книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdfС 23 “ / 1 |
“ |
а П |
~ а \\а 2' |
2 |
|
||
( Д22 |
Д23) а 11 + 2Л|2 (^23 ~ Л22) |
||
G 12 = G |, |
= |
4а., |
(1-33) |
|
|
4 ^ ’ |
|
где компоненты тензора податливости a(Jопределяются через упругие характеристики матрицы и волокна по формулам:
1
" " _ [ 1 + ( « - 1 ) и К ’
____ |
(м + И(1 - ц)][1+(и-1*0 - («IV, - v„)V(1 - И) |
||||
22 |
Н = |
|
[1+ ( « - 1 ) ц К |
|
|
|
. |
_ |
v,0-H) +v„ti |
|
|
|
в и _ в , > — & + ( и - 1 ) ц К ' |
|
( U 4 ) |
||
„ _ |
[voH + nvc(l-n)][l +(n-l)n]-(nvc-v „)2n0-H) |
||||
|
|
|
[1 + ( « - 1 ) M R |
|
|
|
(1 + |
Ус )[И( И - У е ) ( 1 - Ц ) + (1 + Уа )(1 + Ц)] |
|
||
а 55 - a 66 |
|
|
|
’ |
|
|
2 [и (1 + у Д 1 + ц)+ (1 + у 0) ( 1 - Ц ) к |
||||
|
_ _(l+v„)n+n(l+vc)(l-n) |
|
|
||
|
44 |
|
2 Ба |
’ |
|
п = EJEci |х - коэффициент армирования.
Эффективные упругие характеристики композитныхслоев под конструкций, состоящих из достаточно большого числаэлементарных слоев толщиной АЛус характеристиками Q (J = 1,М),опре деляются по формулам [82]:
41
Са Л ± С Ь ДАЯ
|
П j=\ |
|
|
J |
|
|
|
с а |
= Ц |
с п Щ |
, |
h j=1 |
|
|
|
|
п |
j=] |
|
|
|
||
1 |
|
|
r ^ |
c Y |
^ |
- c 1 |
(1-35) |
-----= Г Х т Т Г ’ |
CI3 “ Т с зз2-г ^ |
U|3’ |
|
||||
С33 |
Л у=| С33 |
|
^ |
./=• С33 |
|
||
г |
I r |
|
|
|
|
*1, A h , |
|
|
23 |
_ 1 _ = 1 у — t- |
|
||||
Ч з |
uLn L' гr j |
Gj3 |
hj^C{3' |
|
|||
|
|
7=1 '-'33 |
|
|
|
|
|
|
7г - т 2 & |
а = 5 > ; - |
|
||||
|
|
* 7 ? c i |
7=1 |
|
|
||
Если главные направления анизотропии слоя не совпадают с направлениями осей координат Осс, и 0 а 2, то в (1.35) упругие постоянные следует заменить преобразованными после поворота системы координат на угол (р. Заметим, что в этом случае материал слоя подконструкции не будет ортотропным, однако в слоистых композитах слою с углом армирования +ф, как правило, соответ ствуеттакой же слой с углом армирования -(р. Допустимо полагать, что такие два слоя образуют ортотропный слой, характеристики которого определяются по формулам [189]:
С„ = С,, cos4 ф + С22 sin4 ф + 2(С 12 + 2G12)s in 2 ф сов2 ф,
Сзг = С,, sin4 ф + С22 cos4 ф + 2(С,2 + 2G 12) sin 2 ф сов2 ф,
С33 = С33, С12 = Cj2 + [c,j + С22 "■ 2(С,2 + 2G I2)]sin ф соэ ф,
С,з = CJ3 cos2 ф + С23 sin 2 ф, С23 = C l3 sin 2 ф + С 23 c o s2 ф,
42
Gxз = G13 cos2 cp + G^ sin2 (p,
G23 = G13 sin2 cp + G23 COS2cp. |
(1.36) |
Материал композитной оболочки может быть как идеально упругим, так и подчиняться закону линейной наследственности. Уравнения состояния линейной теории вязкоупругости могут быть представлены в виде [189]:
з
(1.37)
где
I
о
о
о
о
Ryit), R*fi) - ядра релаксации; C °,G °,C “ ,G" - мгновенные и длительные эффективные жесткости композитной оболочки, которые определяются экспериментально или вычисляются по формулам теории армирования [189].
