книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

+ Т\'2кЬй} + Т « т гк )А\<1аг + £ }(Г2“‘ 8 « Г + f “ 6 ^ h,+

»=3

+ Г " 8 « ‘+l + г “ 8 й ‘ + Т^к8щк+ r 23*8w3*)J4l‘d a l = 0, (1.79)

где

Лз

(1.80)

/* = PA 16-

71

(l< -»2 для нижних индексов).

У равнения движ ения (1.81) вместе с геометрическими (1.75)- (1.77) и ф и зи ческ и м и (1.23)—(1.38) соотношениями, краевыми (1.83) и начальны ми условиями

представляю т полную систему уравнений, необходимую для иссле­ дования нелинейного динамического деформирования многослой­ ны х оболочек п ри импульсных воздействиях.

Д ан н ы й подход им еет широкую область применения, так как позволяет не только определить напряж енно-деформированное состояние слоисты х пластин и оболочек с необходимой степенью точности, но и реализовать ряд упрощ енных моделей динамичес­ кого деф орм ировани я многослойных элементов конструкций. Так, полагая д л я к-то слоя

73

получаем равенство нулю изгибных составляющих деформаций, что эквивалентно предположению о безмоментном напряженнодеформированном состоянии слоя. Подобные допущения вполне оправданы для тонких армирующих слоев (ткани, пленки), рабо­ тающих как мембраны, а также для несущих слоев конструкций с легким заполнителем в задачах, где влияние местного изгиба не­ сущих слоев несущественно.

В предположении, что в к-м слое

а касательные перемещения линейно распределены по толщине слоя, получаемдопущения, эквивалентные известной гипотезе пря­ мых линий (ГПЛ). Заметим, что ГПЛ можно использовать как для каждого слоя пакета в отдельности, так и для группы слоев с близ­ кими механическими характеристиками.

Линейное распределение по толщине как касательных, так и нормальных перемещений (1.73), (1.74) позволяет учесть попереч­ ный сдвиг и постоянное по толщине слоя поперечное обжатие. Эта гипотеза достаточно хорошо описывает напряженно-деформиро­ ванное состояние мягких слоев (заполнителей), расположенных между жесткими (несущими) слоями и работающих, в основном, на сдвиг и сжатие.

Таким образом, данный подход, несмотря на простоту кинема­ тических гипотез, лежащих в его основе, позволяет в принципе, измельчая разбиение пакета на слои, получать уточненные сдви­ говые модели многослойных оболочек. С другой стороны, предло­ женный подход дает возможность, сохраняя общую структуру раз­ решающих уравнений, применять для слоев пакета ряд упрощен­ ных и комбинированных гипотез теории многослойных оболочек. Благодаря такой универсальности полученные уравнения можно использовать не только для анализа интегральных характеристик

74

оболочки (определения перемещений, усилий, частот колебаний, критических нагрузок), но и для уточнения деталей напряженнодеформированного состояния. Кроме того, этими уравнениями удобно пользоваться для сравнительного анализа областей приме­ нимости различных кинематических гипотез.

75

Глава вторая

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ИЗОТРОПНЫХ И КОМПОЗИТНЫХ МНОГОСЛОЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Рассматривается метод численного решения начально-краевых задач нелинейного деформирования элементов конструкций, вы­ полненных из традиционных и композиционных материалов, при силовых и тепловых импульсньис воздействиях. В основе метода лежит конечно-разностная дискретизация вариационных урав­ нений движения по пространственным переменным и явная схема интегрирования по времени. Получены оценки временного шага изусловияустойчивости разностной схемы для изотропных плас­ тин в рамках неклассической теории и композитных пластин типа Тимошенко. Приводится укрупненный алгоритм реш ения нестационарных задач динамики однослойных и многослойных оболочечных элементов конструкций как на основе корректиро­ ванной теории оболочек типа Тимошенко, так и неклассической теории оболочек.

Для анализа нестационарных процессов в пластинах и оболочках применяются различные методы интегрирования разрешающих систем уравнений. Выбор наиболее эффективного метода тесно связан с используемыми моделями теории оболочек, идеализацией реальных свойств м атериала и ти п а внеш них воздействий. Известные методы решения задач динамического деформирования элементов конструкций разделяются на точные и приближенные. Последние, в свою очередь, делятся на приближенные аналитические и численные методы.

Аналитические методы интегрирования разработаны для решения линейных залач, для тел простой конфигурации при некоторых ограничениях на вид внешних воздействий. Из них наиболее широкое распространение получили методы,

76

основывающиеся на использовании интегральных преобразований и разложении в ряд Фурье в переменном интервале.

Применению и обзору результатов по аналитическим методам посвящены обзорные статьи [31,205].

