книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Может ли их сумма быть прямой?

§3. Линейные отображения

1.Определение. Пусть i f и i f — два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением А про­

странства Л£ в пространство JS? понимается закон, но которому каж­ дому вектору из i f сопоставлен единственный вектор из Л?. Мы бу­ дем писать А : Л? -+ Л?. Образ вектора х обозначается А(ж).

Определение. Отображение А : Л? -+ Л? называется линейным, если для любых векторов х и у из i f и любого числа а выполнены равенства

Следует подчеркнуть, что знак -f- в левой и правой частях первой из формул (1) обозначает две, вообще говоря, различные операции: сло­ жение в пространстве Лf и сложение в пространстве if . Аналогичное замечание относится и ко второй формуле.

Линейное отображение мы будем называть линейным преобразова­ нием, если пространства i f и -Sf совпадают.

Пример 1. Пусть А - фиксированное число. Сопоставим каждо­ му вектору х пространства i f вектор Аж. Легко видеть, что это — линейное преобразование.

Пример 2. При аффинном преобразовании плоскости двумерное пространство векторов, на ней лежащих, отображается само на себя. В силу формул (11) §2 гл. IV •—это линейное преобразование.

Пример 3. Выберем в n-мерном линейном пространстве i f какойнибудь базис. Это сопоставит каждому вектору его координатный столбец и тем определит линейное отображение пространства i f в п-мерное арифметическое пространство (пространство столбцов).

Пусть i f — вещественное пространство. Сопоставляя каждому вектору его первую компоненту в выбранном базисе, мы получаем ли­ нейное отображение i f в линейное пространство вещественных чисел.

Пример 4. Пусть С°[-1,1] и С°[0,2] — пространства функций, непрерывных соответственно на отрезках [—1,1] и [0,2]. Сопоставим функции f(t) из первого пространства функцию <p(s) = / ( s —1) из второго. Это отображение, очевидно, является линейным. Пример пре­ образования можно получить, если сопоставить функции из С7°[—1,1] ее первообразную F(t), удовлетворяющую условию F(0) = 0.

из J$? нулевой вектор из .£?, является линейным. Оно называется нулевым отображением.

В дальнейшем в этом параграфе п и т будут обозначать размер­ ности пространства J£f и JSf соответственно.

Из определения немедленно вытекает, что при линейном отображе­ нии линейная комбинация векторов переходит в такую же линейную комбинацию их образов.

Нулевой вектор переходит в нулевой, поскольку А(о) = Л(0х) =

=0Л(ж) = о. (Обратим внимание, что нулевые векторы пространств 3 f

иJ5? мы обозначаем одинаково.)

Из сказанного следует, что при линейном отображении линейно зависимые векторы отображаются в линейно зависимые. Как пока­ зывает пример 6, обратное вовсе не обязательно верно.

Предложение 1. При линейном отображении A : JSf-> ли­ нейное подпространство J2f' С -S? переходит в линейное подпрост­ ранство A(3ff) С J5?, причем dim Л(«£?') ^ dim J?f.

Для нулевого подпространства утверждение очевидно. Рассмот­ рим подпространство Jz?' размерности к > 0. Пусть ei, ...,е* — базис

Это означает, что произвольный элемент множества A(3f') образов всех векторов из j f ' есть линейная комбинация векторов 4(ei),...

Наоборот, каждая такая линейная комбинация, очевидно, является образом вектора из J$f'. Итак, множество A(3f') — линей­ ная оболочка А[е\),..., Л(е*), и, следовательно, есть подпространство. Размерность его не превосходит к в силу предложения 1 §2.

Необходимо отметить частный случай доказанного предложе­ ния: множество образов всех векторов из J$f является подпространст­ вом A(3f) в Оно называется множеством значений отображения и обозначается 1тп А.

Определение. Размерность множества значений отображения называется рангом отображения.

Если ранг А равен ?п, то А{5£) совпадает с JSf, и каждый вектор из JS? является образом некоторого вектора из j£f. Отображение, об­ ладающее этим свойством, называется сюръективным отображением.

Определение. Множество векторов, отображающихся в нуле­ вой вектор при отображении Л, называется ядром отображения А и обозначается КегЛ.

Предложение 2. Ядро есть линейное подпространство в JSf.

Если мы составим матрицу А из чисел а?, то равенства (4) могут быть записаны в матричной форме

Здесь координатный столбец образа вектора х (в базисе f) выражен как произведение матрицы А размеров т х п на координатный стол­ бец вектора х в базисе е.