В рамках геометрически нелинейной теории малых деформа-
43
ций вариация работы внутренних сил оболочки, как трехмерного тела, имеет вид [209]:
M = J J J (a n8 fl) + o':22^^22 ° З з 8езЗ + ^ 128^12
V |
|
+ al38el3 + a 238e23)A]A2z]z2 d a xd a 2d a 3. |
(1.39) |
Здесь V- объем, занимаемый оболочкой в недеформированном состоянии.
Преобразуем выражение (1.39) с учетом соотношений (1.7), (1.15) к виду [209]:
х AlA2zlz2dalda 2d a 3. |
(1.40) |
Здесь Sy- проекции напряжений на направления осей недеформированной поверхности оболочки. Учитывая формулы (1.17), (1.18) и переходя в (1.40) к двумерной задаче, найдем
8А- |
+ Nn8sn + N218E21 + N228E22 +Qn&£i3 + |
|
s |
+ £з|8® |э +£>2& п +£>з'25ае2з + £>335а;33 +М,",5аен +
+
44
Введенные в (1.41) интегральные характеристики - суть проек ции внутренних усилий и моментов, действующих в деформиро ванной оболочке на направления осей до деформации. Они выража ются через усилия, статически эквивалентные истинным напряже ниям:
Л |
|
|
(NXX,M XX,TXX,LXX) = jtfi,z 20 ’a 3»a 3»a 3)^a 3» |
(1 |
2), |
о |
|
|
h |
|
|
(ЛГ12, Л / 12,Т ;2>£ 12) = J f f l2z 2 ( l,( X 3 ,a 32,a > ) < f a 3 , |
(1 |
2 ) , |
О |
|
|
45
0 3 |Ж » ) = |
(1 * * 2 ) ’ |
|
|||
|
0 • |
|
|
|
|
( й „ * л Д . ) |
= J o 3. V j ( 1>a 3’ ® 3 ) <* t3 ’ |
(1 |
* * |
2 ) ’ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
Q„ = | CT33Z|ZJ <fa3, |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
( Л / , М |
”п | » ^ Ш 1 » -^1112»^ |
1112^ 1113) |
= |
|
|
h |
|
|
|
|
|
= |сТ11^2(® П’ а З® П ’ а заеП»® !2»а зае12>Е1 з ) ^ а |
З> |
0 |
* * ^ ) , |
||
— |^ 1 2 г 2 (аг21»а ,3ае21’аг22’ а 3®22»е 2 з ) ^ а '3» 0 ^ 2 ) , 0
Гз1з3мшз»м *т ,м ,м;’т |
) = |
|
h |
|
|
~ | а 13г 2(® "з>а 3®13>®23»а 3®23»8 3 з ) ^ а |
3> 0 |
* * 2 ) , |
О |
|
|
Л |
|
|
= | стз1г 12 2(®1’1. “ з® "| ,ае"2 , а 3ае"2 , 8 " з , а 3е ”з)< й Х з, |
(1 ^ 2 ) , |
|
О |
|
|
И
(Мт^Щ ш,М"ту) =33z,zJa2 (ае"3, ае
46
A |
|
h |
|
(1 о 2), |
Mu = pnZ2<P„(a3)rfaj. M"2= Jz12z2<p,,(a3)da3, |
||||
0 |
|
o |
|
|
•) |
лр |
л |
|
|
^ 1 3 = |
J ‘y!3Z2a |
3 ^ a 3> A /|3 = /*У137 2<Р1,(а з ) ^ « 3 » (1 |
<-> 2 ), |
|
|
о |
0 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
M” |
= |i 2,z,z2(p'„(a3)<ia3, |
(1 <->2), |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
M'u = piiz2(p'(a3)rfa3, |
(1 о 2), |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
М;з = Jj33z,z2<p;(a3)rfa3, |
(1.42) |
|
с помощью следующих соотношений:
