книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

162 Га. VI. Линейные пространства

Из предложения 5 непосредственно следует, что компоненты век­ тора в данном базисе определены однозначно.

Предложение 6. Координатный столбец суммы векторов ра­ вен сумме их координатных столбцов. Координатный столбец произ­ ведения вектора па число равен произведению координатного столбца данного вектора на это число.

Для доказательства достаточно выписать следующие равенства:

зованы свойства умножения матриц — предложения 3 и 4 §2 гл. V. Из предложения 6 видно, что координатный столбец линейной ком­ бинации векторов есть линейная комбинация их координатных столб­

цов с теми же коэффициентами. Отсюда следует Предложение 7. Векторы линейно зависимы тогда и только

тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Предложение 8. Если в линейном пространстве существует

базис из п векторов, то любая система из т > п векторов линейно зависима.

Д ок аз а те ль ст в о . Предположим, что в пространстве сущест­ вует базис ei,...,en, и рассмотрим систему векторов при­ чем т > п. Каждый из векторов / i , ..., fm мы разложим по базису и составим матрицу из их координатных столбцов. Это матрица раз­ меров п х т , и ранг ее не превосходит п. Поэтому столбцы матрицы

Теорема 1. Если в линейном пространстве есть базис из п векторов) то и любой другой базис состоит из п векторов.

Действительно, число векторов в одном базисе не может быть больше, чем в другом.

Теперь мы можем ввести следующее Определение. Линейное пространство, в котором существует

базис из п векторов, называется п-мерным, а число п — размерностью пространства. Размерность пространства ^обозначается dim-Sf.

В нулевом пространстве нет базиса, так как система из одно­ го нулевого вектора линейно зависима. Размерность нулевого прост­ ранства по определению считаем равной нулю.

Может случиться, что каково бы ни было натуральное число т , в пространстве найдется т линейно независимых векторов. Такое

пространство называется бесконечномерным. Базиса в нем не сущест­ вует: если бы был базис из п векторов, то любая система из п 4- 1 векторов была бы линейно зависимой по предложению 8.

Пример 6. Множество всех векторов плоскости является двумер­ ным линейным пространством, а множество всех векторов простран­ ства, изучаемого в элементарной геометрии, — трехмерное линейное пространство.

Пример 7. Линейное пространство столбцов высоты п имеет размерность п. Действительно, предложение 2 § 1 гл. V по сущест­ ву означает, что столбцы единичной матрицы порядка п образуют базис в этом пространстве, называемый стандартным базисом. Ли­ нейное пространство столбцов высоты п называют арифметическим п-мерным пространством.

Пример 8. Линейное пространство функций от одной перемен­ ной t , определенных и непрерывных на отрезке [0,1], является бес­ конечномерным. Чтобы это проверить, достаточно доказать, что при любом т в нем существует линейно независимая система из т век­ торов. Зададимся произвольным числом т. Векторы нашего прост­ ранства — функции t° — — линейно независимы. Действительно, равенство нулю линейной комбинации этих векторов означает, что многочлен

OLо + O ilt + Of2^2 "1“ — 1

тождественно равен нулю. А это возможно только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.

В линейной алгебре изучаются конечномерные линейные прост­ ранства. Далее всюду, за исключением некоторых примеров, мы бу­ дем предполагать пространство конечномерным.

В ненулевом конечномерном пространстве существует бесконеч­ но много различных базисов. Это видно из следующих предложений.

Предложение 9. В п-мерном пространстве каждая упорядо­ ченная линейно независимая система из п векторов есть базис.

Д ок аз а те ль ст в о . Пусть a?i,...,£n — такая система. Нам на­ до доказать, что произвольный вектор у раскладывается по ней. По предложению 8 система у, ...,яп линейно зависима, и найдутся та­ кие коэффициенты, что ау + Oi\X\ + ... + апхп = о, причем а ф 0, так как иначе система a?i,..., хп была бы линейно зависима. Отсюда прямо следует доказываемое утверждение.

Предложение 10. В п-мерном пространстве каждую упорядо­ ченную линейно независимую систему из к < п векторов можно до­ полнить до базиса.

Это вытекает из того, что к такой системе можно присоединить еще один вектор, который по ней не раскладывается. (Если бы это бы­ ло не так, система сама была бы базисом.) После присоединения мы имеем такую же систему из А + 1 векторов и, если к + 1 < п, новторя-

п*

ем рассуждение. В конце концов мы получим п линейно независимых векторов, в число которых входят заданные векторы.

