книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

и ||1 —1[|т показывает, что на самом деле характеристическими чис­ лами являются Ai = 1,03 и Л2 = 0,97.

3.Изоморфизм евклидовых пространств. Два евклидовых

пространства и & называются изоморфными, если существует вза­

для любых х и у из £. Такое отображение называется изоморфизмом евклидовых пространств.

Таким образом, термин “изоморфизм” имеет различные значения в зависимости от контекста. Если речь идет о евклидовых прост­ ранствах, то при изоморфизме помимо линейности требуется сохра­ нение скалярного произведения.

Для того чтобы два евклидовых пространства были изоморфны, разумеется, необходимо, чтобы были равны их размерности. Дейст­ вительно, в противном случае они не изоморфны даже как линейные пространства. Оказывается, что этого и достаточно.

Теорема 5. Любые два евклидовых пространства одной размер­ ности изоморфны. Евклидовы пространства разных размерностей не изоморфны.

Для доказательства первого утверждения выберем в каждом из рассматриваемых пространств и<^ по ортонормированиому базису. Отображение А : &-ъ& зададим, сопоставляя вектору х £ век­ тор А(х) £<f, имеющий те же координаты. Матрица этого отображе­ ния единичная, поэтому А будет взаимно однозначным. Из форму­ лы (9) §1 следует, что при таком отображении сохраняется скалярное произведение.

Интересно отметить, что условие (7) очень сильное. Из него сле­ дует, что А — линейное отображение и, более того, инъективно. Дей­ ствительно, рассмотрим произвольный вектор х из и произвольное число а. Скалярный квадрат вектора А(ах) —аА(х) можно записать в виде (А(ах), А(ах)) - 2а(А(ах), А(х)) + а*(А(х), А(х)). Учитывая (7), видим, что это равно (ах, ах) —2а(ах, х) + а~(х, х), т. е. нулю. Та­ ким образом. А(ах) = аА(х). Аналогично доказывается, что А(х +

+ у) = А(х)+А{у).

Далее, пусть х £ Кег А, т. е. А(х) = о. Это значит, что (А(х), А(х)) = = 0 и, в силу (7), что (х,х) = 0. Таким образом, ядро А нулевое и А инъективно. __

В общем случае А не взаимно однозначно, но если dim <?= dim <•?, то из dirn^= Tig А но предложению б §3 гл. VI следует, что А является изоморфизмом. Мы доказали

Предложение 7. Произвольное отображение евклидова прост­ ранства в евклидово пространство той же размерности является изоморфизмом, если оно сохраняет скалярное произведение.

4.Ортогональные преобразования. Преобразование А евкли­

дова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т. е. если условие (7) выполнено для любых векторов из £. Из предложения 7 следует, что ортогональное преоб­ разование является изоморфизмом £ на себя.

Предложение 8. Если преобразование ортогонально, и только в этом случае, сопряженное ему преобразование является обратным к нему.

Действительно, по формуле (7) имеем (ж,А*А(у)) = (ж, у), или (ж, А*А{у) —у) = 0. Это означает, что вектор А*А(у) — у ортогонален любому вектору пространства и, следовательно, является нулевым. Поскольку равенство А*А(у) = у выполнено для всех у, преобразова­ ние А*А является тождественным, что равносильно доказываемому утвер?кдению. Обратно, из равенства А*А = Е легко получить (7).

Предложение 9. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортоиормированном базисе являет­ ся ортогональной.

Это прямо следует из формулы (4) и предложения 8.

Предложение 10. Для двух ортонормированных базисов е м f найдется единственное ортогональное преобразование А, для которого Д(е.) = /,• (г = 1,

До ка за те я ьство. Преобразование, переводящее с в f , существует и единственно: его матрица в базисе е состоит из координатных столбцов векторов в базисе е. Преобразование является ор­ тогональным, так как его матрица в ортоиормированном базисе ор­ тогональная (она же служит матрицей перехода от е к f).

Предложение 11. Собственные значения ортогонального преоб­ разования по абсолютной величине равны единице.