К= N u (1 + Eu) + M UX U +N l2e 2, + M ux 2l + £ , ae,3 -
— £ , ( M , , e , , + Г „ а е „ ) - £ 2 ( М , 2е 2, + T l2ae21), +
+ |
м |
г П1 |
+ |
м |
; ’21 + |
M " 13 - |
« |
1 - |
W |
. , |
О |
2) , |
Л 7 2 |
= N |
n ( \ + S 22) + M n B 22 + ^ ! l S l 2 |
+ ^ 1 1 * 1 2 |
+ |
0 * 2 3 - |
|||||||
|
|
~ k2{Ml2s22 + Tl2&22) - k x( M , , e , 2 |
+ 71, 1ae12) + |
|||||||||
+ |
M |
;'22 |
+ |
M |
,"112 + |
м ;323 - |
|
М |
4 |
Й |
|
( i < + 2 ) , |
Si*3 |
= |
6 1 ( 1 |
+ |
^ 3 3 ) + |
^ , 8 , 3 |
+ |
W ,2e-23k xM u8 13 ~k2M ne22 + |
|||||
+ |
-Л^Гззз |
+ |
|
3i+ |
^ 1 2 2 3 “ к№\иъ ~ к2М п2Ъ, |
(1 <-> 2), |
||||||
б з ! = 0 3 1 О + е ц ) + 0 2 8 21 + 0 3 3 * 1 3 + ^ 3 1 * 1 1 + ^ 3 2 * 2 1 ~
47
- А ,( А Г з ,в ,з + T 3l3 t l l ) - k 2 ( . M , 2e 2l + Г 32® 2, ) +
М'п = М „ ( 1 + е „ ) + М , 2в 2, + М , 3ае13 + Г „ ® „ + Г , 2 а г 21 -
М ,2 = M ]2( \ + S 22 ) + М и £ п + -^13®23 + ^12Ж 22 + ^11®12
|
""^1 (^11^12 -^'11®12 ) ^2 (^12^22 |
-^12^22 )^ " |
|
||||
I л/»+1 . |
J. л / и+1 |
_ f r А /и+2 — к М |
гп+2 |
( 1 - 0 2). |
(1.43) |
||
|
1 |
||||||
+ M \222 + M U \ 2 + M \323 |
*1-^1112 |
*2 m |
|
\1222 > |
|||
На основе выражения работы внутренних сил в виде (1.41) в дальнейшем будут получены аналогичные выражения в случае обо лочек типа Тимошенко с использованием приближенных нелиней ных геометрических зависимостей.
Вариация работы внешних сил запишется в виде:
(1.44)
г ’=1
Здесь qi,pj,S. (/ = 1з3) - интенсивности распределенных нагрузок, действующих на внешней и внутренней поверхностях и контуре оболочки; 5(7*, 5(УГ(/ = 1,3) - вариации перемещений на наруж
48
ной и внутренней поверхностях оболочки; |
А2, |
В2- пара |
метры Л ам е внутренней и наружной поверхностей оболочки.
Выражение ( 1.44) с учетом разложения (1.16) итого, что толщи
на оболочки изменяется достаточно медленно, запишется в виде:
F,bu° + F2bu°2 + F3bu\ + М.бм,1+ М2Ъи\ +
!(
+ £ |
т |
е + |
£ |
т |
е |
da^da2 + |
|
|
п=2 |
|
П2 |
|
п=2 |
|
|
|
|
+ j( JV^SM,0 + N°Su°2 + N °M + M°5u\ + M°2bu\ + |
|
|||||||
+ М ° 5 « з |
+ |
' ^ S " 5 u " |
+ I S2bu"2 +Y^S"bu" \ d T , |
(1.45) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и=2 |
n=2 |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = А Л Р ^ В , В 2[ ч ^ |
\ |
^ |
|
( 1 ^ 2 ) . |
|
|||
|
|
|
f |
?, |
dh |
g2 |
dh) |
|
F3 = A,A2p 3 - B3B2\q 3 |
^ |
aai |
|
3ot2 J’ |
|
|||
|
|
, |
4э |
d h |
|
(1 о |
2), |
|
Bxd a jW |
(lo2) |
„ _ в в ( ь ^ + ^ м _ |
|
Р° - В' \В ,д а , B2 да2 |
|
49
