книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

задачи по комбинированной модели (вначале расчет проводится по модели с разложением в ряд при N=1 (К= 15), а затем, если выполняется условие (3.28), осуществляется переход к расчету по классической теории оболочек).

На рис. 3.8,6 для сравнения приведены идентичные кривые, но рассчитанные при Р3* =0,5 ГПа, тф= 2 (то есть получены при другой форме импульса, но равной величины Д = Р*тф/2 ).

Рис. 3.8

На рис. 3.9 приведены графики суммарной кинетической и по­ тенциальной энергии окружных и радиальных деформаций во вре­ мени, рассчитанные при Р3* = 2 ГПа, т#=0,5 (кривые 1,2,3) и Р3* = =0,5 ГПа, т*=2 (кривые 4,5,6 ). Кривые 1,4 соответствуют суммар­

ной кинетической энергии Е{ = Е* , кривые 2 ,6 - потенциаль­

ной энергии радиальных деформаций Ег = ^ 1^ 2 1и кривые 3,5 - потенциальной энергии окружных деформаций Еъ- ^ j £ 3K| •

131

^•Ю-7

0,8

0,4

0,2

Рис. 3.9

Результаты расчетов показывают, что при упругом деформиро­ вании возникают незатухающие колебания по толщине оболочки. Амплитуда этих колебаний возрастает с увеличением толщины обо­ лочки иуменьшением времени действия импульса давления. Умень­ шение толщины и времени действия импульса давления приводит к увеличению частоты поперечных колебаний. Поперечные коле­ бания слабо влияют на величину максимального перемещения сре­ динной поверхности оболочки. На стадии переходного процесса форма приложенного импульса оказывает существенное влияние на перераспределение потенциальной энергии окружных и ради­ альных деформаций. При действии короткого импульса (рис. 3.8,а)

условие (3.28) не выполняется, т.е. не происходит перехода от мо­ дели с разложением в ряд к классической теории оболочек, а при нагружении более продолжительным импульсом меньшей ампли­ туды (рис. 3.8,6) такой переход реализуется уже при т = 5 .

Аналогичные результаты расчетов, но с учетом упругопласти­ ческой работы материала оболочки, приведены на рис. 3.10-3.13. На рис. 3.10,3.11 приведены графики перемещений во времени для h/R=0,05, рассчитанные при = 2 ГПа, т,=0,5 и Р3* = 0 ,5 ГПа, т,=2 соответственно. Кривые 1,2,3 соответствуют срединной, внут­ ренней и внешней поверхностям оболочки. Кривые 4 получены при решении задачи в приближении классической теории оболочек. Кривые 5 получены при расчете по комбинированной модели.

132

На рис. 3.12,3.13 для тех же режимов нагружения приведены графики пластической деформации е" во времени. Кривая 1 соот­ ветствует срединной поверхности оболочки и получена при реше­ нии задачи в приближении N=7 (К= 15). Кривая 2 получена при решении задачи на основе классической теории оболочек.

Из приведенных результатов следует, что при упругопластичес­ ком деформировании колебания по толщине оболочки быстро запу­ хают (приблизительно через пять пробегов волны по толщине обо­ лочки). Увеличение толщины оболочки иуменьшение времени дей­

133

ствия импульса давления приводит к увеличению амплитуды по­ перечных колебаний. С уменьшением толщины оболочки и вре­ мени действия импульса давления частота поперечных колебаний

возрастает. Под действием более короткого импульса (т*=0,5, кри­ вая 1 рис.3.12), примерно при т = 0 ,1 , появляются знакопеременные пластические деформации е \. При расчете по классической теории оболочек пластическое деформирование начинается значительно

134

позднее, при т*= 3 (кривая 2 рис. 3.12), когда действие импульса давления уже окончилось. Этим объясняется различие как в макси­ мальных пластических деформациях (рис. 3.12), так и вмаксималь­ ных прогибах (кривые 1,4 рис. 3.10). При нагружении более продолжительным импульсом (т ,= 2 ) меньшей амплитуды пластическое деформирование начинается практически одновременно как при расчете по модели с разложением в ряд, так и по классической теории оболочек.

Таким образом, при упругопластическом деформировании ве­ личина максимального прогиба на срединной поверхности обо­ лочки при расчете по модели с разложением вряд зависит нетолько от величины приложенного импульса давления, но также и от его формы. Форма импульса давления оказывает существенное влия­ ние на механизм диссипации энергии при поперечных колебаниях. При решении задачи по классической теории оболочек, ввиду ма­ лой длительности импульса (т,<Р0/4, где PQ- период колебаний оболочки по низшей форме), его форма не оказываетсущественного влияния на максимальное перемещение срединной поверхности оболочки. Переход от расчета по модели с разложением в ряд к классической теории оболочек (комбинированная модель) реализу­ ется только для более продолжительных импульсов нагружения с меньшей амплитудой, которые не вызывают интенсивных попереч­ ных колебаний.

Аналогичные исследования выполнены наоснове упруговязко­ пластической модели поведения материала оболочки. Из получен­ ных результатов следует, что качественно характер решения, полу­ ченного на основе упруговязкопластической модели поведения материала оболочки, не меняется по сравнению с упругопласти­ ческим решением. Однако количественно наблюдается некоторое расхождение решений, которое проявляется в уменьшении ампли­ туды поперечных колебаний и величины максимальных перемеще­ ний и пластических деформаций. Качественно и количественно различается зависимость предела текучести от скорости деформи­ рования, вычисленная (при идентичных нагружениях) на основе

135

модели с разложением в ряд и классической теории оболочек. Различия зависят от толщины оболочки и параметров импульса давления. Они растут с увеличением толщины оболочки и умень­ шением длительности импульса. Нарушение баланса энергии (3.27) во всех вышерассмотренных примерах не превосходило 1,5% работы, производимой внешними силами.