Действительно, для любого собственного вектора х мы имеем (А(ж),А(ж)) = А2(ж,ж) и (А(ж),А(ж)) = (ж,ж). Отсюда А2 = 1.

Предложение 12. Если £' — подпространство, инвариантное относительно ортогонального преобразования А, то его ортогональное дополнение £ f± также инвариантно относительно А.

В самом деле, ортогональное преобразование взаимно однознач­ но, и потому переводит каждое подпространство в подпространство той же размерности. Так как £* инвариантно, имеем А{£') = £'. Если ж е £*, а у е то 0 = (ж, у) ~ (А(ж), А(у)). Таким образом, А{у) при­ надлежит (А(^,/))± . Но из А(£') = <f' следует A(<f')x = £ tX. Поэтому А(у) G <f/X, как и требовалось.

Тео ре ма 6. Пусть А — ортогональное преобразование п-мерного евклидова пространства £ Тогда £ прямая сумма попарно орто­ гональных одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно А.

Для доказательства воспользуемся индукцией. Для пространств размерностей 1 и 2 утверждение очевидно. Предположим, что мы до­ казали теорему для пространств размерностей к —1 и Лг —2, и дока­ жем ее для Ar-мерного пространства. Но следствию из предложения 8 §4 гл. VI в существует или одномерное, или двумерное инвариант­ ное подпространство £\. Его ортогональное дополнение — инва­ риантное подпространство размерности к —1 или к —2. К ограниче­ нию преобразования А на <gf мы применим предположение индукции.

dim<f= dimS\ + d i m . По предположению индукции dim<^ = = dim^2 + •*. + dim <frn. Таким образом, для подпространств S\,..., &т размерность суммы равна сумме размерностей, и, следовательно, сум­ ма прямая. Теорема доказана.

Выберем в каждом из подпространств но ортонормированному базису и объединим все эти базисы. Мы получим ортонормированный базис в S, Как следует из предложения 2 § 4 гл. VI, матрица преобразования в этом базисе будет клеточно диагональ­ ной. Одномерным инвариантным подпространствам будут соответст­ вовать клетки порядка 1, т. е. числа 1 или —1 на диагонали. Дву­ мерным подпространствам соответствуют клетки порядка 2. Каждая такая клетка — матрица ограничения А преобразования Д. Так как базис ортонормирован, она ортогональна и имеет вид (16) § 1 при не­ котором а.

Из двух матриц (16) § 1 вторая матрица симметрична. Если А имеет такую матрицу, то оно не только ортогональное, но и само­ сопряженное, и потому имеет собственный вектор. Как вытекает из предложения 8 §4 гл. VI, двумерные инвариантные подпространст­ ва не содержат собственных векторов, а значит, матрицей А будет первая из матриц (16) — матрица поворота плоскости на угол а.

Такое представление матрицы ортогонального преобразования из­ вестно как разложение преобразования на плоские вращения, так как каждому двумерному подпространству соответствует поворот, и эти повороты могут осуществляться последовательно. Надо, однако, пом­

т х п. Тогда АТА — квадратная матрица порядка п. Рассмотрим матрицу АТА как матрицу линейного преобразования я-мерного арифметического пространства со стандартным скалярным произ­ ведением.

Так как матрица симметрична, преобразование самосопряженное, и найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица пре­ образования имеет диагональный вид. При этом мы можем уиорядо-

234 Гл. VII. Евклидовы и унитарные пространства

чить базисные векторы так, чтобы собственные значения располага­ лись в неубывающем порядке: Ai А2 ^ ... ^ Ап. Обозначим через Q матрицу перехода к такому базису из собственных векторов преоб­ разования. Q — ортогональная матрица, и QT — ее обратная.

Это простое предложение служит основой разложения матрицы А в произведение трех матриц, которое называется сингулярным разло­ жением.

Рассмотрим матрицу AQ и обозначим ее столбцы gi,...,gn. Под ортогональностью столбцов всюду далее будет подразумеваться их ортогональность как векторов арифметического пространства отно­ сительно стандартного скалярного произведения (х, у) = хт у; нормой столбца назовем евклидову длину соответствующего вектора, т. е.

|х| = хДхГх)".