В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор.

5. Замена базиса. Если в га-мерном пространстве даны два ба­ зиса ei, ...,еп и ...,е^, то мы можем разложить каждый вектор вто­

рого базиса по первому базису:

п

Столбцы этой матрицы — координатные столбцы векторов

в базисе е. Поэтому столбцы линейно независимы, и del S ф 0. Определение. Матрицу, j-й столбец которой есть координат­

ный столбец вектора с'- в базисе е, мы назовем матрицей перехода от базиса е к базису е'.

Равенство (1) можно переписать в матричных обозначениях

Это легко проверить, перемножая матрицы. Из формулы (2) мы получаем о = с'*?-1, откуда следует, что S” 1 — матрица перехода от е7к е.

Пусть в линейном пространстве даны три базиса е, е7 и е7/, при­ чем е' = eS и е77 = е'Т. Подставляя е7, мы получаем

Итак, при последовательной замене базисов матрицы перехода пере­ множаются, и последующие множители располагаются правее.

Предложение 11. Пусть задан базис е. Каждая матрица S с det S ф 0 есть матрица перехода от о к некоторому базису е7.

Действительно, при det Бф 0 столбцы 5 линейно независимы и яв­ ляются координатными столбцами п линейно независимых векторов, которые и составляют базис е7.

Выясним, как связаны компоненты одного и того же вектора х в двух разных базисах е и о7. Пусть х = е£ и х = е'£'. Подставим в последнее равенство выражение для е7 по формуле (2) и получим х = eS£7. Итак, мы имеем разложение вектора х по базису е в двух видах, и в силу единственности координатного столбца получаем

и)

Упражнения

1.Обозначим через Ei3 матрицу размеров ш х п , у которой элемент на пересечении *-й строки и j -то столбца равен 1 , а остальные элементы рав­ ны нулю. Убедитесь, что после упорядочивания эти mn матриц образуют базис в линейном пространстве матриц размеров га х п. (Такой базис назы­ вается стандартным базисом данного пространства.) Каковы координаты матрицы Л с элементами aij в стандартном базисе?

2.Докажите, что верхние треугольные матрицы порядка п образуют линейное пространство по отношению к обычным операциям с матрицами. Найдите размерность этого пространства и какой-нибудь базис в нем.

3.В линейном пространстве многочленов степени < 3 от перемен­ ной t заданы два базиса: 1 , £, t2, £3 и 1 , 1 —Л, (£ —а)2, (I —а)*. Найдите мат­ рицу перехода от первого базиса ко второму и с ее помощью разложение многочлена p(t) по второму базису.

4.Как расположены друг относительно друга два базиса ei,...,en и если матрица перехода от е к f верхняя треугольная? Докажите

из этих соображений, что обратная к верхней треугольной матрице также верхняя треугольная.

5.Как ориентированы друг относительно друга два базиса, если: f\ =

=ej -f С2 \ /2 = c’2 + ез; / 3 = ез -f е4; /4 = е4 —ei?

§2. Линейные подпространства

1.Определения и примеры. В обычном геометрическом про­ странстве сумма векторов, лежащих в некоторой плоскости, также лежит в этой плоскости, и умножение вектора на число не выводит его из плоскости, в которой он лежит. Теми же свойствами облада­ ют векторы, лежащие на прямой линии. Для линейных пространств

обобщением плоскости и прямой служат линейные подпространства. Определение. Непустое подмножество ££f векторов линейного

пространства называется линейным подпространством, если: а) сумма любых векторов из JSf' принадлежит JS?';

б) произведение каждого вектора из S ff на любое число также принадлежит J£f\

В силу этого определения любая линейная комбинация векторов из 5 ^ принадлежит J5?'. В частности, нулевой вектор как произведе­

Сложение и умножение на число, определенные в Jzf, будут таки­ ми же операциями в его подпространстве Справедливость аксиом линейного пространства для .£?' прямо вытекает из их справедливос­ ти для Таким образом, подпространство является линейным про­ странством.

Пример 1. Пусть дано некоторое множество & векторов в линей­ ном пространстве JSf. Обозначим через J2f' совокупность всевозмож­ ных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конеч­ ного числа векторов из Множество является подпространством

же является линейной комбинацией конечного числа векторов из Точно так же мы видим, что ах = У^(аАj)pj.

