуатации воздействию раз­ личн ы х нестационарных нагрузок, важное значение приобретает реш ение задач их рационального проектирования.

Традиционным подходом к решению оптимизационных задач является непосредственное использование методов математичес­ кого программирования [196,252]. При этом на каждом шаге опти­ м изационного алгоритма требуется осуществление поверочных расчетов конструкции с использованием исходной сложной матема­ тической модели. Каждый из этих расчетов может требовать значи­ тельного времени счета на ЭВМ. В настоящее время разработан ряд подходов, позволяющих сократить вычислительные затраты при реш ении задач оптимизации объектов со сложной математичес­ кой м оделью .

П одход к реш ению задач оптимизации сложных деформируе­ м ы х систем на основе имитационного моделирования предложен в работе [188]. В основе метода лежит итерационный процесс, на каждом этапе которого формулируется упрощенная имитационная модель сложной системы. С использованием этих моделей решается оптимизационная задача.

221

В работах [251,263] впервые предложен подход, основанный на дифференцировании по варьируемым параметрам матричного уравнения состояния конструкции с целью получения компонент градиентов физических ограничений оптимизационной задачи. Подобные подходы получили в дальнейшем название методов анализа чувствительности [59-61]. Преимуществом метода анализа чувствительности является то, что он позволяет вычислять про­ изводные компонент перемещений или напряжений в результате одного расчета конструкции. Однако этот подход требует вычи­ сления производных от матриц жесткости элементов и, следова­ тельно, требует специального программного обеспечения прямого расчета.

Среди работ по оптимальному проектированию неоднородных многослойных оболочек лишь небольшая часть посвящена неста­ ционарным динамическим задачам [16,17,25,27,59 -61,202], что объясняется прежде всего трудоемкостью численной реализации, так как в общем случае нестационарного нагружения оценка влия­ ния параметров проектирования на величины функционалов, рассматриваемых при оптимизации, сопряжена с необходимостью расчета поведения конструкции на всем отрезке времени ее функ­ ционирования. В работе [71] приведены результаты минимизации массы многослойной цилиндрической оболочки с ортотропными армированными слоями, работающей в режиме осевого вибрацион­ ного нагружения. В работе [202] на основе гибридного метода опгимизации решен ряд задач минимизации массы многослойных плас­ тин и цилиндрических оболочек, подверженных воздействию кратковременных интенсивных нагрузок. Исследовано влияние интенсивности нагрузки и ряда конструкционных параметров пластин и оболочек на оптимальный проект.

Ниже рассматривается постановка и методика численного решения задач минимизации массы многослойных композитных оболочек вращения нерегулярной структуры при осесимметричных импульсных и ударных нагружениях. Обсуждаются результаты ана­ лиза оптимальных по массе проектов двухслойных металлоплас­

222

тиковы х и однослойных металлических и композитных цилиндри­ ческих и сф ерических оболочек, нагруженных импульсом внутрен­ него давления, а такж е цилиндрических оболочек при ударе грузом конечной массы [16,17,20,25,27].

Рассмотрим постановку задач минимизации массы импульсно нагруженных многослойных оболочек с неоднородным по толщине пакетом слоев. Зафиксируем форму внутренней поверхности обо­ лочки, а такж е исходные характеристики композитного материала слоев: модули упругости Ек, Ек, коэффициенты Пуассона V*, V* и плотности р * , р* армирующих волокон и связующего соот­ ветственно. В этом случае вектор управляемых параметров имеет следую щ ие 3N независимые компоненты:

* =(V<Pi.Hi> -Л><р*>»*»>-Л >

к=1 о

Задачу минимизации массы импульсно нагруженной много­ слойной композитной оболочки сформулируем в виде задачи нели­ нейного программирования. Требуется найти значения компонент ве­ ктора управляемых параметров х* = (х,*, * 2 >—>*зя), которым соот­ ветствует минимальное значение целевой функции (массы оболочки)

G (x*) = m in G (x )

в области допустим ы х значений

223

принадлежащей области поиска

Область допустимых значенийD образована функциями огра­ ничений по жесткости оболочки

и (или) прочности слоев (критерий Хоффмана [258])

?i(x)=max{c‘(CTj2- а ‘3)г +с*(5‘3 -о* )2 +с*(Э* - 5 ‘2)2 +

и геометрическими ограничениями на верхние bf (i = 1, 3 N) и

нижние at (i = 1,ЗЛ0 гранииы изменения управляемых парамет­

ров. Здесь из - допустимая величина прогиба оболочки; 0 < а , <

<L - меридиональная координата точки на внутренней поверхно­ сти оболочки; 0 < /< 71время; N - число слоев оболочки; а*- - компоненты напряжений в главных осях ортотропии материала, которые выражаются через напряжения в осях оболочки по форму­ лам (1.36); с) (/ = 1,9) - параметры, определяемые через пределы

прочности однонаправленного композитного материала:

224

где (F ly, (F*)c - пределы прочности материала при растяжении и сжатии. Заметим, что для металлических слоев, если положить в (4.15) (Fi.)p = (F*)с = G ., Fjj = д/оГТз, получится условие Мизеса.

