книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

Такое изменение температуры возникает в оболочке при нагреве внутренними источниками тепла, интенсивность которых не зави­ сит от координаты а 3 и изменяется во времени по экспоненциаль­ ному закону [77] Q(t)=Ae'a, А= TCI(PQk), С - константа тепло­ емкости материала. Предполагалось, что процессом теплообмена на поверхностях оболочки можно пренебречь.

Принятые допущения не приводят к существенному упроще­ нию в решении задачи динамического деформирования оболочки, но позволяют в значительной мере упростить анализ результатов расчета.

На рис. 3.19 приведены графики перемещений (t/° = а T.R)

во времени т = tcjh в трех точках по толщине оболочки, рассчи­ танные при h/R=0,2, £=0,001, N= 17 (К=25), в предположении упругого деформирования материала оболочки. Кривые 1,2,3 со­ ответствуют срединной, внутренней и внешней поверхностям обо­ лочки. На этом же рисунке для сравнения приведены соответству­ ющие кривые 4, 5, 6 для случая упругопластического деформиро­ вания оболочки.

я 1

г

щщ У

Mlj

W

Рис. 3.19

141

На рис. 3.20,3.21 приведены аналогичные графики перемеще­ ний во времени, рассчитанные для h/R=0,1, при £=0,001 и £=0,3 соответственно. Расчет кривых 1, 2, 3 на рис. 3.20 выполнен при

N= 17 (£ =25), а на рис. 3.21 - при N= 11 ( £ = 17). Кривые 4 ,5 , 6 на рис.3 .2 0 , 3.21 рассчитаны при N=7 (К= 17).

(jw

p w

Рис. 3.20

6

4

з/

■i — 0 А

//

142

Из приведенных результатов следует, что амплитуда попереч­ ных колебаний убывает с уменьшением толщины и скорости на­ грева оболочки как при упругом, так и при упругопластическом деформировании. Видно также, что при упругопластическом де­ формировании колебания по толщине оболочки быстро затухают, а при упругом деформировании устанавливаются незатухающие колебания по толщине.

Пластические деформации - е\ во времени в трех точках по

толщине оболочки, рассчитанные при Л/Д=0,1, N=1 (К -17) и к=

=0,001, £=0,3, приведены на рис.3.22,3.23 соответственно. Кривые 1, 2 ,3 соответствуют срединной, внутренней и внешней поверхно­ стям оболочки. При быстром нагреве (£=0,001 рис. 3.22) пласти­ ческие деформации имеют в начале движения ярко выраженный осциллирующий характер. Колебания с течением времени затухают,

причем остаточные пластические деформации знака не меняют.

-e'i

0,03

Рис. 3.22

При плавном темпе нагрева (£=0,3, рис. 3.23) наблюдается постепенное увеличение пластических деформаций до некоторого максимального уровня, а затем происходит их уменьшение, причем остаточные пластические деформации меняют знак на противо­ положный.

Исследовалась также сходимость решения, полученного на ос­ нове системы уравнений (3.9)-(3.11). Критерием достаточно хоро­

143

шей аппроксимации функции перемещения (прогиба) U3(а 3, t)

являлась точность удовлетворения краевых условий на поверх­ ностях оболочки. Точность считалась удовлетворительной, если напряжения ст3 на поверхности составляли менее 5% от максималь­ ного значения их по толщине оболочки.

Графики напряжений а 3 (стфпредел текучести при Г=0°С) во времени в трех точках по толщине оболочки, рассчитанные при hIR=0,1, приведены на рис.3.24,3.25 в предположении упругого деформирования материала оболочки и на рис. 3.26, 3.27 - для упругопластического деформирования. Кривые 1,2,3 соответствуют срединной, внутренней и внешней поверхностям оболочки. Кривые, приведенные на рис. 3.24,а,б,в, рассчитаны при £ = 0,001 и N=11 (К=25), N=U (К=25), N=7 (К= 17) соответственно. Кривые на рис.3.25,а,б получены при £=0,3 й N= 11 (К= 17), N=2 (К= 17) соответственно. Кривые на рис. 3.26,я,б,в рассчитаны при £=0,001 и N= 7 (К= 17), N= 3 (К= 17), N= 1 (ЛГ = 1 7 ) соответственно. Идентичные кривые при £=0,3 приведены на рис. 3.27.

Приведенные результаты показывают, что с уменьшением темпа (скорости) нагрева (£-> 1 ) амплитуда колебаний радиальных на­ пряжений убывает как при упругом, так и при упругопластическом деформировании материала оболочки. Решение по напряжениям

144

при плавном нагреве сходится быстрее по сравнению с быстрым нагревом (к-> 0 ), то есть количество членов аппроксимирующего

145

а)

Рис. 3.25

ряда (3.8), необходимое для выполнения требуемой точности удовлетворения краевых условий, уменьшается при к~> 1. Решение при упругопластическом деформировании сходится значительно быстрее, чем при упругом. Решение по интегральным харак­ теристикам (перемещениям) сходится быстрее, чем по локальным (напряжениям).

Сводные результаты расчетов приведены на рис. 3.28-3.30. На рис. 3.28 приведен график, который показывает, какое число членов; N необходимо взять (h/R= 0 ,2 ) в зависимости от темпа нагрева к, чтобы погрешность выполнения краевых условий не превышала 5%.

146

а)

Р

147

Для упругой задачи характерна слабая зависимость макси­ мального прогиба срединной поверхности от толщины оболочки при идентичных условиях нагрева, что, очевидно, объясняется от­ сутствием диссипации энергии на поперечных колебаниях.

и;ш?

1,0

/

Следует заметить, что врассмотренной задаче о тепловом ударе деформации были небольшими (менее 5%), поэтому учет геоме­ трической нелинейности не имел существенного значения.

Как известно, одним из критериев применимости оболочечной теории является малость напряжений а 3, нормальных ксрединной поверхности, по сравнению с напряжениями ст(=ст2, действующими в окружном направлении.

На рис. 3.30 из условия а 3 < 0,05а, построена в плоскости

149

параметров к и h/R область применимости оболочечной теории при тепловом ударе рассмотренного вида. Эта область ограничена осями координат (по оси ординат взята логарифмическая шкала) и кривой 1 (2 ) в случае упругой (упругопластнческой) работы мате­ риала.

Рис. 3.30

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что область применимости теории оболочек в задаче о тепловом ударе при упругопластическом деформировании несколько расширяется.

3.2. Осесимметричное деформирование упругопластических круглых пластин при импульсном нагружении

Рассматривается формулировка задачи осесимметричного неста­ ционарного деформирования геометрически и физически нелиней­ ных круглых пластин как на основе модели с разложением в ряд, так и в рамках модели типа Тимошенко. На примере жестко защем­ ленных по внешнему контуру круглых пластин, нагруженных импульсом начальной скорости или внешнего давления, проведено сопоставление результатов расчетов, полученных на основе теории Тимошенко, с экспериментальными данными; сравнение решений, полученных на основе вышеизложенной методики и метода шаго­ вой линеаризации; сравнение решений по модели с разложением в ряд и модели типа Тимошенко [8 ].

150