На рис. 3.14 приведены сводные кривые зависимости £ / 3 / R

от тJPQ, полученные в предположении упругого деформирования материала оболочки. Здесь обозначено: £ /3 - первый максимум перемещения срединной поверхности оболочки, PQ- период упру­ гих колебаний оболочки по низшей форме.

Кривые 1,2,3,4,5 рассчитаны для h/R= 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01 соответственно при условии IJh = const. Сплошные кривые получены при расчете по модели с разложением в ряд, штриховые - по классической теории оболочки, штрихпунетирные - по комби­ нированной модели.

Сравнительный анализ приведенных кривых показывает, что с уменьшением толщины оболочки и увеличением длительности импульса т, (при условии /,= const) результаты расчетов по модели

136

сразложением в ряд и классической теории оболочек сближаются. Результаты расчетов по комбинированной модели на стадии пере­ ходного процесса при малых тфсовпадают с расчетами по модели

сразложением в ряд (т.е. комбинированная модель не реализуется),

ас увеличением т, находятся в хорошем соответствии с "точным" решением.

Результаты решения упругопластической задачи приведены на рис. 3.15 в виде графиков 1-5 изменения максимального прогиба

и*ъ/ R от параметра т,/Р0, характеризующего длительность импу­ льса, для различных h/R=0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01. Как и выше, расчету по модели с разложением в ряд соответствуют сплошные кривые, штриховые получены при решении задачи по классической теории оболочек, штрихпункгирные - для комбинированной модели.Из анализа этих результатов видно, что уменьшение длитель­ ности импульса при расчетах по модели с разложением в ряд приводит к существенному увеличению максимума прогиба. Этот эффект проявляется в большей мере с увеличением толщины обо­ лочки. Форма импульса давления в рассмотренном диапазоне длительности действия (тф=0 -г Р„/4) практически не влияет на

максимум прогиба при решении задачи в приближении клас­ сической теории оболочек. Результаты расчетов по модели с раз-

137

ложением в ряд и классической теории оболочек сближаются с уменьшением толщины оболочки и увеличением времени действия импульса давления т*.

Комбинированная модель при коротких импульсах не реализу­ ется, а с увеличением т, дает результаты, хорошо соответствующие

"точному" решению.

Результаты исследования влияния величины импульса давле­ ния (его амплитуды) на максимум прогиба приведены на рис. 3.16. Расчеты проводились на основе модели с разложением в ряд при

h/R—0,05 в предположении упругопластического деформирования материала оболочки. Кривая 1 на рис. 3.16 идентична кривой 3 на рис. 3.15, а кривые 2,3,4 рис. 3.16 получены при последовательном уменьшении величины импульса давления (его амплитуды) в два раза. Видно, что с уменьшением амплитуды импульса давления наблюдается уменьшение зависимости максимума прогиба от формы импульса.

-Uj/R-103

1,6

0,8

Сводные кривые зависимости U] / R от тJPQпри расчете на основе упруговязкопластической модели поведения материала оболочки приведены на рис. 3.17. Обозначения кривых на рис. 3.17 идентичны рис. 3.15.

Из анализа приведенных результатов следует, что качественно характер зависимостей максимума прогиба на срединной поверх-

138

ности оболочек от формы импульса давления не меняется по срав­ нению с зависимостями, полученными на основе упругопластичес­ кой модели работы материала оболочки. Однако вследствие того, что при упруговязкопластическом деформировании происходит уменьшение амплитуды поперечных колебаний, переход от расчета по модели с разложением в ряд к классической теории оболочек происходит раньше (то есть комбинированная модель реализуется при меньших т,), чем при расчетах на основе упругопластической модели поведения материала оболочки.

Рис. 3.17

Как было отмечено выше, одним из критериев применимости классической теории оболочек является малость полной энергии

139

чек при импульсном нагружении рассмотренного вида. Эти области ограничены осью абсцисс и кривыми 1, 2 , 3 в случае упругой, упруговязкопластической и упругопластической работы материала оболочки.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что область применимости классической теории оболочек при импуль­ сном нагружении рассмотренного вида при упругом деформиро­ вании несколько шире, чем при упруговязкопластическом и упруго­ пластическом.

3.1.3. Деформирование упругопластических сферических оболочек при тепловом ударе

Проведено исследование одномерного волнового процесса упруго­ пластического деформирования сферических оболочек при тепло­ вом ударе различной интенсивности и определена область пара­ метров (толщины оболочки и темпа нагрева), где роль волновых процессов по толщине несущественна и применима классическая теория оболочек.

Исследования проводились на основе системы уравнений (3.9)-

(3.11) при нулевых начальных условиях [6 ]. Материал оболочки АМГ-3 имеет следующие характеристики [6 6 ]: р = 2,73 103 кг/м3; v=0,347; а = 0,255 10"4 град-1.

Радиус срединной поверхности оболочек R=0,1 м. Изменение температуры во времени задавалось функцией

7(сХз,/)=7,,(1 -ег*), ®=t/(P0k\ где Г*=400 °С - максимальная тем­

пература нагрева; - параметр, характеризующий темп

нагрева; Р0- период упругих колебаний оболочки по низшей форме.

140