Совокупность геометрических ограничений задачи определя­ ется неравенствами:

О <(p* < n l 2, 0 < jLtA<1,

а толщины слоев меняются в пределах применимости гипотез Тимошенко [7]:

1/100£, < hk <1/20кп

где к. - максимальное значение кривизны оболочки.

Отрезок времени [0, Т] выбирается так, чтобы на его протяже­ нии проявились все основные факторы, характеризующие процесс нестационарного деформирования оболочки.

Успешное решение сформулированной задачи нелинейного программирования во многом зависит от правильного выбора ме­ тода оптимизации. Большое количество эффективных алгоритмов для решения задач математического программирования приведено в работах [196,252]. Однако ни один из известных методов нельзя считать универсальным средством для решения любых задачуслов­ ной оптимизации. При выборе существующих и при создании но­ вых алгоритмов математического программирования необходимо учитывать особенности рассматриваемых задач. Так, в данном случае, проверка ограничений (4.14), (4.15) осуществляется путем решения начально-краевой задачи о динамическом деформиро­ вании многослойной оболочки по вышеописанной численной мето­ дике. Алгоритмическое задание функций ограничений и их про­

225

изводных приводит к ограниченности информации, от которой в значительной степени зависитэффективность решения задачи. Этот недостаток информации приводит к резкому сужению круга воз­ можных методов оптимизации. Кроме того, решение оптимиза­ ционныхзадачнестационарнойдинамики многослойных оболочеч­ ных конструкций требует больших вычислительных затрат на проведение прямыхрасчетов, поэтому целесообразно использовать такой метод оптимизации, для которого число вычислений ограни­ ченийбыло бы минимальным. В подобного рода задачах чаще всего используются прямые поисковые методы, которые могут решать задачи при незнании априори аналитических связей, описывающих конкретные процессы. Для поиска важно, что такие связи сущест­ вуют и есть возможность для любого х G П получить значения функций G(x) и gj (х) (j = 1, т). Помимо этого, прямые поиско­ вые методы обладают большой надежностью, что не менее важно в условиях ограниченности информации относительно характера задачи.

С учетом вышесказанного для решения поставленной задачи минимизации массы импульсно нагруженных многослойных обо­ лочек разработана численная методика, включающая в себя метод Бокса [196,252], методику прямого расчета, описанную во второй главе, и процедурулокальной аппроксимации функций физических ограничений [188].

При решении задач нелинейного математического программи­ рования методом Бокса используются фигуры - “комплексы”, состоящие из 2w+1 {п- число варьируемых параметров) вершин. В качестве первой вершины комплекса принимается начальная точках0, лежащая внутри допустимой области. Остальные 2п вер­ шин определяются по формулам:

226

где s - заданная малая положительная величина.

Для сокращения времени решения задачи используются локаль­ ные аппроксимации функций физических ограничений выраже­ ниями вида [188]:

gJ(x) = al>+aMxl)+...+anf n(xJ (j = \,m), (4.16)

где а (/ = 0, и) - неизвестные коэффициенты, определяемые с по­ мощью метода наименьших квадратов;Д х .) - заданные функции параметров оптимизации. После этого задача нелинейного матема­ тического программирования решается описанным выше методом Бокса с ограничениями (4.16). Стратегия поиска и основные пара­ метры алгоритма аналогичны тем, что использовались в работе [188].

Применение этого подхода в сложных задачах оптимизации многослойных оболочек при импульсном нагружении позволяет значительно (примерно в 10-15 раз) сократить количество решений прямой начально-краевой задачи.

Сокращение времени решения задачи достигается также ис­ пользованием разработанного приема регуляризации разностной схемы при проведении прямых расчетов оболочки при фиксиро­ ванном наборе управляемых параметров. Поскольку шаг интегри­ рования по времени вявной схеме лимитируется толщиной наибо­ лее тонкогожесткого слоя, то в процессе решения задачи минимиза­ ции массы оболочки шаг по времени уменьшается, что приводит к существенному увеличению времени решения задачи. Регуляри­ зация разностной схемы позволяет избавиться от ограничения шага по времени толщиной слоя и выбирать его для всех вариантов, исходя из дискретизации меридиана оболочки. При этом точность определения напряженно-деформированного состояния практи­ чески не изменяется, а шаг интегрирования может возрастать на порядок [26].

