книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

циклических относительно В подпространств. Их число равно раз­ мерности d собственного подпространства Кег В.

4. Теорема Ж ордана. Из предложений 1 и 4 прямо следует Предложение 5. Если в комплексном пространстве Jzf задано

линейное преобразование Д, то S£ - прямая сумма инвариантных относительно А циклических подпространств. Их число равно общему числу всех цепочек в жордановом базисе пространства j£f, rn. е. d\ -I

... -f ds, где di = dim Кег (Д —Л,-Е).

Жорданов базис пространства JS? — объединение базисов инвари­ антных подпространств, и по предложению 2 §4 матрица преобразова­ ния А в этом базисе клеточно-диагональная. При этом диагональные клетки этой матрицы являются матрицами ограничений А на соот­ ветствующих подпространствах. Поэтому, если мы хотим получить вид матрицы преобразования в жордановом базисе, мы должны сна­ чала написать матрицу ограничения А на циклическом подпростран­ стве.

Пусть циклическое подпространство принадлежит корневому под­ пространству с собственным значением А,- и натянуто на векторы цепочки Мы имеем

Д(е' ) = в(е' )+А,с'. (/ = 0,

и по формулам (10)

А(е°) = А,е°, Л(е]) = е° + А . е ) , A(r.j) = е)-1 + А,-е*.

Столбцы матрицы преобразования — это координатные столбцы образов базисных векторов. Поэтому матрица ограничения А в рас­ сматриваемом базисе имеет вид

Матрица такого вида называется жордановой клеткой порядка h -f 1 с собственным значением А,-. Клеточно-диагональная матрица, у ко­ торой клетки жордановы, называется жордановой матрицей или мат­ рицей, имеющей жорданову форму.

Из всего сказанного вытекает теорема Жордана.

Т еор ем а 2. Для любого линейного преобразования комплексного линейного пространства существует базис (жорданов базис), в кото­ ром его матрица имеет жорданову форму.

Жорданов базис для данного преобразования, конечно, не един­ ствен: базис в каждом корневом пространстве выбирается с некоторым произволом, и присоединенные векторы по формулам (10) определены не однозначно. Однако, как видно из построения, кор­ невые подпространства (и в каждом из них число собственных векторов, с которых начинаются цепочки определенной длины) опре­ деляются геометрически — инвариантными подпространствами пре­ образования. Таким образом, жорданова форма матрицы преобра­ зования определена единственным образом с точностью до порядка расположения клеток на главной диагонали.

Собственные значения клеток — это собственные значения преобразования. При этом все жордановы клетки с одним и тем же собственным значением объединяются в одну большую клетку, соответствующую корневому подпространству. Жорданова матрица треугольная. Поэтому кратность собственного значения А,- равна если А,- встречается на диагонали матрицы к{ раз. Отсюда сразу следует

Предложение 6. Размерность корневого подпространства рав­ на кратности его собственного значения в характеристическом мно­ гочлене.

5. Приведение к жордановой форме. Нахождение жордано­ ва базиса, или, как говорят, приведение матрицы преобразования к жордановой форме облегчается тем, что при этом нет нужды искать корневые подпространства. Они получатся автоматически после того, как будут построены соответствующие жордановы цепочки. Действи­ тельно, для построения цепочек достаточно найти для каждого кор­ ня А,- его собственное подпространство и вложенные в него подпро­ странства У?,...7/71<, определяющие, с каких собственных векторов начинаются цепочки. Согласно определению

У< = (А - A,F)'(JTf) П Ker (A - A,F),

но тут не надо находить Jt'i. Дело в том, что

(А - AiE)'(if) П Ker {А - А, Е) =

= ( A - A,F)'(Jfi) П Ker {А - A,F). (9)

Действительно, любой вектор х из J2?раскладывается в сумму век­ торов из корневых подпространств х — xi -I-... + xs и (А —AiE)(x) = = Vi + ... + Vsу где yj = (А - \{E)(xj) G X j , так как корневые под­ пространства инвариантны. При этом если xj ф о при г ф j, то и yj ф о.

= (А - XtE)l(Sf) П Кег {А - А,- Е).

Рассмотрим в качестве примера преобразование А шестимерного

214 Га. VI. Линейные пространства

пространства, заданное в некотором базисе матрицей

Нетрудно подсчитать, что характеристический многочлен А равен (Л —1)3(А —2)3, и, следовательно, имеются два корневых подпрост­ ранства размерности 3 ка?кдое.

Решая однородную систему линейных уравнений с этой матрицей, находим, что собственное подпространство натянуто на векторы а\ и а2 с координатными столбцами, соответственно c*i = || 0 1 0 0 0 0 ||т и а 2= || 00030 1 ||т . Собственное подпространство двумерное, а корне­ вое трехмерное. Значит, должен быть один присоединенный вектор. Чтобы найти, к какому собственному вектору он присоединен, ищем пересечение У 1 собственного подпространства с 1т(Л —Е), которое натянуто на столбцы матрицы А —Е.