Определение. Матрицей линейного отображения А : Л? Л? в

паре базисов е и f называется матрица, столбцы которой (в их естес­ твенном порядке) — координатные столбцы векторов A(ei), ...,>4(еп) в базисе f .

Формула (5) показывает, как употребляется матрица линейного отображения для нахождения образа вектора.

Матрица линейного отображения в следующем смысле однозначно определена: если для любого вектора х = е£ координатный столбец образа в базисе f есть г\ = то матрица В совпадает с А . Это утверждение нетрудно проверить. Умножим матрицу В на коорди­ натный столбец вектора е», т. е. на г-й столбец единичной матрицы. Произведение равно г-му столбцу В , а это и есть координатный стол­ бец Afa).

Пример 5 показывает, что при выбранных в пространствах Sf и Л? базисах каждая матрица размеров т х п служит матрицей не­ которого линейного отображения JS?

Предложение 4. Ранг матрицы линейного отображения равен

матрицы А линейного отображения А. Тогда векторы A(ej1), ...,A{ejr) линейно независимы и каждый из векторов А(е,) (г = 1, ...,п) по ним раскладывается. Следовательно, мы можем разложит!, образ А{х) лю­ бого вектора только по Д(е^),..., A(ejr). Таким образом, эти векторы образуют базис в Im Д, и их число равно рангу А. Предложение до­ казано.

Из этого предложения видно, что ранг матрицы линейного отобра­ жения один и тот же, какую бы пару базисов мы ни выбрали.

Предложение 5. Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства.

До каз а те ль ст в о . Согласно формуле (5) ядро отображения оп­ ределяется однородной системой линейных уравнений А£ = о с п не­ известными. Ранг матрицы системы равен рангу отображения г. Фун­ даментальная система решений этой системы состоит из d = п —г

176 Гл. VI. Линейные пространства

решений, которые являются координатными столбцами векторов, со­ ставляющих базис в ядре.

В частности, равенство г = п необходимо и достаточно, чтобы отображение имело нулевое ядро, т. е. было инъективным.

Таким образом, в произвольном базисе

•столбцы матрицы отображения линейно независимы тогда и только тогда, когда отображение инъективно,

•строки матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда отображение сюръективно.

Напомним, что отображение называется взаимно однозначным, ес­ ли каждый вектор у £ JSf является образом одного и только одного вектора из jSf, т. е. если оно является как инъективным, так и сюръ­ ективным. Для инъективного отображения г = п, а для сюръектив­ ного г = т . Итак, имеет место

Предложение 6. Линейное отображение А: Л? JS? взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространств совпадают и равны рангу отображения: n = m = Rg А.

3. Изоморфизм линейных пространств. Дадим следующее Определение. Взаимно однозначное линейное отображение на­ зывается изоморфизмом. Если существует изоморфизм jSf —)• Л?, то

линейные пространства JS? и JS? называются изоморфными.

Пример 7. Выбор базиса в n-мерном линейном пространстве Л£ определяет изоморфизм JS? на n-мерное арифметическое пространст­ во, сопоставляющий каждому вектору его координатный столбец. Это

координатный изоморфизм.

Из предложения 6 видно, что два линейных пространства могут быть изоморфны только тогда, когда их размерности совпадают. Ока­ зывается, это условие является и достаточным: имеет место

Тео ре ма 1. Два веществетшх пространства изоморфны тогда и только тогда) когда их размерности равны. То же верно и для комп­ лексных пространств.

Нам остается проверить только достаточность условия. Она оче­ видна: пусть Л£ \\ Л£ — два n-мерных линейных пространства. Если в каждом из них выбран базис, то любая невырожденная квадратная матрица порядка п по формуле (5) определяет линейное отображение, которое будет изоморфизмом согласно предложению 6.

Значение теоремы об изоморфизме линейных пространств — в следующем. Линейные пространства могут состоять из чего угодно (столбцов, многочленов, чисел, направленных отрезков, функций) — природа их элементов роли не играет, когда изучаются их свойства, связанные с линейными операциями. Все эти свойства у двух изо­ морфных пространств совершенно одинаковы. Если мы условимся не различать между собой изоморфные пространства, то для каждой раз­ мерности найдется только одно линейное пространство.

178 Гл. VI. Линейные пространства

столбец Л£ + В£ = (Л + В)£. Итак, сумма >4 + 8 линейных отобра­ жений — линейное отображение, и его матрица равна сумме мат­ риц А + В.

