книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

контурных узлов значения обобщенных усилий записываются в базу данных для последующей обработки.

9. В цикле для внутренних узлов при помощи рекуррентных соотношений (2.15), (2.18), (2.24) находятся новые значения ско­ ростей и перемещений на новом временном слое.

10. Для элементов конструкции, взаимодействующих с абсо­ лютножестким телом или недеформируемой преградой, осуществ­ ляется вычисление скоростей и перемещений с учетом условий непроникания и корректировкой функций перемещений в гранич­ ных узлах.

11. После выполнения п. 10 происходит возврат на п. 2 и осу­ ществляется процесс вычислений на следующем временном шаге.

Программная реализация рассмотренных методик решения начально-краевых задач динамического деформирования пластин­ чато-оболочечных элементов конструкций базируется на струк­ турно-модульном подходе к программированию. В рамках этого подхода целесообразно ввести понятие базового модуля. Под базовым модулем будем понимать набор модулей для решения начально-краевой задачи для части расчетной области (или элемента конструкции) с однородной физико-математической и численной моделью. В результате решение исходной задачи сводится к последовательной работе базовых модулей.

Для сведения поставленной задачи к последовательной работе базовых модулей необходимо разбить область определения задачи на ряд достаточно простых геометрических структур. Расчетную область элемента конструкции (пластины или оболочки вращения) будем называть подобластью. Разбивка осуществляется таким образом, чтобы подобласти представляли собой гладкие поверх­ ности, описываемые гауссовой системой координат. При этом гра­ ничные контуры каждой подобласти совпадают с координатными линиями а , = const (/ = 1,2). Полагается, что контур подобласти является замкнутой линией, состоящей из части границы расчетной области, линий симметрии подобласти и линий стыковки со смежными подобластями. Предполагается, что в пределах под­

112

области материал элемента конструкции однороден. Кроме того, разбивка расчетной области на подобласти должна способствовать построению наиболее качественной разностной сетки, учитываю­ щей специфику решаемой задачи. Конечно-разностная сетка, покрывающая область определения задачи, состоит из четырех­ угольных и (или) треугольных ячеек. И, наконец, желательно, чтобы краевые и начальные условия для подобласти были однородными. Таким образом, сформулированная начально-краевая задача для подобласти является по терминологии работы [257] “простой”. Рассмотренные принципы декомпозиции расчетной области поз­ воляют строить решение задач динамики оболочечных конструк­ ций как циклическую последовательность решения “простых” задач.

113

Глава третья РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

С позиций неклассической и корректированной классической теорий оболочек численно исследуются одномерные и двумерные нестационарные волновые процессы упругопластического дефор­ мирования пластин и оболочек вращения при силовых и тепловых импульсных воздействиях и оценивается погрешность применения классической теории оболочек.

Известно, что анализ процессов деформации даже в тонких оболочках при импуль­ сных воздействиях, быстро изменяющихся в пространстве и во времени, требует

вряде случаев применения теории, отличающейся от классической. Исследования пределов применимости классической теории оболочек проводились, как правило,

влинейной постановке путем сравнения спектров и форм колебаний, полученных на основе трехмерной теории упругости и теории оболочек (см. обзоры [133, 186]). Лишь в некоторых работах [6,7,206] анализировались переходные процессы

деформации.

3.1. Формулировка и анализ результатов решения задачи центрально-симметрич­ ного деформирования сферических оболочек при импульсном нагружении

Рассмотрим центрально-симметричное деформирование сфери­ ческих оболочек толщины h и радиуса срединной поверхности R.

114

В этом случае все параметры движения зависят от одной простран­ ственной координаты а 3 {-h i2 < а 3 < hi2) - расстояния точки от срединной поверхности оболочки (а3 положительно вдоль внеш­ ней нормали).

В данном случае компоненты деформации квадратичного вари­ анта нелинейной теории упругости (1.4), (1.7), поскольку Ux= U2= = 0, запишутся в виде:

где а - коэффициент линейного теплового расширения, 7 (а 3, t) - заданная функция распределения температуры, С/3(а 3,/) - переме­ щение (прогиб).

Для установления связи между тензорами напряжений а. (при центральной симметрии сг=сг, а,, =ст22, а^.=0 для i&j) и дефор­ маций е. используется инкрементальная теория термопластично­ сти, основывающаяся на концепции кинематического и изотроп­ ного упрочнения и учитывающая влияние температуры и скорости деформации [153,154]. Зависимость предела текучести от скорости

где / 2 (ё,) - второй инвариант скоростей деформаций, D и п - экспериментально определяемые параметры материала.

