книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

шаг интегрирования уравнений движения (4.3). В первом столбце (для е*22, t, и Т) приведены экспериментальные данные [150], во втором - результаты численных расчетов [26], полученных в пред­ положении упругопластического поведения материала стального слоя, втретьем - упругого. Было выполнено два варианта расчетов - с регуляризацией численной схемы (числитель) и без нее (зна­ менатель).

Анализ полученных результатов показывает, что по всем конт­ ролируемым параметрам наблюдается достаточно хорошее согла­ сование экспериментальных данных и численных результатов, причем учет пластического деформирования внутреннего сталь­ ного слоя является существенным. Регуляризация численной схемы позволяет, практически без потери точности решения, увеличить шаг интегрирования в 9 раз при Л, = 1,75-10-3 м и в 4 раза при А, = = 4,2 -1 0 -3 м, а следовательно, во столько же раз сократить время решения задачи.

Таким образом, разработанная численная методика позволяет достаточно эффективно с приемлемой точностью решать осесим­ метричные задачи импульсного деформирования многослойных оболочек, состоящих из произвольного набора композитных ортотропных и изотропных упругопластических слоев.

191

4.2. Численный анализ вязкоупругого деформирования композитных цилиндрических и сферических оболочек при взрывном нагружении и осевом ударе

Следует заметить, что в случае вязкоупругого поведения материала оболочки в наследственных интегралах используются как регу­ лярные, так и слабосингулярные ядра. При использовании в каче­ стве ядер релаксации суммы экспоненциальных функций

вычисление наследственных интегралов в (1.38) сводится к рекур­ рентному счету по формулам [24]:

(д > 0 , 0 < р < 1 - параметры ядра) рекуррентные соотношения по­ строить не удается, что приводит к значительным трудностям при численной реализации. Поэтому предлагается использовать прием [182], основанный на замене слабосингулярного ядра (4.10) суммой экспоненциальных функций вида (4.8). При этом показатели Рп

(п = 1, 3 ) определяются по формулам;

192

P„ = --^-1пхя,

Ат

где хп- корни уравнения

с3хЗЛт + с2х 2Ат + с1х Лт +с0 = 0.

Коэффициенты уравнения с. (/ = 0,3) находятся из решения систе­ мы алгебраических уравнений

На рис. 4.9 приводятся графики функции релаксации напря­

жения T(t)/E = l - ^R(x)dx , построенные для ядра Ржаницы-

на с параметрами [151] А =

193

ной формулы, что приводит к значительному повышению точно­ сти аппроксимации.

Рассматривалось динамическое деформирование вязкоупругой оболочки, выполненной из полиметилметакрилата с характеристи­ ками: Е - 6,24 ГПа; v = 0,246; р = 1200 кг/м3, при продольном ударе по торцу абсолютно жестким телом массой mJmQ= 0,46

(т0- масса оболочки) со скоростью м,011 с = 0,125 -10"2 (с - ско­

рость звука) [3,24]. Граничные и начальные условия имели следу­ ющий вид:

=0,016 M,R=4L.

На рис. 4.10 представлено распределение нормальных пере-

и

0,003

Рис. 4.10

194

мещений и\ вдоль образующей в моменты времени т= 1 , 2 , 3 (т= =ct/L), кривые 1,2,3 соответственно.

На рис. 4 .1 1 показано изменение во времени продольной силы f = Г/, / Eh на ударяемом (нижние кривые) ижестко закрепленном торцах (верхние кривые). Из приведенных результатов следует, что вязкоупругое решение (пунктирные линии) имеет более плавный характер по сравнению с идеально упругим (сплошные линии).

Оболочка с такими же параметрами нагружалась импульсом внутреннего давления, которое задавалось с помощьюзависимости (4.7). Торцы оболочки были свободными [1]. На рис.4.12 приведено изменение во времени т = ct!L (с - скорость звука) нормального перемещения и\ точки центрального сечения оболочки при массе заряда т—3,3ТО-3 кг. Здесь сплошная кривая отвечает упругому

Рис. 4.12

195

решению, а штриховая - вязкоупругому. Видно, что учет вязких свойств материала приводит кзаметному уменьшению амплитуды и изменению фазы колебаний. Расчет вязкоупругого деформиро­ вания в этих задачах проводился с использованием как слабосингу­ лярного ядра (4.10), так и суммы экспоненциальных функций (4.8), при этом результаты практически совпали.

Следует отметить, что рассмотренный прием замены слабо­ сингулярного ядра суммой экспоненциальных функций позволяет более чем в 9 раз сократить время счета задачи и не хранить инфор­ мацию для вычисления наследственных интегралов.

На задаче ударного деформирования (mjm0= 0,46; м,01 / с=

= 0,125-М "2) армированной цилиндрической оболочки (h = =0,002 м; R/h= 20,5; L/R- 10) проводилось исследование влияния коэффициента армирования и на максимальные перемещения обо­ лочки [24]. Механические характеристики арматуры и связующего были следующие: Е° = 36,2 ГПа; vff = 0,18; Е* = 3,2 ГПа; vc = 0,39; Е*/Е0 = 0,6. Граничные и начальные условия имели вид (4.11). При этом вязкоупругое деформирование связующего описы­ валось в рамках модели стандартного вязкоупругого тела R(t) =

= Л1е~Ь‘.

На рис. 4.13 приведены зависимости максимальных касатель­ ных перемещений оболочки и}jh от коэффициента армирования. Кривые 1,3 соответствуют упругому расчету при длительном и мгновенном модулях упругости.

Кривая 2 рассчитана при вязкоупругом деформировании при pj= = 5 -1 02 с"1. Видно, что вязкоупру­ гое решение лежит между упруги­ ми решениями с мгновенным и длительным модулями упругости.