Произведение линейного отображения А на число а определяется как отображение 8, сопоставляющее вектору х вектор аА(х). Лег­ ко проверить, что это отображение линейное и имеет матрицу а А, если А — матрица отображения А.

Из сказанного следует, что по отношению к введенным здесь ли­ нейным операциям множество всех линейных отображений J5? в .3? представляет собой линейное пространство, которое изоморфно ли­ нейному пространству матриц размеров т х п.

Теперь рассмотрим три линейных пространства -3f, J£f' и S fn. Ре­ зультат последовательного выполнения отображений >4: JS? -+ <£*

и8 : .3?' -+ называется их произведением и обозначается ВА (отображение, которое делается первым, пишется справа). Разу­ меется, ВА отображает Sf в .3?" и является линейным отображением.

Пусть в пространствах J£?, j f ' и Jzf" выбраны базисы соответствен­ но е, f и g. Обозначим через А матрицу отображения А в базисах е

иf , а через В — матрицу отображения 8 в базисах f и g.

Предложение 7. Отображение ВА имеет матрицу ВА в бази­ сах е й g.

Д о к аз а те ль с тв о . Рассмотрим координатный столбец £ про­ извольного вектора из Sf. Координатные столбцы векторов А(х) и В(А(х)) обозначим соответственно через г\ и £. Тогда TJ = Л£ и £ = = Вг) = ВЛ£, как нам и требовалось.

Ранг отображения равен рангу его матрицы, а потому из оценки ранга произведения матриц (предложение 4 §3 гл. V) следует

Предложение 8. Ранг произведения отображений не превосхо­ дит рангов этих отображений.

Другие свойства умножения отображений тоже легко следуют из свойств умножения матриц, и мы не будем на них останавливаться.

если ВА= Е и АВ = 8, где Е и Е — тождественные преобразования

сы о и f в S f и Sf. Пусть А —■матрица отображения А в этих базисах. 1°. Пусть Д — изоморфизм. Тогда А — невырожденная квадрат­ ная матрица и имеет обратную матрицу Л” 1. Рассмотрим отображе­ ние 8: J5? -> J$f, определяемое матрицей Л” 1 в базисах f и е. Очевид-

же базисом и для векторов, и для их образов. Поэтому вводится сле­ дующее

Определение. Матрицей линейного преобразования A : Л? —у Л?

в базисе е = || е \ ... е.п || называется матрица, столбцы которой — ко­ ординатные столбцы векторов <4(ei),..., А(еп) в базисе е.

В соответствии с этим определением формула (6) §3 для матрицы

ле (1), уже, чем множество матриц, получаемых из той же матрицы А по формуле (6) §3 при несвязанных между собой матрицах 5 и Р. В более узком множестве, вообще говоря, не найдется матрицы кано­ нического вида (7) §3, и теорема 2 §3 не верна для преобразований.

Не следует думать, что это — случайное обстоятельство, связан­ ное с “неудачным” определением матрицы преобразования. Матрица отображения задает это отображение, и потому все свойства отобра­ жения содержатся среди свойств его матрицы. Свойствами отображе­ ния являются те свойства его матрицы, которые инвариантны, т. е. не меняются при переходе к другой паре базисов, а остальные описы­ вают как бы его расположение но отношению к базисам. Теорема 2 §3 по существу означает, что единственным свойством отображения является его ранг.

Линейные преобразования имеют больше свойств, чем линейные отображения. Это связано с тем, что образ вектора лежит в том же пространстве, и мы получаем возможность говорить о взаимном рас­ положении вектора и его образа. Например, приобретают смысл во­ просы о том, коллинеарен ли вектор своему образу, имеют ли ядро и множество значений ненулевое пересечение. Для отображения Л£ в другое пространство jSf эти вопросы лишены смысла. Естествен­ но, что матрица преобразования должна иметь больше инвариантных свойств, чем матрица отображения, а это означает, что множество матриц, задающих преобразование в различных базисах, должно быть уже, чем соответствующее множество для отображения.

2. Умножение преобразований. Линейные преобразования об­ ладают той особенностью, что произведение определено для любых преобразований одного пространства. В частности, если А и В — преобразования пространства j£f, то определены АВ и ВА. Эти про­ изведения, вообще говоря, различны. Однако может случиться, что АВ = ВА. В этом случае говорят, что А и В перестановочны или ком­ мутируют.

Произведение АА естественно обозначить А2 и определить целую