книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, имеет место

Предложение 6. Вектор а с компонентами ot\,ot2 в общей де­ картовой системе координат параллелен прямой с уравнением Ах + + By + С = 0 тогда и только тогда, когда

Действительно, c*i, а2 должны быть пропорциональны компонен­ там — В, А направляющего вектора прямой.

Векторное уравнение прямой линии в пространстве может быть написано в виде

Здесь а — направляющий вектор прямой, а го — радиус-вектор ее начальной точки. В самом деле, это уравнение, как и векторное па­ раметрическое, выражает коллинеарность векторов г0 и а.

5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости. Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем счи­ тать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно раз­ личны, т. е. что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Предложение 7. Прямые линии, задаваемые в общей декарто­ вой системе координат уравнениями

Ах + By + С = 0, А гх + В\у + Ci = 0,

параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффи­ циенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число А, что

Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, т. е. помимо уравнения (20) выполнено (с тем же А)

Д о к а за те ль ст в о . Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами (—В, А) и (—В\ ,А\) — направляю­ щие векторы прямых.

Докажем вторую часть. В равенствах (20) и (21) А ф 0, так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.

Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части

ществует общая точка М0(аг0, уо) обеих прямых, то А х0 + Вуо + С = = 0 и А(Ля0 + Вуо) + Ci = 0. Вычитая одно равенство из другого, получаем С\ = АС, как и требовалось.

Предложение 8. Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями

Лх + By 4- Cz -Ь D == О, Л\Х 4* у -Ь C\z 4* L)\ = О,

параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффи­ циенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число А, что

Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравне­ ния пропорциональны, т. е. полшже уравнений (22) выполнено (с тем

Д о к аз а те ль с тв о . Если плоскости параллельны, то их нормаль­ ные векторы п и щ коллинеарны, и существует такое число А, что ni = Ап. В силу уравнений (15) А\ = (ei,ni) = A(ei,n) = АЛ. Ана­ логично доказываются и остальные равенства (22). Обратно, если ра­ венства (22) выполнены, то из формулы (16) следует, что ni = Ап. Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть дока­ зывается так ?ке, как вторая часть предложения 7.

Условия (20) выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами (Л, В) и (ЛьВ*). Точно так же условия (22) означа­ ют коллинеарность векторов с компонентами (Л, В, С) и (Ль Вь Ci). Поэтому согласно предложениям 9 и 10 §3 гл. I условие параллель­

Предложению 7 можно придать чисто алгебраическую формули­ ровку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

Предложен ие 9. При условии (24) система линейных уравнений Ах + By + С = 0, А\х 4- Вху + Ci —0

не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависи­ мости от С и Ci). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же

А В А\ В\ Ф о,

то при любых С и С\ система имеет единственное решение (х.у).

Разумеется, это предложение можно доказать и непосредственно и отсюда получить условие параллельности прямых. Исследованием произвольных систем линейных уравнений мы займемся в гл. V.

странстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида

Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно (25) означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:

Разумеется, систему (26) можно заменить на любую, ей эквива­ лентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой (4). Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда

Уравнения (28) представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в её уравне­ ние не входит переменная я), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего векто­

Эта прямая лежит в плоскости х = х0 и, следовательно, параллельна плоскости х = 0. Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не а ь а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, на­

Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем слу­ чае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий век­ тор прямой, заданной системой линейных уравнений (26). По ус­ ловию (27) один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для

определенности, что АВ\ —А\В ф 0. В силу предложения 9 при лю­ бом фиксированном z система уравнений будет иметь единственное решение (ж, у), в котором х и у, разумеется, зависят от г. Они — линейные многочлены от z: х = a xz + у = а 2г -f 0 2 -

Re будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для яс­ ности, заменяя г на получаем параметрические уравнения прямой

x = a i t + 0 Xi y = a2*-f/?2> z - t .

Первые две координаты начальной точки прямой Mo(/?i,/?2iO) можно получить, решая систему (26) при значении z = 0.

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направ­ ляющий вектор имеет координаты (ат,с*2, !)• Найдем его компонен­ ты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами (А. В, С) и (j4i,jBi,Ci) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой (26), по которой плоскости пересекаются. Вы­ числяя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы по­ лучаем компоненты направляющего вектора

П р е дл о ж е и и е 10. Вектор с компонентами (32) есть направля­ ющий вектор прямой с уравнениями (26), какова бы ни была декартова система координат.

Д ок аз а те ль ст в о . Согласно предложению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого (ог1,а 2,аз) удовлетворяют уравнению Aotx + T?a2 + C OLз = 0, параллелен плоскости с уравнением Ах + By + + Cz + D = 0. Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению А \а\ + + # ia 2 + C\otz = 0, то он параллелен и второй плоскости, т. е. может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонен­ тами (32) ненулевой в силу неравенства (27). Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается.

Упражнения

1. Найдите параметрические уравнения прямой с уравнениями ж + У + * = 4, х - у + 3z = 0.

2. Найдите параметрические уравнения плоскости х —2у + 3z = 1.

3.Найдите координаты точки пересечения прямых с уравнениями х =

=1 —fc, у = 1 + £, 2 = 1 - tna? = 3i —1, у = 2£ —2, z = 1 + £. Какое значение параметра соответствует этой точке на каждой из прямых? Как устано­ вить, что прямые пересекаются, не находя точки пересечения?

4.Напишите уравнения плоскости, в которой лежат прямые из упр. 3.

5.Напишите параметрические уравнения прямых, заданных векторны­ ми уравнениями:

а) [г, а] = Ь, (а, Ь) = 0;

Тогда по предложению 10 § 2 условие (3) переписывается в виде

Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

Из формулы (4) следует, что три плоскости пересекаются в од­ ной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию

Действительно, это неравенство означает, что прямая, по которой пе­ ресекаются две плоскости, не параллельна третьей.

4.Полупространство. Пусть даны плоскость Р и определенный

еенормальный вектор п. Полупространством, определяемым Р и п, называется множество точек М таких, что для некоторой точки MQ

па плоскости вектор М0М составляет с п угол, не больший 7г/2. Если г — радиус-вектор точки М, а г0 — точки MQ, то определе­

ние полупространства, эквивалентно неравенству (г —г0,п) ^ 0. Это неравенство и есть уравнение полупространства.

Нетрудно проверить, что определение полупространства не зави­ сит от выбора точки М0. Действительно, если Mx(ri) — другая точка плоскости, то вектор а = г\ —го лежит в плоскости, перпендикуля­ рен п, и мы имеем

( г - п , п ) = (г —г0 —а,п) = (г - г 0,п).

Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно предложению 3 §2 выражение (г —г0,п) в координатах записывается линейным многочленом Ах + By + Cz -f + D. Итак, полупространство в декартовой системе координат зада­ ется линейным неравенством

Ах + By + Cz + D ^ 0.

Обратно, любое такое неравенство можно записать как (г —го, п) ^ 0, откуда сразу видно, что оно задает полупространство.

Плоскость Р и вектор щ = —п задают другое полупространство с уравнением (г —r 0,ni) ^ 0 или (г - г0,п) ^ 0. Его назовем “отри­ цательным’’, в отличие от “положительного” полупространства (г — —го, п) ^ 0. Однако такое наименование условно — оно определяется