Следуетзаметить, что метод Бокса не гарантирует глобальности найденного решения. Поэтому для отыскания глобального экс­

228

тремума многоэкстремальной задачи в допустимой области / > 1 раз случайным образом выбирается начальная точка поиска. В результате сравнения / решений выбирается наименьший излокаль­ ных минимумов. Очевидно, что с увеличением числа испытаний/ возрастет надежность полученного таким образом глобального ре­ шения.

На практике при проектировании оболочечных конструкций часто встречаются ситуации, когда материал слоев оболочки задан (|1А- фиксированы). В этом случае размерность задачи оптимиза­ ции сокращается с 3N до 2N, а вектор управляемых параметров имеет вид x = (hl,<plt...,hk,(pk9...,hN,<pN).

К сокращению размерности задачи оптимизации приводит также и наличие в пакете оболочки слоев, изготовленных из изо­ тропных материалов. В этом случае в процессе оптимизации варь­ ируется только толщина слоев.

Взаключение отметим, что рассмотренный подход крешению задач минимизации массы импульсно нагруженных многослойных оболочек позволяет с единых позиций ставить и решать широкий класс задач, так как методы математического программирования обладают высокой степенью универсальности и не требуют ни разработки специальной методики, ни приспособления существую­ щего метода для решения каждой новой конкретной задачи. Уни­ версальность методов математического программирования всоче­ тании с численной методикой прямого расчета позволяет решать весьма широкий круг задач оптимального проектирования при са­ мых общих предположениях о геометрии конструкций, свойствах материала и характере внешних воздействий.

Ниже приводятся некоторые результаты решения задач мини­ мизации массы двухслойных металлопластиковых цилиндрических

исферических оболочек, нагруженных импульсом внутреннего давления, вызванного подрывом в геометрическом центре оболочек заряда взрывчатого вещества массой т [16,17, 25]. Закон нагру­ жения определялся эмпирическими зависимостями (4.7).

Вкачестве векторов оптимизируемых параметров для цилин-

229

дрическойоболочки (R= ОД u\L-AR) принимались: х=(/г1,/22,ср) - для двухслойной металлопластиковой оболочки; х = (h2, ср) - для однослойной композитной; х = (Л,) - для однослойной метал­ лической. Предполагалось, что внутренний металлический слой выполнен из сплава Д16Т с характеристиками: £ = 73 ГПа; v = = 0,3; р =2700 кг/м3; а ф= 3,6 ГПа; g - 0,5 ГПа; композитный - из углепластика, имеющего характеристики: £,= 126,5 ГПа; £ 2= £ 3 = = 10,5 ГПа; G12 = G13 = 5,62 ГПа; G23= 3,6 ГПа; v 12 = 0,27; р =

= 1550 кг/м3; £ ,f = = 1,518 ГПа; F£ = F£ = 0,04515 ГПа;

Fn = F£ =0,168 ГПа; Fn = £ 13 = 0,0843 ГПа; £ 23 = 0,054 ГПа. При оптимизации двухслойной оболочки из условий прочности слоев при /72=0,033 кг были найдены две точки локального мини­ мума: первая с координатами х*=(0,0062 м ; 0,001 м; 13°) и значе­ ниями ограничений g,(x*)=0,78; g2(x*)=0,99; вторая - с коорди­ натами х = (0,001 м; 0,0048 м ; 87°) и значениями ограничений g,(x*)=0,96; g2(x*)=0,46. Масса второго проекта получилась рав­ ной 2,7 кг, что в 1,8 раза меньше, чем в первом случае. Полученный результат указывает на многоэкстремальный характер задачи оптимизации, который является следствием невыпуклости границ, обусловленных допустимыми значениями напряжений в слоях. На рис. 4.50 в плоскости параметров Л, и h2при ф = я /2 изображена область допустимых значений рассматриваемой задачи оптими­ зации. Линии 1 и 2 отвечают ограничениям, налагаемым на мини­ мальные значения толщин слоев; 3 соответствует геометрическому образу ограничения по прочности в металлическом слое. Аналогич­ ная граница для слоя из углепластика не приводится, так как она в процессе оптимизации не достигается. Границы области допусти­ мыхзначений отмечены штриховкой. Наклонные штриховые линии являются линиями равного уровня целевой функции G (x)=const. Как видно из приведенных результатов, в данном случае име­ ется единственный экстремум, расположенный на границе обла­ сти допустимых значений вточке А с координатами х*=(0,001 м ;

0,00495 м ). Таким образом, многоэкстремальный характер рас-

230