К приближенным аналитическим методам относятся также вариационные (или энергетические) методы, среди которых наиболее распространенными являются методы Ритца, Треффтца, Бубнова-Галеркина и различные их модификации. Теория этих методов хорошо разработана [195]. Вариационные методы основаны на приближенном задании перемещений конструкции и в конечном итоге сводят задачу к интегрированию систем обыкновенных дифферен­ циальных уравнений. Существенное преимущество вариационных методов состоит в том, что они применимы не только к линейным задачам, но и к нели­ нейным. Однако трудности, возникающие при подборе аппроксимирующих функ­ ций для многих типов граничных условий, ограничили область их применения.

Точные и приближенные аналитические методы являются необходимым и очень мощным инструментом решения задач динамического деформирования и потери устойчивости элементов конструкций. Однако решение нелинейных нестационарных динамических задач этими методами наталкивается на непрео­ долимые трудности. В связи с этим широкое распространение, особенно при решении прикладных задач, получили различные численные методы интегри­ рования.

Описание конкретных численных методов и обстоятельные обзоры по численным методам интегрирования приведены в монографиях [69,88,179,215, 230,231]. Остановимся кратко на характеристике численных схем, применяемых для анализа нелинейных задач нестационарного деформирования оболочечных конструкций. Среди существующих в настоящее время численных методов интегрирования систем гиперболических уравнений наиболее распространен­ ными являются метод характеристик, метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностные методы (ВРМ).

Метод характеристик является одним из наиболее распространенных методов интегрирования систем гиперболических уравнений. Идеи этого метода достаточно подробно изложены в монографии [231], а алгоритм метода, приме­ нительно к интересующим нас задачам, - в работах [178,205].

Метод характеристик хорошо разработан для решения линейных и нели­ нейных одномерных задач о переходных волновых процессах в стержнях, цилин­ дрических и конических оболочках [206]. Обобщение его на задачи динамики составных конструкций и многомерные задачи наталкивается на значительные трудности математического и алгоритмического характера. В связи с этим полу­ чили развитие так называемые характеристические конечно-разностные методы, которые сочетают в себе достоинства метода характеристик (точное решение за­ дачи о распаде разрыва) и универсальность метода конечных разностей. Впервые

77

такого рода метод был предложен С.К. Годуновым в 1950-х годах для нелиней­ ных задач гцдрогазодинамики [119]. Характеристические конечно-разностные схемы первого и второго порядка точности разработаны для упруговязко­ пластических сред В.Н. Кукуджановым [177-179]. Метод Годунова был применен Л.П. Малышевым и В.И. Паничкиным [190] для решения геометрически нелиней­ ных задач динамики упругих оболочек.

Различные аспекты применения метода характеристик можно найти в работах [70, 85, 144, 177, 179,235,256].

Основным достоинством этого метода является возможность качественного анализа характера решения и возможность детального описания разрывов и осо­ бенностей решения.

Недостатки метода связаны с определенными трудностями при решении нелинейных задач и сложной логикой расчета особенностей и построения много­ кратных взаимодействий скачков.

Более универсальным методом решения нелинейных задач динамического деформирования является МКР. С основными идеями МКР можно познакомиться по монографиям [88,215].

В МКР [120, 179,230,236] для приближенного решения начально-краевой задачи, описываемой дифференциальными уравнениями в частных производных, исследуемая область с границей разбивается на ячейки. Искомые функции заме­ няются совокупностью их значений в вершинах ячеек, образующих разностную сетку области. С использованием понятия конечных разностей такое пред­ ставление позволяет свести задачу нестационарного деформирования к системе алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений и найти из ее решения сеточные значения искомых функций. Существует большое количество способов такой замены, которое обусловливает разнообразие схем МКР [120]. Одной из наиболее популярных схем МКР является схема “крест", предложенная впервые в работе [181]. Достоинством схемы “крест” является ее простота и высокая алгоритмичность по сравнению с другими явными схемами сквозного счета. Недостатки схемы “крест” связаны с меньшей точностью в районе фронтов, а также с трудностью аппроксимации граничных условий.

Впервые явная конечно-разностная схема “крест” была использована Т. Пи­ аном [282] для решения геометрически нелинейных упругопластических задач динамического деформирования балок, колец, пластин и оболочек вращения при импульсных воздействиях в рамках модели Кирхгофа-Лява. Развитие этой мето­ дики на геометрически и физически нелинейные задачи нестационарного дефор­ мирования пластин и оболочек на основе модели Тимошенко выполнено в работах В.Г. Баженова и др. [57, 58].

Модель Тимошенко и деформационная теория пластичности впервые были применены для получения конечно-разностного решения осесимметричной задачи ударного выпучивания цилиндрических и конических оболочек В.А. Фельдштей­

78

ном [248]. В более общей постановке ударное выпучивание гладких и составных оболочек вращения рассматривалось в работах [51,53,145].

Некоторые вопросы применения МКР можно найти в статье обзорного характера [179] и в работах [51,53,139,145].