Так как А = (AQ)T (AQ), элемент Ац матрицы Л равен gfgj. Ес­ ли г ф j, то gf gj = Aij = 0, и столбцы ортогональны. Диагональные элементы матрицы Л ...это квадраты норм столбцов: gfg* = А*. От­ сюда следует, в частности, что А,* ^ О, г = 1,..., п. Обозначим Rg>i7Vl через г. Так как собственные значения расположены в убывающем порядке, то Ах ^ ... ^ Аг > 0, а Аг+х = ... = Ап = 0. Следовательно, gr+i = ... = gn = 0, а первые г столбцов gi, ...,gr ненулевые. Их нор­ мы равны

( 9 )

Пронормируем ненулевые столбцы матрицы AQ , разделив каждый столбец на его норму. Мы получим матрицу Ц/^ |0||. В ней первые г столбцов, вошедшие в подматрицу Рх, ортогональны и нормированы. За ними следуют п —г нулевых столбцов.

Любой набор ортогональных и нормированных векторов можно дополнить до ортонормированного базиса. Для этого достаточно вы­ брать какой-либо ортонормированный базис в ортогональном допол­ нении линейной оболочки данных векторов. Поэтому любой набор ор­ тогональных и нормированных столбцов может быть дополнен до ор­ тогональной матрицы.

Итак, дополним матрицу Рх до ортогональной матрицы Р=||Рх |Р2|| порядка га. Кроме того, рассмотрим диагональную матрицу Д. —

= diag(<*i, ...,аг). При п > г дополним ее п —г нулевыми столбца­ ми, а при га > г дополним га —г нулевыми строками. Полученную матрицу размеров га х п обозначим через D.

Действительно, последние п —г столбцов произведения в правой час­ ти нулевые, так как нулевыми являются последние столбцы D . Пер­ вые г столбцов этого произведения получаются умножением столбцов подматрицы Р\ на соответствующие диагональные элементы Dr, т. е. числа (9).

Умножим обе части этого равенства справа на QT . Так как Q - ортогональная матрица,

А = PDQT .

Из полученного равенства следует, что RgA = Rg £> = г. Таким об­ разом, доказана

Теоре ма 7. Каждая матрица А размеров т х п и ранга 7* мо­ жет быть представлена как произведение (10), где Q и Р — орто­ гональные матрицы порядков соответственно п и rn, D — матрица размеров т х п, все элементы которой равны пулю, за исключением d\l ~~ ***i drr = OLr.

Пусть р = min{m, п}. Элементы д ц ,..., dpp матрицы D называют­ ся сингулярными числами матрицы А Первые г из них определяются формулой (9), а остальные, если существуют, равны нулю. Квадрат­ ная матрица порядка п и ранга г имеет п сингулярных чисел, из которых г положительны.

Столбцы матриц Q и Р составляют соответственно первый и вто­ рой сингулярные базисы матрицы А. Первый —это базис в /?п, а вто­ рой — в /?т .

Для выяснения геометрического смысла сингулярного разложения рассмотрим два евклидовых пространства С и М и выберем в них ортонормированные базисы е и f. Пусть отображение А : С —►М в этой паре базисов имеет матрицу А. Разложение А = PDQT запи­ шем в виде D = PTAQ. Это значит, что, переходя от е и f к первому сингулярному базису eQ и второму сингулярному базису fP в про­ странствах С и М , мы получим матрицу отображения D.

Вспомним, что согласно теореме 2 § 3 гл. VI для отображения А : С -¥ М можно так выбрать базисы в пространствах С \\ М , что матрица отображения будет иметь вид

Ег О О 0

Сейчас мы доказали, что, ограничиваясь ортонормированными бази­ сами, можно добиться сходного результата: единичная матрица в ле­ вом верхнем углу заменяется на диагональную матрицу с ненулевы­ ми сингулярными числами по диагонали.

Присмотревшись к формуле (10), можно заметить, что элементы последних гп - г столбцов матрицы Р умножаются на нулевые эле­ менты D. То же самое можно сказать и о последних п — г строках матрицы QT. Значит, если мы пропустим эти столбцы и строки, как и нулевые элементы в Д равенство не нарушится. Итак,

где Q1 — матрица, составленная из первых г столбцов матрицы Q.