Легко заметить, что четвертый столбец А — Е совпадает с « 2. Так как а.\ не раскладывается но столбцам А —Е , размерность суммы подпространств равна 5, а сумма размерностей — 6. Значит, пересе­ чение одномерно, и базис в нем — а2.

Решим систему уравнений (А —Е)£ = « 2 и найдем координатный столбец а 3 = || 0 0 0 1 0 0 ||т присоединенного вектора аз. После этого жорданов базис первого корневого подпространства построен.

Из однородной системы уравнений с такой матрицей следует, что собственное подпространство одномерно, и его базисный вектор Ь имеет координатный столбец /3 = \\ 1 0 0 0 0 0||т . Так как корневое пространство трехмерное, к 6 должны быть два присоединенных век­

тора. Первый присоединенный получаем из системы (А —2Е)£ = /}.

ны 1. цепочка а->, а2 и цепочка Ь. 6А, Ь2 Координатные столбцы этих векторов <х\, с*?, есъ ft,Pi, fa составляют матрицу перехода S от ис­ ходного базиса к жорданову базису Учитывая порядок, в котором мы расположили векторы жордановых цепочек, мы можем выписать жорданову матрицу Л', которую имеет А в построенном базисе В

Рекомендуем читателю проделать все описанные здесь вычисления

Упражнения

1. Сколько существует жордановых матриц, отличающихся кратностя­ ми характеристических чисел, числом и размерами клеток, среди матриц:

а) второго порядка, б) 1 ретьего порядка; в) истертого порядка*'

2. Найдите жорданову форму матрицы и матрицу перехода к жорданову

базису для преобразования, заданного в исходном базисе матрицей:

ГЛАВА VII

ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§1. Евклидовы пространства

1.Скалярное произведение. Линейное пространство, введен­ ное в предыдущей главе, существенно отличается от множества век­ торов обычного геометрического пространства тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между векторами. В настоящей главе мы изучим такие пространства, в ко­ торых эти понятия определены.

В гл. I, используя длину вектора и угол, мы определили скаляр­ ное произведение. Здесь удобнее поступить наоборот. Мы аксиома­ тически определим операцию скалярного умножения, а длину и угол определим с ее помощью. Определение скалярного умножения для вещественных и для комплексных пространств формулируется раз­ лично. Этот параграф посвящен вещественным пространствам.

число а:

1) (*,*/) =(у, ж);

2) (x+y,z) = (x,z) + (у, г);

3 ) ( а х , у) = a ( x , j / ) ;

4) (#, х) > 0 для всех х ф о.

Будем рассматривать n-мерное евклидово пространство £. Любое подпространство £* в £ -- также евклидово пространство, так как для его векторов определено то же самое скалярное умножение.

Очевидны простейшие следствия из перечисленных аксиом. Так

Можно дать второе определение евклидова пространства, эквива­ лентное первому.

Определение. Вещественное линейное пространство называет­ ся евклидовым, если в нем задана положительно определенная квад­ ратичная форма.

Из первого определения следует второе. Действительно, если в ве­ щественном линейном пространстве определена операция скалярного умножения, то это - функция от двух векторов. Аксиомы 2) и 3) и формулы (1) и (2) равносильны тому, что функция билинейная. Аксиома 1) означает, что билинейная функция симметрична, а ак­ сиома 4) — что соответствующая квадратичная форма положительно определена. Поскольку симметричная билинейная функция однознач­ но определяется соответствующей квадратичной формой, обратное утверждение столь же очевидно.

Конечно, в вещественном линейном пространстве существует бес­ конечно много положительно определенных квадратичных форм. Но втором определении слово ‘'задана” означает, что одна из них выделе­ на и играет особую роль. Вудем называть ее основной квадратичной формой.

Пример 1. Для векторов геометрического пространства скаляр­ ное произведение двух векторов определено как произведение их длин на косинус угла между ними. Так, определенная операция скалярно­ го умножения обладает нужными свойствами, но зависит от выбора единицы измерения длин. Поэтому, если такая единица выбрана, век­ торы геометрического пространства образуют трехмерное евклидово пространство в определенном здесь смысле.

Пример 2. В п-мерном арифметическом пространстве мы можем ввести скалярное умножение, сопоставив столбцам £ и 7] число

£т „ = £ У + . . . + е » л (з) где через £* и rf обозначены элементы столбцов. Используя свойст­ ва умножения матриц, читатель без труда может проверить, что все условия, входящие в определение, выполнены. Иначе можно было бы сказать, что в качестве основной квадратичной формы выбрана та, которая в стандартном базисе арифметического пространства (со­ стоящем из столбцов единичной матрицы) имеет канонический вид.