На примере этой же задачи для стеклопластиковой оболочки с ха­ рактеристиками: Е° = 25,2 ГПа;

196

Еа>/Е° = 0у6; v =0,17; р = 1960 кг/м3 проведен анализ различных моделей вязкоупругого поведения материала оболочки [9,10].

На рис 4.14 показано изменение касательного перемещения и}

во времени т = ct/L точки срединной поверхности на ударяемом торце оболочки. Кривые 1-3 получены при расчете по модели стан­ дартного вязкоупругого тела R(t)=Р(1 -Z r7£0)e-P' для различных

Кривая 1' рассчитана на основе модели Максвелла R(t)= рер/. Штрихпунктирная кривая соответствуетупругомурешению. Умень­ шение времени релаксации приводит к увеличению амплитуды и периода продольных колебаний. Расчет по модели Максвелладает завышенный результат по сравнению с расчетом по теории стан­

дартного вязкоупругого тела.

На рис. 4.15 представлено изменение прогибов uj вдоль обра­ зующей оболочки в момент времени т = 3,1- Сплошная кривая соответствует расчету по модели стандартного вязкоупругого тела при Р = 104 с-1. Штрихпунктирная кривая рассчитана в предпо-

197

ложении упругого деформирования материала оболочки. Видно су­ щественное качественное и количественное различие решений.

На рис. 4.16 показано изменение относительных максимальных касательных и нормальных перемещений 6 = [(и* - H°)/W°]*1 0 0 %

чительно больших временах релаксации. Зависимость изменения максимальных касательных перемещений от параметра (3 у среды Максвелла проявляется значительно в большей степени по срав­ нению с расчетом по модели стандартного тела. С увеличением времен релаксации решения асимптотически приближаются к упругому.

Таким образом, вязкие свойства материала оказывают сущест­ венное влияние на максимальные перемещения оболочки.

Ниже приводятся результаты исследования динамического поведения сферических оболочек, имеющих полюсные отверстия и образованных многозонной спиральной намоткой стеклопласти­ ковой ленты с механическими характеристиками: £ , = 52,7 ГПа; Е2=П,9 ГПа; v 12=0,25; G)3=5,62 ГПа; р = 1990 кг/м3 [1]. Толщину оболочки вычисляли на основе зависимостей, приведенных в [2 1 2 ]. Нагружение осуществлялось по закону (4.7) при т = 3 -1 0"3 кг.

На рис. 4.17 приведено изменение во времени т=ct/R окруж-

198

ного f 2 = Тх\ -1 0 3/(£,Л ) (сплошные кривые) и продольного f -

= Тх\ *5105/(ExR) (штриховые кривые) усилий в первой расчетной точке около полюсного отверстия. Здесь кривая 1 соответствует оболочке с одной зоной намотки г= г0 (г(а,) - расстояние от оси вращения до точки координатной поверхности с координатой а,), состоящей из шести двойных спиральных слоев; кривая 2 - оболо­ чке с двумя зонами намотки, причем в первой зоне (г=г0) реализо­ вана четырехслойная намотка, а во второй (г=R12>8 ) - двухслой­ ная; кривая 3 - оболочке с трехзонной намоткой (r=rQ; r=R/3; r - = R/2) при двух слоях в каждой зоне.

На рис. 4.18 показано распределение окружных (сплошные кривые) и продольных (штрихо­ вые кривые) усилий вдоль об­ разующей оболочки в моменты времени т= 2 (верхние кривые)

и т = 4 (нижние кривые). Из по­ лученных результатов следует, что, варьируя числом зон и слоев намотки, можно значительно по­ низить уровень напряжений в районе полюсного отверстия.

199

4.3.Волновые процессы деформации

ипрочность в многослойных композитных балках, пластинах и оболочках при соуда­ рении с жесткими телами и действии ло­

кального импульса нормального давления

Важным практическим приложением разработанной методики численного моделирования ударного деформирования многослой­ ных, неоднородных по толщине пластин и оболочек при взаимодей­ ствии с жесткими телами является проектирование многослойных ударостойких покрытий, позволяющих демпфировать ударные нагрузки, действующие на конструкцию. В качестве таких покры­ тий наибольшее распространение получили трехслойные пластины и оболочки с тонкими жесткими внешними слоями и относительно мягким заполнителем. Однако вопросы ударного деформирования оболочечных элементов конструкций существенно неоднородной структуры по толщине остаются пока малоисследованными, а имеющиеся в литературе результаты получены, как правило, на базе единых кинематических и статических гипотез для всего многослойного пакета.

Рассмотрим результаты численного исследования центрального поперечного удара стального шара радиусом 1 -1 0 -2 м с начальной скоростью 1,4 м/с по трехслойной полосе с размерами L - 0,3 м, /г,=/г3= 1,6 -10' 3 м, Л2= 1,6 -10' 2 м. Несущие слои балки выполнены из алюминия. В качестве заполнителя рассматривались материалы типа ПХВ - пенопласт поливинилхлоридный (.Е = 0,5 ГПа; v = = 0,4; р = 500 кг/м3) и ЭК-5 - эпоксидный компаунд ( £ = 0 ,5 ГПа; v= 0,4; р = 1500 кг/м3).

Характер изменения контактного усилия во времени показан на рис. 4.19. Кривые 1 относятся к балке с заполнителем ПХВ, кривые 2 - к балке с заполнителем ЭК, кривые 3 - к однородной алюминиевой балке. Сплошными линиями представлены резуль­ таты, полученные по данной методике [26], пунктирными - резуль­ таты работы [121]. Наблюдается достаточно хорошее соответствие

2 0 0