Для связи между шаровыми составляющими используется гипотеза Дюамеля-Неймана для температурных членов и гипотеза упругого изменения объема. Компоненты полных деформаций пред­ ставим в виде суммы упругих и пластических составляющих

115

Напряжения определяются через упругие компоненты тензора деформаций:

где X, ц - параметры Ламе, зависящие от температуры. Уравнение поверхности текучести:

2 S 2 + S 2 - | a 2 = 0 ,

(3.4)

S,; = G , - G - p f , G = (2G 1+G3)/3,

где S - компоненты девиатора “активных” напряжений, с , - пре­ дел текучести, a - шаровая составляющая тензора напряжений, р, = 2ge" - компоненты тензора остаточных микронапряжений, g(T) - параметр упрочнения материала.

Компоненты скоростей пластических деформаций определя­ ются следующими соотношениями:

Полные пластические деформации определяются интегрирова­ нием по времени

При шаговом решении задачи во времени для определения приращений компонент пластических деформаций используется вышеизложенный алгоритм с учетом зависимости характеристик материала от температуры и скорости деформации. При решении

116

задачи в классической постановке теории оболочек, когда а 3= О, алгоритм для определения приращений пластических деформаций несколько изменяется и сводится кследующей последовательности вычислений. Определяются характеристики материала Е, v, a ,,g ,

а в результате изменения температуры и скорости деформирования. Вычисляются напряжения ст, (/ = 1,2), а 3 = 0, по формулам с , = Е[е\ + v e t (1 + у)аГ]/(1 - v 2) при значениях е”, опреде­

ленных в предыдущий момент времени. Проверяется (с учетом

S3 = -(iSj + S2) ) условие текучести

/=i J

Если условие выполнено, то имеет место упругое деформирование и а,, найдены. Если условие не выполняется, то для определения приращений пластических деформаций Ае” (/ = 1,3) необходим итерационный процесс согласно формулам:

A < = p s „

1

Sj —Sj + 2| i Ае”.

2 ( ц + г )

В каждой итерации пересчитываются а (., с, <тфпри новых значени­ ях пластических деформаций ё”= е”+ Ае] . В первом приближе­ нии Ае” - 0 . Итерационный процесс заканчивается при выполне­ нии условия

< 6 ,

где S/ = Sj - (2ц + g) Ае”. Практическое применение рассмотрен­

117

ного итерационного процесса показало его хорошую сходимость. Вариационное уравнение динамики (1.12) для сферической оболочки в случае центральной симметрии можно записать в виде

da3 =

8U3da3. (3.7)

Для вывода уравнений движения аппроксимируем перемеще­ ние £/3(a 3,f) отрезком ряда по ортонормированным полиномам Лежандра в виде

После подстановки соотношений (3.1), (3.8) в (3.7) в силу произ­ вольности ди3 получим систему уравнений, описывающую движе­ ние нетонких центрально-симметричных сферических оболочек:

где

(З.Ю)

118

Начальные условия, которым должно удовлетворять решение поставленной задачи, имеют вид:

где <р", ф” - моменты заданных функций <р(а3), ф (а3), определя­ емые формулами:

-1

Уравнения (3.9), разрешенные относительно обобщенных пере­ мещений, имеют второй порядок по временной координате, а сум­ марный порядок системы уравнений движения (3.9) равен 2(N+1).

Соотношения (3.1)—3.12) представляют замкнутую систему интегро-дифференциальных уравнений, необходимую для иссле­ дования с различной степенью точности (взависимости от количес­ тва членов, удерживаемых в отрезке ряда (3.8) при условии его сходимости) одномерных нелинейных волновых процессов в сфе­ рических оболочках при тепловых и силовых воздействиях.

Аналогично можно получить уравнения движения при аппро­ ксимации перемещения £/3(а 3,/) отрезком ряда по степеням толщинной координаты в виде:

(3.13)

119

(3.14)

da3.

Как частный случай, из системы (3.13)-(3 .15) следует уравне­ ние движения в постановке классической теории оболочек. Полагая

N=0, ст3=0 и пренебрегая изменением метрики 1 +a3/R- 1 и нели­ нейными членами в выражениях (3.1), получим

(3.16)

Численное решение задачи при исследовании одномерных волновых процессов в сферических оболочках строится следую­ щим образом.

Параметры деформации (3.1) с учетом представления (3.8) запишутся в виде:

о,„ = ( « + 1/2) v4 ( * , ) , й„ = ( « + 1 /2 )V2

причем Х( (/ = 1,К)~ корни полинома Лежандра Рк(х{).

Для вычисления интегральных характеристик (ЗЛО), используя квадратурную формулу Гаусса, получим следующие выражения:

120