Так построенное подпространство JSf' называется линейной обо­ лочкой множества

Пусть p i,...,рт * - линейно независимая система векторов из & такая, что каждый вектор из & но ней раскладывается. (Если прост­ ранство конечномерно, то очевидно, что в каждом множестве, со­ держащем ненулевые векторы, такая система найдется.) Векто­ ры pi,...,pm образуют базис в линейной оболочке 5*. В самом деле, каждую линейную комбинацию векторов из SP можно представить как линейную комбинацию векторов pi,...,pm, так как каждый век­ тор из & можно разложить по pi, ...,pm и подставить эти разложения

врассматриваемую линейную комбинацию.

Вчастности, если SP— конечное множество векторов, мы имеем

Предложение 1. Размерность линейной оболочки множества из т векторов не превосходит т .

Пример 2. Рассмотрим однородную систему линейных уравне­ ний с п неизвестными. Согласно предложению 3 § б гл. V совокуп­ ность всех решений этой системы представляет собой подпрост­ ранство в линейном пространстве столбцов высоты п.

Каждая фундаментальная система решений этой системы уравне­ ний является базисом в этом подпространстве.

Пример 3. В каждом линейном пространстве множество, сос­ тоящее только из нулевого вектора, является подпространством. Оно называется пулевым.

П р и м е р 4. Все пространство JS?является подпространством в jSf. Предложение 2. Пусть — подпространство п-мерного пространства jSf. Тогда dim JS?' ^ п. Если dimJS?' = п, то JS?' сов­

падает с

Действительно, любая система из т > п векторов в jSf' лежит так­ же и в JS? и потому линейно зависима. Пусть базис в S£* содержит п векторов. Тогда любой вектор из S f раскладывается по этому базису и, следовательно, принадлежит j£?'. Значит, совпадает с JS?.

Сформулируем еще одно достаточно очевидное

Предложение 3. Пусть JS?' - подпространство п-мерного ли­ нейного пространства J?. Если базис еь ...,е* в ££' дополнить до ба­

Она же есть разложение х по базису ej, ...,еп при £*+1 = ... = £п = 0. Заметим, что равенства £*+1 = 0 , . . . = 0 можно рассматривать как систему линейных уравнений, связывающую координаты векто­ ра х. Нетрудно доказать, что и в любом другом базисе JS?' определяет­ ся системой линейных уравнений. Действительно, при замене базиса

Ранг этой системы равен п — к, поскольку строки матрицы перехода линейно независимы. Итак, мы доказали

Предложение 4. Пусть в п-мерном пространстве .£? выбран базис. Тогда координатные столбцы векторов, принадлежащих камер­ ному подпространству jSf' (к < гс), удовлетворяют однородной систе­ ме линейных уравнений ранга п — к.

2.Сумма и пересечение подпространств. Рассмотрим два

лежат в JS?', a gj — в JS?". Обозначая написанные выше суммы через х*

Пусть размерности подпространств -$?' и JSf" равны к и /. Выберем в этих подпространствах базисы ei,...,e* и Д ,...,Д . Каждый вектор из .5?' + JS?" раскладывается по векторам ei, Д, Д, и мы по­ лучим базис в -£?' + JSf", если удалим из этой системы все векторы, которые линейно выражаются через остальные. Сделать это можно, например, так.

Выберем какой-либо базис в JSf и составим матрицу из координат­ ных столбцов всех векторов с\ ,..., е*, Д ,..., Д. Те векторы, координат­ ные столбцы которых — базисные столбцы этой матрицы, составляют

им подпространствам.

Пересечение JSf'n.5?" есть подпространство. Действительно, ну­ левой вектор лежит во всех подпространствах и, следовательно, пере­ сечение не пустое множество. Если векторы х и у лежат в S£* n J f",

ив .Sf'nJSf".

Вконечномерном пространстве подпространства могут быть за­ даны системами линейных уравнений. Тогда их пересечение задает­ ся системой уравнений, получаемой объединением систем, задающих подпространства.