Все более широкое применение для решения нестационарных зацач нелиней­ ного деформирования композитных пластин и оболочек находит метод конечных элементов [116,149,193]. Идея метода заключается в минимизации функционала вариационной задачи, осуществляемой на совокупности функций, каждая из кото­ рых определена в своей подобласти (конечном элементе). Благодаря этому стано­ вится возможным в каждой подобласти использовать стандартную последователь­ ность базисных функций и получать решения для задач, отличающихся распреде­ лением параметров внутри области, ее геометрией, граничными условиями и т.д.

Кроме универсальности и физической наглядности, можно отметить следую­ щие достоинства МКЭ: возможность приведения к системам алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений с малозаполненными, узколенточ­ ными, симметричными и положительно определенными матрицами коэффициен­ тов при неизвестных; независимость вычислений в отдельных элементах; воз­ можность построения улучшенных решений путем увеличения числа параметров, описывающих каждый элемент; гибкость, приспособленность матричного аппарата МКЭ к реализации на ЭВМ.

Для получения разрешающей системы уравнений в МКЭ, кроме вариа­ ционной формулировки, применяют также проекционную. Проекционные фор­ мулировки МКЭ основаны на различных вариантах метода взвешенных невязок [149], осуществляющих проекгирование исходных дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи на конечномерное пространство пробных или весовых функций. Перспективность этого подхода определяется возможностью решать задачи, в которых функционал либо не существует, либо не получен. Однако при использовании проекционных формулировок МКЭ необходимо учитывать, что дифференциальный оператор содержит производные более высоких порядков, чем вариационные функционалы, что накладывает дополнительные условия на выбор функций формы [149].

Среди разнообразных вариантов МКЭ отметим моментную схему А.С. Са­ харова [193], примененную в [49] для решения трехмерных задач динамического деформирования упругопластических сред. В [49] грани конечного элемента, име­ ющего форму произвольного четырехугольника, отображаются на единичный квадрат в локальной криволинейной системе координат. Скорости перемещений, принятые в качестве разрешающих функций, аппроксимируются полилинейными функциями в локальном координатном базисе. Компоненты тензора скоростей деформаций для удовлетворения условиям жестких смещений [193] представ­ ляются в виде отрезка ряда Тейлора с удержанием в разложении двух первых членов.

79

Промежуточное положение между МКР и МКЭ занимают вариационно­ разностные методы (ВРМ). ВРМ сочетают в себе простоту в реализации, при­ сущую МКР, и алгоритмичность конечно-элементного подхода и являются, по существу, простейшим вариантом последнего. Как показано в работе В.Г. Корнеева [168], при некоторых видах аппроксимации энергетических функционалов метод конечных элементов и вариационно-разностный метод тождественны. ВРМ рассматривался в работе В.Г. Баженова, А.Г. Угодчикова, А.П. Шинкаренко [55] для решения геометрически и физически нелинейных задач динамики оболочек типа Тимошенко с криволинейными контурами и отверстиями, в основе которого лежала дивергентная схема аппроксимации частных производных по простран­ ственным координатам и явная схема интегрирования уравнений движения по времени.

Поскольку область определения вдинамических задачах, кроме пространства, включает время, то методы численного решения предполагают дискретизацию определяющей системы уравнений и по этой переменной. Возможны два способа дискретизации: одновременное и последовательное пространственно-временное деление области. При одновременном разделении области определения [215] задача сводится к системе алгебраических уравнений, в которую входят неизвест­ ные на всех временных слоях. Такой способ приводит к определенным трудностям (в частности, увеличивается объем хранимой информации), которые ограничи­ вают его применение на практике. При последовательной пространственной и временной дискретизации задача сводится к системе обыкновенных дифферен­ циальных уравнений по времени, для интегрирования которых применяются как явные, так и неявные разностные схемы. При решении прикладных задач динами­ ческого деформирования многослойных оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности обычно используются явные трехслойные схемы вто­ рого порядка точности относительно шага по времени [179]. Эти схемы обладают некоторым преимуществом по сравнению с неявными, так как позволяют обой­ тись без итераций при решении нелинейных задач. Однако эффективность явных схем существенно снижается необходимостью соблюдения условия устойчивости, согласно которому шаг интегрирования по времени должен быть меньше отно­ шения характерного размера ячейки к наибольшей скорости упругих волн в ма­ териале. Для устранения этого недостатка в [57] предложен способ регуляризации разностной схемы, позволяющий существенно повысить ее эффективность. Неявные схемы обычно применяются при интегрировании гладких решений, например, при анализе низкочастотных колебаний упругих конструкций, где требуется проследить историю напряженно-деформированного состояния на протяжении нескольких десятков и более времен прохождения волн напряжений по длине оболочки, так как в линейном случае, если доказана безусловная устой­ чивость схемы, ограничение на временной шаг определяется из условия точности аппроксимации, как правило, менее жесткого, чем условие устойчивости.

80