книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

Характерные зависимости остаточных пластическихдеформа­ ций е”п вдоль радиуса пластины на внутренней (кривые 1) и внеш­ ней (кривые 2 ) поверхностях оболочки, рассчитанные по выше­ изложенной методике (сплошные линии) и методике шаговой линеаризации (пунктирные линии) [41], представлены на рис.3 .3 4 , а, б, в для h/R= 0,0125 при различной начальной скорости й\ = =300, 200,100 м/с в момент времени /, = 16.

161

Кинетика пластических деформаций для h/R= 0 ,0 1 2 5 и = = 300 м/с в моменты времени = 1,2 ,4 показана на рис. 3.35,а, 5 ,в соответственно.

«)

Рис. 3.35

Из приведенных результатов следует, что с увеличением началь­ ной скорости нагружения (увеличением максимальных переме­ щений) остаточные пластические деформации увеличиваются и становятся немалыми (достигают 2 0 %).

162

На рис. 3.36 показана относительная разность максимальных

перемещений 8 = (wj* - м3*) • 1 0 0 % /м " (и " - максимум пере­ мещения при расчете по методу шаговой линеаризации, и*г - мак­ симум прогиба при расчете по вышеизложенной методике) взави­ симости от начальной скорости ц®. Кривая 1 соответствует h/R=

= 0,0125, 2 - h/R= 0,00625. Видно, что с увеличением началь­ ной скорости нагружения наблю­

быстрому увеличению относительной разности максимальных пе­ ремещений 8 .

Проведен сравнительный анализ решений, полученных по мо­ дели с разложением в ряд и модели типа Тимошенко для жестко защемленных круглых пластин, нагруженных равномерным им­ пульсом внешнего давления:

Радиус пластины R = 0,05 м. Материал пластин - сплав Д16Т. Начальные условия нулевые.

На рис. 3.37 приведены графики перемещений UJR во време­ ни f,=tcJR “полюсной” точки на срединной поверхности пласти­ ны, рассчитанные при hIR=0,5 в рамках модели типа Тимошенко (кривая 1) и модели с разложением функций перемещений в ряд

163

по толщине пластины (кривые 2 ,3 ,4 , вычисленные при jV= 3

(АТ= 11), N= 5 {К—13), N—7 (АГ= 15) соответственно).

Рис. 3.37

Аналогичные расчеты для h/R<0,5 при условии q\ / h = const показали, что с увеличением числа членов аппроксимирующего ряда максимум прогиба в“полюсной” точке сначала увеличивается, а затем практически остается неизменным (то есть решение сходи­ тся). С уменьшением толщины пластины результаты расчетов по модели с разложением вряд и теории типа Тимошенко сближаются.

На рис. 3.38 в момент времени /, = 15,3 показана точность удо­ влетворения краевых условий (по нормальным напряжениям) на поверхностях пластины (h/R= 0,5) при различном числе членов аппроксимирующего ряда. Сплошной линией показано изменение напряжений на внешней поверхности, штриховой - на внутренней.

164

Кривые 1 соответствуют расчету при N=3 (К= 11), кривые 2 - при

N= 5 (К= 13) и 3 - при N=7 { К - 15). Увеличение числа членов аппроксимирующего ряда приводит к повышению точности удо­ влетворения краевых условий (при N=7 { К - 15) погрешность выполнения краевых условий была менее 5% от q\ ).

На рис. 3.39 построены кривые зависимости относительной разности максимальных перемещений S = (f/3* - и**) • 100% / £ / 3

{VI - максимум перемещения в “полюсной” точке на срединной поверхности оболочки при расчете по модели с разложением вряд, а щ* - по теории типа Тимошенко) от геометрического параметра

R/h.

Рис. 3.39

Кривая 1 получена при условии q\ fh = 0,12109= const, а кри­ вая 2 - для меньших амплитуд импульса давления q \ . Видно, что, начиная с h/R= 0 , 1 , наблюдается существенное расхождение в ре­ зультатах расчетов по модели с разложением в ряд и теории типа Тимошенко, причем увеличение максимальной амплитуды импу­ льса давления q\ (увеличение прогибов пластинки) приводит к сужению области применимости модели Тимошенко.

165

3.3.Процессы деформации

вупругопластических цилиндрических оболочках при осесимметричном импульсном нагружении

На основе модели с разложением в ряд и теории типа Тимошенко приводятся формулировка и анализ решения задач упругоплас­ тического осесимметричного деформирования цилиндрических оболочек при действии импульсных нагрузок. В частности, про­ ведено исследование переходного волнового процесса в бесконечной цилиндрической оболочке, нагруженной локальным импульсом внешнего давления, при различном количестве членов аппрок­ симирующих рядов и проанализирована их сходимость. На примере динамического упругопластического деформирования цилин­ дрической оболочки конечной длины, нагруженной по поясу шириной / импульсом внешнего давления, проведено сравнение результатов решения по модели с разложением в ряд и модели типа Тимошенко [7,11].

Отнесем цилиндрическую оболочку длиной L и радиусом R к

системе координат а ( / = 1, 3 ): а , направлена вдоль образующей оболочки, а 2 - по окружности, а 3 - по внешней нормали к средин­ ной поверхности. При этом коэффициенты первой квадратичной формы и главные кривизны будут равны: А, =А2= l,k}=0,k2=\/R.

Используя в (1.16) в качестве заданных функций полиномы Лежандра Ря(х), представим аппроксимирующие ряды в следую­ щем виде:

где x=2ajhy Л- толщина оболочки.

166

Л инейны е составляю щ ие деформаций цилиндрической обо­ лочки с учетом осесимметричного характера деформирования и соотнош ений (3.41) запишутся в виде:

Н елинейны е компоненты тензора деформаций e..(i = 1,3), е,3 определяю тся соотношениями (1.7) с учетом (3.42).

Ф изические уравнения устанавливаются в рамках дифферен­

циальной теории пластичности с линейным упрочнением [153].

Д ля вывода уравнений движения цилиндрической оболочки используется вариационное уравнение динамики (1.51), которое в

данном случае запиш ется в виде:

167

169

F1 = A (1 - M / 2 ) + 9,(1 + M ' ' 2 ),

^ = Л ( 1 - М / 2 ) - ? 3 (1 + * 2Л / 2 ) ,

М , = 9 , (1 + k2hl2) - р ,( \ - к 2И/2 ),

6

М 3 = - А л (1+А21 )"9з(1+А21) ’

^ -I

Применяя к (3.43) стандартную вариационную технику, получим:

170