книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

132Га. V. Матрицы и системы линейных уравнений

7.Найдите обратную для матрицы

8 . Разложите матрицу из улр. 7 в произведение элементарных.

§3. Ранг матрицы

1.Определение. Введем

Определение. Пусть в матрице А существует линейно незави­ симая система из г строк, и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы А равен г. Нулевая матрица не содержит никакой линей­ но независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю.

Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен ri, если есть линейно независимая система из г\ столбцов, и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.

Предложение 1. Система из г строк линейно независима тог- да и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка г.

Д о к аз а те ль с тв о . 1°. Пусть г строк линейно зависимы. Рас­ смотрим произвольную подматрицу порядка г, расположенную в этих строках. Если строки линейно зависимы, то также линейно зависимы (с теми же коэффициентами) и отрезки этих строк, составляющие подматрицу, и подматрица является вырожденной.

2°. Обратное утверждение докажем по индукции. Одна строка ли­ нейно независима, если она не нулевая. В этом случае она содержит ненулевой элемент, составляющий невырожденную подматрицу по­ рядка 1.

Пусть теперь даны г линейно независимых строк. Первые г —1 из них также линейно независимы, и по предположению индукции со­ держат невырожденную подматрицу порядка г - 1. Пусть ji,...,jr- i

— номера столбцов этой подматрицы. Рассмотрим отрезок ?*-й стро­ ки, расположенный под подматрицей, т. е. составленный из элементов с номерами л , П о следствию из теоремы 1 §2 этот отрезок раскладывается в линейную комбинацию строк подматрицы. Коэф­ фициенты этой линейной комбинации обозначим а ь ...,ar_i.

Теперь будем рассматривать полные строки. Вычтем из последней строки линейную комбинацию предыдущих с теми же коэффициента­ ми ал, ...,аг_ь Это обратит в нуль j \ : ..., jr - i-й элементы ?’-й строки, но не всю строку, так как строки линейно независимы. Таким обра­ зом, в преобразованной г-й строке есть ненулевой элемент а'*, и его

номер j отличен от номеров j u ..., j r-i-

В преобразованной матрице рассмотрим столбцы, имеющие номе­ ра i i , ..., jr-i, j- (Мы Для удобства пишем j на последнем месте, хо­ ти в действительности столбцы располагаются в порядке возраста­ ния номеров.) Легко видеть, что эти столбцы линейно независимы. Действительно, пусть

их нулевая линейная комбинация. Тогда для последних элементов столбцов ajO + ... + a r_iO + aarj = 0. Так как а!- ф 0, отсюда следу­ ет а = 0, и мы получаем о^аj x4- ... -f a r- ia jr-1 = о. Если бы среди коэффициентов этой линейной комбинации были отличные от нуля, то столбцы с номерами ji,...,jr- i были бы линейно зависимы. Это противоречило бы тому, что исходная подматрица порядка п —1 не­ вырождена. Таким образом, все коэффициенты в (1) равны нулю, и столбцы с номерами ..., j r- u j линейно независимы. Отсюда следу­ ет, что составленная ими подматрица порядка г невырождена.

Невырождена соответствующая подматрица и в непреобразованной матрице, так как элементарными преобразованиями мы превра­ тили ее в невырожденную матрицу. Это заканчивает доказательство.

Определение. В матрице А размеров т х п подматрица поряд­ ка г называется базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены.

Столбцы и строки матрицы Л, на пересечении которых стоит ба­ зисная подматрица, называются базисными столбцами и строками А.

В силу предложении 1 базисные столбцы и строки линейно неза­ висимы.

Определение. Рангом матрицы называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого су­ ществуют невырожденные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем.

Отметим два очевидных свойства ранга.

•Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются, и при этом невырожденные подматрицы остаются невырожденными, а вырожденные — вырожденными.

•Если А' — подматрица матрицы Л, то ранг Л' не превосходит ранга Л, так как любая невырожденная подматрица, входящая в Л', входит и в Л.

2.Основные теоремы. Из предложения 1 прямо следует теоре­ ма о ранге матрицы:

Т е ор е ма 1. Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу.

Действительно, если строчный ранг Л равен г, то в Л найдется линейно независимая система из г строк, а значит, и невырожденная

134 Га. V. Матрицы и системы линейных уравнений

подматрица порядка г. Если при этом есть р > г различных строк А , то они линейно зависимы, и любая подматрица порядка р в них вы­ рождена. Столбцовый ранг равен строчному рангу АТ, значит, и рангу Ат, а потому — рангу А .

Таким образом, мы видим, что все три определения на самом деле определяют одно и то же число, и впредь не будем их различать. Будем говорить ранг матрицы и обозначать его Rg А

Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном ми­ норе, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово “минор” означает “детерминант подматрицы”. В частности, базисный минор — это детерминант базисной подматрицы. О детер­ минантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы.

Теоре ма 2. Каждый столбец матрицы раскладывается в линей­ ную комбинацию ее базисных столбцов.

До ка за т е л ь с т в о . Каждый из базисных столбцов, разумеется, раскладывается по базисным: для этого достаточно взять его самого с коэффициентом 1, а остальные с нулевыми коэффициентами.

Пусть теперь — не базисный столбец. Базисные столбцы обо­ значим через а^, ...,а*г. По теореме о ранге матрицы любые г + 1 столбцов линейно зависимы, и найдутся такие коэффициенты, что

ада*, + ... + пгга,г + аа^ = о.