Пример 3. В пространстве функций, непрерывных на отрез­ ке [0,1], можно ввести скалярное произведение но формуле

1

(/,<?) =

О

Аксиомы 1)”4) вытекают из известных свойств определенных интег­ ралов.

2. Длина и угол. В соответствии с формулами §4 гл. I введем Определение. Назовем длиной вектора х и обозначим |аг| чис­

ло ^/(ж,ж). Углом между векторами х и у назовем каждое число f, удовлетворяющее условию

218Га . VII. Евклидовы и унитарные пространства

Всилу аксиомы 4) длина вектора — вещественное неотрицатель­ ное число, причем она равна нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой. С определением угла дело обстоит несколько сложнее. Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства (4) но

абсолютной величине не превосходит единицы. Это следует из нера­ венства

связываемого с именами Шварца, Коши и Буняковского. Ниже мы по­ лучим это неравенство как следствие из теоремы 1.

Еще одно важное неравенство, называемое неравенством треу­

Знак равенства имеет место, если (ж, у) = |ж||у|, т. е. если угол меж­ ду х и у равен нулю, и только в этом случае. Неравенство (6) для векторов — направленных отрезков — означает, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных его сторон.

Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогональны­ ми, если (х , у) = 0. Это условие выполнено, если хоть один из векторов нулевой. Если оба вектора ненулевые, то но формуле (4) угол между ними равен 7г/2.

Предложение 1. Только нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.

Действительно, если (#,у) = 0 для всех у, то, положив у = х, по­ лучим (ж, х) = 0, что возможно только при х = о.

3. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если в евклидовом пространстве выбран базис е, то скалярное произведение векторов х и у, как и значение любой билинейной функции, выражается по формуле (3) § б гл. VI через координатные столбцы £ и ?/ этих векторов:

Согласно определению матрицы билинейной функции элементы gij матрицы Г равны скалярным произведениям (e,*,ej), т. е.

Эта матрица называется матрицей Грома базиса е.

Матрица Грама симметрична. По критерию Сильвестра все ее главные миноры положительны, в частности справедливо

Пред л ожение 2. Детерминант матрицы Грама любого базиса положителен.

Это предложение может быть обобщено следующим образом. Теоре ма 1. Пусть — произвольная, we обязательно ли­

нейно независимая система векторов. Тогда детерминант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений,

•• (xk,Zk)

положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

Первое утверждение следует из предложения 2, так как линейно независимые векторы составляют базис в своей линейной оболочке.

Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство <*i«i + ... + с**ж* = о, в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов, мы придем к системе линейных уравнений

имеет нетривиальное решение, детерминант ее матрицы равен нулю. Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом простран­ стве имеет место неравенство Коши-Буняковского (5), причем оно выполнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы ли­

нейно зависимы.

Пусть базис е' связан с базисом е матрицей перехода 5. Тогда

4. Ортогональные базисы. Базис, в котором основная квад­ ратичная форма имеет канонический вид, называется ортонормированным базисом. Так как она положительно определена, матрица Грама ортонормированного базиса единичная: = 0 при i ф j

и (е,-,ег) = 1 (i,j = 1,...,н). Это значит, что векторы ортонормиро­ ванного базиса попарно ортогональны, а по длине равны единице.

Для ортонормированного базиса формула (7) имеет вид

Предложение 3. п попарно ортогональных ненулевых векто­ ров Ах,...,Ап в п-мерном евклидовом пространстве составляют ба-

220 Гл, VII. Евклидовы, и унитарные пространства

зис. Разложение вектора по этому базису задается формулой

Действительно, матрица из произведений (h{,hj) диагональная с ненулевыми элементами на диагонали. Из теоремы 1 следует, что Л1.....Лп составляют базис.

Пусть х =г о 1Л14-...+ аПЛП. Умножая это равенство скалярно на любой из hi, находим, что а,- = (я, Ы)1\1ц\2, что равносильно (10).

Казне из ортогональных векторов называется ортогональным ба­ зисом.

Вычислим (я,#) с помощью формулы (10). Поскольку {hi,hj) = 0 при i ф j. получаем равенство Нарсеваля

5. Ортогональные матрицы. Рассмотрим два ортонормированных базиса е и е' = еS. Тогда в формуле (8) Г' = Г = /?, и формула

Наоборот, если выполнено условие (12) и исходный базис оргонормированный, то мы получаем Г' = Е, и новый базис также ортонормированный.

Определение. Матрица, удовлетворяющая условию (12), назы­ вается ортогональной матрицей.

Как мы видели, ортогональные матрицы и только они могут слу­ жить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Равенство (12) равносильно равенству

Это означает, что матрица S T также является ортогональной. Обозначив элементы матрицы S через <т], мы можем написать

из (У), если вспомнить, что столбцы матрицы перехода — коорди­ натные сюлбцы новых базисных векторов в старом базисе.