нейная оболочка их объединения. Это — множество всех векторов, представимых в виде суммы х\ -f... + ж*, где ж,- Е j£f (* = 1, Каждый из векторов ж,- может быть разложен по базису в своем под­ пространстве JS?*, и потому любой вектор из суммы JSf1, J £ f * рас­ кладывается по системе векторов, получаемой объединением бази­ сов всех подпространств. Число векторов в этой системе равно dim jSf1 -f ... Н-dim-Sf5. Поскольку векторы всех базисов в совокуп­ ности могут быть линейно зависимыми, размерность суммы подпро­ странств может оказаться меньше общего числа векторов в системе:

dimfjS?1 + ... + S f) ^ dini-S?1 + ... + dimJSf.

Базис в сумме подпространств получается, как и при s = 2, из объединения базисов слагаемых удалением векторов, линейно выра­ жающихся через остальные.

Определение. Сумма подпространств JS?1, ..., .if5 называется прямой суммой, если ее размерность равна сумме размерностей этих подпространств, т. е. имеет максимальное из возможных значений.

Если надо подчеркнуть в обозначении, что сумма прямая, то ис­ пользуют знак ф.

Прибавление нулевого подпространства не меняет ни размерность суммы, ни сумму размерностей. Но ниже мы будем считать подпро­ странства ненулевыми, чтобы избежать оговорок, вызванных несу­ ществованием базиса в нулевом подпространстве.

Предложение 5. Для того чтобы сумма JS?' подпространств jSf1, ..., jSf* была прямой суммой, необходимо и достаточно выполнение любого из следующих четырех свойств:

а) любая система из т ^ s ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам Sf* (г = l,...,«s), линейно независима;

в) пересечение каждого из подпространств If* с суммой остальных есть нулевое подпространство;

Д о к а з а те ль ст в о . Мы докажем, что из определения прямой суммы следует свойство а), и каждое из свойств б), в) и г) следу­ ет из предыдущего. Поскольку из свойства г) непосредственно сле­ дует определение прямой суммы, это будет означать равносильность каждого из свойств определению.

1. Докажем от противного, что из определения следует свойство а). Допустим, что нашлась линейно зависимая система ненулевых век­ торов ж,*,, ...,#,-та таких, что никакие два из них не лежат в одном и том же подпространстве 5£%.Дополним каждый из этих векторов до базиса в его подпространстве, а в тех подпространствах, из которых в системе векторов нет, выберем базис произвольно.

Объединение этих базисов - система из к = dim JS?1 4 ... 4 dim j£?5 векторов. Каждый вектор из J£f' раскладывается по этой системе, но система эта линейно зависима (так как она содержит линейно зави­ симую подсистему). Поэтому базис в JS?' содержит меньше, чем к векторов, и размерность суммы меньше суммы размерностей.

2. Докажем, что из свойства а) следует свойство б). Допустим, что б) не выполнено и некоторый вектор х представлен как сумма х =

= 4 ...+ х $ и как сумма х = уг 4 ...4 у,, где я*, у* (i = 1, ...,«)• Тогда (xi - yi) 4 ... 4 (xs —ys) = о. Если хоть одна из разностей от­ лична от нуля, мы получаем противоречие со свойством а).

3. Докажем теперь также от противного, что из свойства б) следу­ ет в). Ие уменьшая общности, мы можем допустить, что JSf1 имеет ненулевое пересечение с суммой JS?2 4 ... 4 -Sf*. В этом случае сущест- *вует ненулевой вектор z = х\ £ JSf1, представимый в виде суммы я24 . .. 4я * . Но равенство х\ = я24 . . . 4 я 5 означает, что г двумя способами представлен как сумма векторов, выбранных по одному из каждого JSf*.

4. Докажем, наконец, что из свойства в) следует г). Рассмот­ рим систему векторов, получаемую объединением базисов подпрост­ ранств JSf* (/ = 1 Каждый вектор из суммы JS?' обязательно раскладывается по этой системе, и нам остается доказать, что при условии в) эта система линейно независима.

Сделаем это от противного. Допустим, что существует равная ну­ лю нетривиальная линейная комбинация всех векторов, входящих в рассматриваемые базисы подпространств j£f* (г = 1 ,...,«). Сгруппи­ руем слагаемые в этой линейной комбинации так, чтобы объединить все слагаемые, относящиеся к одному подпространству. Мы получим равенство вида ж х 4 . . . 4 я 5 = о, где хотя бы один вектор отличен от нуля. Ие уменьшая общности, можно считать, что это х\. Тог­ да xi = —х2 —... —xs. Это значит, что ненулевой вектор х г £ .S?1 принадлежит также сумме JS?2 4 ... 4 J2*5. Получено противоречие со