книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

Кп = В2т= |рФ и(а з)<Р/я(а з)г 1г 2 ^а 3 О,™ = 2,7V),

О

h

BL = |рЧ>Ка з)ф'т(аз)2122^а з (п,т = зЛ ). (1 49)

Важным свойством разрешающей системы уравнений дина­ мики оболочечных элементов конструкций является ее энергети­ ческая согласованность, поэтому для выводауравнений движения изотропных и композитных оболочек и естественных граничных условий воспользуемся принципом возможных перемещений [91, 209], который для оболочки, кактрехмерного тела, можно предста­ вить в виде

Здесь интегрирование ведется по объему Vyзанятому оболочкой в недеформированном состоянии; S - часть поверхности, на которой заданы внешние силы Р ;;точки над буквой означают производную по времени; bUi■- произвольные кинематически допустимые из­ менения перемещений.

Преобразуем выражение (1.50) с учетом разложений (1.16) и построенных на их основе соотношений (1.41), (1.45) и (1.48):

51

1 к _ ^ _ М к . ^ - к гм1г+е;2 W+

52

Применяя к вариационному уравнению (1.51) традиционную для вариационного исчисления процедуру преобразования интегра­ лов и учитывая произвольность вариаций, получим:

-уравнения движения оболочки

N

=+Кй\ +£Zг,”йг |, а ^ 2),

53

где v - внешняя нормаль к контуру Г.

Начальные условия сформулированной выше задачи запишутся

в виде:

где и”( а , , а 2), м," ( а , , а 2)(/ = 1 ,3 ) - моменты заданных функ­ ций Uj( a , , a 2, a 3), w,. ( a ,, a 2, a 3), определяемых формулами:

“з (a i>а 2) = ]“з(а, ,а 2 ,а 3 )ч>1 (а3 )rfa3.

0

Соотношения (1.16)-(1.18), (1.23)-(1.38), (1.52)-(1.55) представ­ ляют полную систему уравнений для анализа нелинейных процес­ сов деформации изотропных и композитных оболочек переменной

55

толщины при импульсных воздействиях. При этом точность полу­ ченной неклассичесмой системы уравнений определяется количест­ вом членов, уцерживаемых в разложениях (1.16).

1.3. Вывод разрешающей системы уравнений изотропных и композитных оболочек переменной толщины в рамках модели типа Тимошенко

В данном параграфе рассматривается вариант уравнений не­ линейной динамики произвольных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия нормали. Считаем, что оболочка выполнена из традиционных материалов или получена укладкой достаточно большого числа композитных слоев с углами армирования

± фи(л = 1,М ). При этом слоистая конструкция заменяется экви­ валентной однородной оболочкой из ортотропного материала. При формулировке геометрических соотношений используется метод гипотез для пакета в целом. Описание геометрической нелиней­ ности осуществляется на основе формул нелинейной теории упругости в криволинейных координатах, связанных с линиями кривизны [209]. Уравнения движения оболочек вместе с краевыми условиями получены вариационным методом, исходя из принципа возможных перемещений.

Пусть, как и выше, оболочка толщиной h занимает область V

евклидова пространства £ 3 и ограничена поверхностью dV = = S* U S~ U Л, где S \ S~ - лицевые поверхности оболочки; А -

цилиндрическая поверхность, образующие которой перпендику­ лярны кповерхности S* = S U Г, выбранной в качестве основной

(координатной); Г - контур области S.

Отнесем основную поверхность S к ортогональной криволи­ нейной системе координат а , (/ = 1,3), совпадающей с линиями главных кривизн и внешней нормалью к внутренней поверхности оболочки.

Допускается, что геометрические и механические характе­

56

ристики оболочки и действующие на нее нагрузки таковы, что спра­ ведливо линейное распределение по толщине пакета всех компо­ нент вектора перемещений

^ /( а р а 2, а 3,0 = и ,(а 1>а 2>0 + а зФ,(а 1>а 2»0 (/ = 1,3). (1.56)

Здесь величины м,(а ,,а2,/) представляют собой перемещения координатной поверхности в направлениях а Д/ = 1,3) соответст­

венно; (J = 1,2) - углы поворота нормали к основ­ ной поверхности; ф3(а„а2,0 - поперечная нормальная деформа­ ция.

Линейные части деформаций оболочки и повороты элемента оболочки относительно координатныхлиний а ,(/ = 1,3) (1.4)суче-

том (1.56) примут вид:

Y,, = — (8м + а заги)> О * * 2)-

2\

Y33=<Рз(а,,а 2,7), Y13= 4*1+ “ (81з + а з®1з)> ( 1 ^ 2)> z l

2G>J =-cp2+ — (Б2з + а 3ае23), 2со2 =Ф, " “"(81з + а з®1э)»

57

1 ди3

1 А. да, * IMP

Вычислим нелинейные деформации (1.7) с учетом зависимос­ тей (1.57), (1.58), сохраняя слагаемые, пропорциональные степени не старше а 3, и, учитывая малость параметра ajcf (j= 1 ,2 ) в срав­ нении с единицей, получим:

еп = ^ - |е,2+е„е2| + ^еиЕц +cx3^asl2 + е„ге21 + е21£е„ +

1/

+2 ( Е13®23 + а е 13е 2 з ) ” ^ 2 8 Пе 21

Z\

58

Предполагая, что деформации удлинений и сдвигов есть вели­ чины более высокого порядка, чем углы поворота, и учитывая вто­ ростепенный характер трансверсальных деформаций, из (1.59) по­ лучим соотношения простейшего квадратичного варианта нелиней­ ной теории оболочек [261]:

Шестимодальный вариант нелинейной теории оболочек наряду с определенными достоинствами, заключающимися в полноте определения компонент тензора деформаций, имеет недостаток, связанный с постоянством деформации обжатия по толщине обо­ лочки, что приводит к искаженной изгибной жесткости, а при чис­ ленной реализации - кэффекту повышения “жесткости дискретной системы” [41]. Однако пятимодальная аппроксимация переме­ щений

^ ( “ | . “ 2 .а 3 .0 = И/ ( « | . “ 2 .0 + « з‘Р/ (“ |.а 2 . 0 .

и у(а,,а 2,а3,/) = и3 (а,,а 2,/) (у = 1,2)

приводит к некоторым затруднениям при формулировке начально­ краевой задачи для оболочечных конструкций. Для устранения этого недостатка можно определять <р3 на основе приближенных

59

формул [41] <рз = —1+ д/11 —Ф,2 —Фз I , либо по более простой

зависимости [71] ср3« —<р, + ср2)/2.

Физические соотношения при формулировке задачи в рамках модели типа Тимошенко определяются соотношениями (1 .23)-

(1.38).

Для вывода уравнений движения оболочек, выполненных из традиционных и композиционных материалов, в рамках модели типа Тимошенко воспользуемся, как и выше, принципом возмож­ ных перемещений (1.50). После интегрирования в (1.50) по толщине оболочки с учетом (1.57), {1.59) получим;

jJ(JV*8s,| +N’25EI2 + N2l8е2| +N'225S22 + JV*35S I3 +

S

+ N238 E23 +M Uбаг,, + M l26ae12+ M 2I6ae2I + M 22d x 22 +

+ Л /,36эе13 + M ; 35 ® 23 + е ; з 5 Ф , + 0 *36cp2 +

60