книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

+ ^ d ' ^ ) + ^ d ^ + K ( k t ) d 0( b u 3) +

91

z l i i w ' x + к * 4 +в > з + <,s<p?+

где М - число ячеек основной сетки, N - число ячеек промежуточ­ ной сетки, Pv Р] - число сторон ячеек промежуточной сетки на граничных линиях ау= const (/= 1 ,2 ) соответственно.

Собирая для каждого узла основной сетки коэффициенты при вариациях перемещений и углов поворота и учитывая их произ­ вольность, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений движения:

„^аДГ.+ЛГ»ДГ0

4w )+rf2fe )~ ^/ow,*,+Ir*to+F>+

,а°зАГ ,, + 8i° АГа,

: Дим3 + Я 12ф3,

A S .

92

*у

Полученная полудискретная система имеет одинаковый вид для внутренних и граничных узлов, а по структуре совпадает с исход­ ной системой уравнений движения (1.65).

Аппроксимируя в (2.17) инерционные члены с помощью опера­ тора (2.8), получим рекуррентные зависимости для нахождения перемещений, углов поворота и их скоростей:

ф, ( ' " ' ) = ф,( /‘ )+Л 'Ф Х '‘+,/2).

93

где обобщенные силы FU/, F^ определяются выражениями:

б,°ДГ ; + g° AT.

J AS.

4 f ^ ] + 4 r \ Y d i М1}^Л_ММЛ.

>AS.

94

(2.19)

AS.

Кратко остановимся на неустойчивости разностной схемы, свя­ занной с наличием у четырехугольных ячееклишних степеней сво­ боды. В литературе этот тип неустойчивости получил название “песочных часов”, так как деформированные ячейки в этом случае напоминают по форме песочные часы [269].

Причина этого явления состоит в неполноте разностных опера­ торов (2.3), (2.7), определенных на четырехугольных ячейках. Это приводит к тому, что в случае изгиба ячеек разностной сетки в них не возникает никаких усилий. Тем самым, нефизические искажения сетки по типу “песочных часов” не несут в себе никакой энергии и не оказывают никакого влияния на напряженно-деформированное состояние элементов конструкций. Однако они могут способст­ вовать накоплению ошибок при вычислениях, поскольку арифмети­ ческие операции на вычислительных машинах ведутся на конечной разрядной сетке. Эффект неустойчивости по типу "песочных ча­ сов”, как правило, не сопровождается экспоненциальным ростом погрешности численного решения, но может приводить к значи­ тельным искажениям полей перемещений.

Один из приемов устранения этого нежелательного эффекта состоит в следующем. Просуммируем результаты аппроксимаций вариационного уравнения движения на четырехугольных и тре­ угольных ячейках. Причем аппроксимацию на треугольных ячей­ ках возьмем с малым весом и будем вычислять только упругие сос­ тавляющие усилий и моментов. Модернизированная полудискретная система сеточных уравнений имеет такой же вид, как и (2.17), но силы FUj, F9 определяются как сумма соответствующих обоб­ щенных сил, полученных для разностных схем на четырехугольных

95

(обозначим обобщенные силы F) и треугольных ячейках (обоз­ начим обобщенные силы F) . В результате будем иметь:

Значение весового коэффициента а выбирается из интервала 0 ,9 < а < 1 .

Разностная схема (2.20) оказывается свободной от эффекта “песочные часы”.

2.2.3. Вариационно-разностный метод для кинематически неоднородной модели

Разностный аналог вариационного уравнения (1.79) запишется в виде

96

где ЛГ - число слоев оболочки, М - число ячеек основной сетки, N - число ячеек промежуточной сетки, S2,5 , - число сторон ячеек промежуточной сетки на граничных линиях а у = const (j = 1,2) соответственно.

97

d,

)+

rf( ^ ) +rf{ S ) " rfo^+,<*r,>+r"+,<^+,>+r"')+

/ (w3* + 2w f+1). (2.22)

A S f

Полученная полудискретная система по структуре совпадает с ис­ ходной дифференцильной системой уравнений движения (1.81). Матрица масс системы (2.22) имеет симметричный трехдиагональ­ ный вид и является положительно определенной. Поэтому решение системы уравнений (2.22) относительно ускорений ик (/ = 1,3,

к= 1, К +1) целесообразно выполнить методом квадратного корня.

Врезультате получим для каждого узла основной сетки систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени

Как и выше, для численного интегрирования систем уравнений (2.23) во времени применяется явная схема “крест”. В результате для нахождения скоростей и перемещений на поверхностях слоев получаем следующие рекуррентные соотношения:

99

2.3. Оценки устойчивости явных конечно­ разностных схем интегрирования уравнений динамики оболочек

Анализ оценок устойчивости разностных методов решения нели­ нейных систем дифференциальных уравнений теории оболочек посвящено сравнительно небольшое число работ [57]. Обычно для получения локальных оценок устойчивости разностных схем систему уравнений линеаризуют и применяют к ней метод “за­ мораживания” коэффициентов [192].

Для трехслойных явных схем типа “крест” интегрирования ли­ нейных дифференциальных уравнений гиперболического типа не­ обходимая оценка устойчивости связывает максимально допусти­ мый шаг по времени с высшей частотой собственных колебаний дискретной системы. Высшая частота колебаний определяется скоростью распространения возмущений в материале оболочки, шагом сетки и толщиной оболочки. Она слабо зависит от кривизны оболочки и типа граничных условий. Асимптотически точными для оболочек будут оценки устойчивости разностных схем, полу­ ченные для пластин. Поэтому вдальнейшем ограничимся рассмот­ рением разностных схем для пластин на равномерных сетках, так как только в этом случае удается получить оценки устойчивости в конечном виде.

Вначале рассмотрим одномерную задачу о цилиндрическом из­ гибе композитной пластины типа Тимошенко (или балки, армиро­ ванной в продольном направлении). Линейные уравнения дви­ жения (1.68), записанные в перемещениях, можно представить в виде:

100