Формула (11) называется сокращенной формой сингулярного раз­ ложения.

6. Полярное разложение. Далее мы будем предполагать мат­ рицу А квадратной: т = п. Вернемся к формуле (10) и перепишем ее, вставив два сомножителя, произведение которых равно единич­ ной матрице: А = (PQT){QDQT). При такой расстановке скобок мы разложили А в произведение ортогональной матрицы U = PQT и сим­ метричной матрицы S — QDQT. Корни характеристического много­ члена матрицы S неотрицательны - это сингулярные числа матри­ цы А. Мы показали, таким образом, что произвольную квадратную матрицу А можно разложить в произведение А = US ортогональной

и симметричной матриц, причем характеристические числа симмет­ ричной матрицы неотрицательны. Такое разложение называется по­ лярным разложением.

Конечно, можно поступить несколько иначе: написать А = = (PDPr )(PQT). Это приводит нас к полярному разложению А = 5iC/, где ортогональный сомножитель расположен справа. Отметим, что в обоих случаях ортогональная матрица одна и та же: U = PQT* симметричные матрицы различны, но их характеристические числа совпадают.

Геометрическую интерпретацию полярного разложения мы полу­ чим, если будем рассматривать матрицы как матрицы линейных пре­ образований в некотором ортонормироваином базисе евклидова пространства.

Те оре ма 8. Каждое линейное преобразование А евклидова про­ странства можно разложить в произведение ортогонального и само­ сопряженного преобразований: А = US или A — S^U. При этом собст­ венные значения и того и другого самосопряженного преобразования неотрицательны - они равны сингулярным числам преобразования А. Базис из собственных векторов S - * первый сингулярный базис А; базис из собственных векторов S i — второй сингулярный базис А .

Таким образом, при г = п преобразование S переводит единичную сферу в эллипсоид, а при г < п — в область г-мерного пространства, ограниченную эллипсоидом. Преобразование U не меняет полуосей этого эллипсоида. Поэтому на сингулярные числа преобразования А можно смотреть как на полуоси эллипсоида, в который А переводит единичную сферу, считая соответствующие полуоси нулевыми, если размерность снижается.

Упражнения

1 . В базисе е с матрицей Грама Г преобразование А имеет матрицу Л\

а) Найдите матрицу сопряженного преобразования. Найдите собственные подпространства:

б) преобразования А\ в) преобразования А*.

2 . Докажите, что собственные подпространства преобразований А и Д*,

принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны. Проверьте этот результат для упр. 1 .

3.Найдите все линейные преобразования, которые являются как орто­ гональными, так и самосопряженными.

4.Сколько существует ортонормированных базисов из собственных век­ торов данного самосопряженного преобразования, если у его характеристи­ ческого многочлена: а) нет кратных корней; б) есть кратные корни?

в) Возможен ли неортогональный базис из собственных векторов само­ сопряженного преобразования?

5. Найдите матрицу перехода S к ортонормированному базису из собст­ венных векторов преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей

А =

11

инапишите матрицу А' преобразования в найденном базисе. 6 . Ортогональное преобразование, заданное матрицей

в ортонормированном базисе, разложите в произведение двух вращений во взаимно перпендикулярных двумерных подпространствах.

7. Получите полярное разложение преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей:

тонормированием базисе матрицей из упр. 7, б).

§3. Функции на евклидовых пространствах

1.Линейные функции. Выбор базиса в линейном пространст­

ве S f устанавливает изоморфизм между S f и его сопряженным Sf*. В этом пункте мы покажем, что для n-мерного евклидова простран­ ства &существует такой изоморфизм, не зависящий от базиса.

Определение. Если для линейной функции f на евклидовом про­ странстве найдется вектор а такой, что f(x) = (а, х) для любого х , то функция называется регулярной, а вектор а — ее присоединенным век­ тором. Говорят также, что функция присоединена к вектору а.

Как легко видеть, каждому вектору присоединена некоторая ре­ гулярная линейная функция (см. пример 2 §5 гл. VI).

Выберем в евклидовом пространстве базис е и выразим в нем связь координатного столбца а вектора а и строки коэффициентов (р его присоединенной функции f. Для произвольного вектора х

f(x) = (а, X) = а ТГ£.

С другой стороны, f(x) = <р£, и потому у» = а 7Т, или

В ортонормированном базисе эта формула выглядит особенно прос­ то: fT = а, т. е. коэффициенты регулярной функции равны коорди­ натам ее присоединенного вектора.

Вспомним, что коэффициенты линейной функции в базисе е — это ее координаты в базисе р, биортогональном базису е. Отсюда следует, что равенство (1) можно рассматривать как координатную запись линейного отображения Г пространства в его сопряженное &* в паре базисов е и р. Так как Г — квадратная невырожденная матрица, это отображение взаимно однозначно.

В пространстве пока не введено скалярного умножения. Но мы можем ввести его но формуле (f, g) = (Г-1 (f), Г"1(g)). Тогда отобра­ жение Г будет изоморфизмом евклидовых пространств.

Этот изоморфизм не зависит от базиса, так как соответствие, со­ поставляющее вектору его присоединенную функцию, записывается формулой f(;r) = (а, я) в не зависящем от базиса виде. Как следствие мы получаем

Предложение 1. В конечномерном евклидовом пространстве каждая линейная функция является регулярной.

Замечание . В бесконечномерном пространстве подобное пред­ ложение было бы неверно. В примере 3 § 1 введено скалярное про­ изведение в пространстве функций, определенных и непрерывных на отрезке [0, 1]. По отношению к этому скалярному произведению из двух линейных функционалов, рассмотренных в примере 4 §5 гл. VI, первый является регулярным, а второй, как можно доказать, нет.

Не зависящий от выбора базиса изоморфизм между пространст­ вами § и позволяет отождествить эти пространства. С подобным

обстоятельством мы встречались, когда отождествляли пространст­ во JSf и его второе сопряженное JS?**. Отождествление евклидова про­ странства с его сопряженным (или линейной функции с ее присоеди­ ненным вектором) является общепринятым.

Рассмотрим векторы р1,...,;/1, отождествляемые с элементами р1, р п базиса, биортогональногобазису е. Из формулы (5) §5 гл. VI следует, что они удовлетворяют условию

Отсюда нетрудно вывести, что при п = 3 биортогональный базис, определенный нами в §4 гл. I, совпадает с биортогональным базисом, определенным в §5 гл. VI. Это же выясняет происхождение термина “биортогональный”.

2. Преобразование, присоединенное к билинейной функ­ ции. Пусть Ь- - билинейная функция на евклидовом пространстве £.

С помощью скалярного произведения ей может быть сопоставлено не зависящим от выбора базиса образом некоторое линейное преобразо­ вание.

Определение. Линейное преобразование А называется присо­ единенным к билинейной функции Ь, если для любых векторов х и у из £ выполнено равенство

единственное присоединенное преобразование.

До каз а те ль ст в о . Пусть А — матрица преобразования А в не­ котором базисе е. Тогда (ж,Д(у)) = £т TArj, где Г — матрица Грама базиса е, а £ и TJ — координатные столбцы х и у. Отсюда видно, что (х,А(у)) — билинейная функция с матрицей ГЛ. Гели значения двух билинейных функций равны для любых х и у, то их матрицы совпадают. Поэтому если у функции 6 существует присоединенное преобразование, ее матрица В равна ГЛ. Отсюда

Это означает, что билинейная функция не может иметь больше од­ ного присоединенного преобразования: если оно существует, то его матрица равна Г~1В.

Докажем существование присоединенного преобразования. Для этого достаточно проверить, что преобразование с матрицей (3) яв­ ляется присоединенным. Подставим Л = Г*”1# в (ж,Л(у)) = ^ТГАг]. Мы получим (ж, А(у)) = Z'1Вг\ = Ь(х.у). Предложение доказано.

Одновременно мы получили связь (3) между матрицами билиней­ ной функции ее присоединенного преобразования. Для ортонормиро­