При этом мы можем быть уверены, что а ф 0, так как иначе это равенство означало бы линейную зависимость базисных столбцов. Деля на а, мы получаем нужное нам разложение.

Следствие. Каждая строка матрицы раскладывается по ее ба­ зисным строкам.

3. Ранг произведения матриц. Согласно предложениям 6 и 7 § 2 элементарные преобразования не меняют столбцового ранга. Та­ ким образом, справедливо

Предложение 2. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Отсюда и из предложения 9 §2 прямо следует Предложение 3. Если матрица А невырождена и определены

произведения АВ и СА, то RgAB = Rg В и RgCA = RgC. В общем случае имеет место

Предложение 4. Ранг произведения двух матриц не превосхо­ дит рангов сомножителей.

Д о к а за те ль с тв о . Пусть определено произведение АВ. Рас­ смотрим матрицу /Д, составленную из всех столбцов матриц Л и АВ. Так как А В ... подматрица, RgA# ^ Rg D.

По предложению 1 § 2 столбцы АВ — линейные комбинации столб­ цов А . Легко видеть, что приписывание к матрице линейной комбина­

ции ее столбцов не меняет ранга матрицы. Действительно, не менян ранга, элементарными преобразованиями столбцов мы можем обра­ тить приписанный столбец в нулевой, а добавление нулевого столбца не создает новых невырожденных подматриц. Отсюда следует, что RgD = Rg А Итак, RgA# ^ Rg А

Аналогично доказывается, что Rg ЛВ ^ Rg В. Для этого надо со­ ставить матрицу D9 из всех строк матриц В и ЛВ.

4. Нахождение ранга матрицы. Введем

Определение. Матрица размеров т х п называется упрощенной (или имеет упрощенный вн<?), если некоторые г ее столбцов являются первыми г столбцами единичной матрицы порядка m и, в случае т > > г, ее последние т — г строк — нулевые.

Предложение 5. Каждую матрицу с помощью элементарных

преобразований строк можно превратить в упрощенную матрицу.

Д о к а з а те ль ст в о . Если матрица нулевая, то она уже упрощен­ ная (г = 0). В общем случае применим метод Гаусса. В предложении 8 §2 мы превратили квадратную невырожденную матрицу элементар­ ными преобразованиями строк в единичную матрицу. Это — частный случай доказываемого предложения. То обстоятельство, что матрица невырождена, использовалось, когда мы в очередной строке преобра­ зованной матрицы находили ненулевой элемент.

В общем случае ненулевой элемент может не найтись, т. е. оче­ редная строка окажется нулевой. Все встречающиеся нулевые строки будем переставлять на последние места и будем продолжать преоб­ разования так, как при доказательстве предложения 8 §2.

Преобразования закончатся, когда будут исчерпаны все ненуле­ вые строки. При этом несущественно, квадратная матрица или нет. Конечно, может случиться, что некоторые столбцы не будут превра­ щены в столбцы единичной матрицы, но это нам и не требуется. Пусть всего в столбцы единичной матрицы преобразовано г столбцов. Если остались строки ниже r-й, они нулевые, иначе преобразования можно продолжить. Предложение доказано.

Пусть мы привели матрицу Л к упрощенному виду, и в упро­ щенной матрице А , столбцы а^,...,а^г (ji < ... < j r) превращены в столбцы единичной матрицы ei,...,er. Можно считать, что ajk —>е/. для всех k = 1, ...,г. Это достигается перестановкой строк.

Рассмотрим упрощенную матрицу Л! . В ней есть невырожденная подматрица порядка г, а невырожденных подматриц большего поряд­ ка, очевидно, нет. Следовательно, ранг матрицы равен г, а подматри­ ца базисная.

Из этого следует, что RgA — г, так как ранг не изменился при элементарных преобразованиях. За базисную подматрицу в Л можно

136 Гл. V. Матрицы и системы линейных уравнений

примять подматрицу, расположенную в столбцах с номерами j i, ...yjr и строках, которые после перестановок попали на места 1,..., г в упро­ щенной матрице. Это видно из того, что, преобразуя матрицу, мы не прибавляли к пересекающим ее строкам никаких строк, которые ее не пересекают.

Таким образом, если мы не знали ранга матрицы и ее базисной подматрицы, то приведя ее к упрощенному виду, мы их определим. С другой стороны, имеет место

Предло?кение 6. Какова бы ни была базисная подматрица мат­ рицы А, элементарными преобразованиями строк можно привести А к такому упрощенному виду, в котором базисные столбцы будут пер­ выми столбцами единичной матрицы.

Действительно, небазисные строки можно обратить в нулевые, вы­ читая из них подходящие линейные комбинации базисных. После это­ го можно превратить базисную подматрицу в единичную так, как это было сделано в предло?кении 8 §2. (Элементарные преобразования производятся, конечно, над полными строками.)

Упражнения

а) Найдите ее ранг и какую-либо базисную подматрицу.

б) Найдите коэффициенты разложения пебазисной строки по базисным строкам и небазисного столбца по базисным столбцам.

в) Прибавьте в матрице вторую строку к первой и убедитесь, что ли­ нейная зависимость между столбцами осталась прежней.

г) Сколько всего базисных подматриц в этой матрице?

2 . Квадратная матрица порядка п имеет нулевую подматрицу поряд­

4.В матрице ранга г отмечены г линейно независимых строк и г ли­ нейно независимых столбцов. Докажите, что на их пересечении стоит невы­ рожденная подматрица. Покажите на примере, что утверждение не верно, если число отмеченных строк меньше г.

5.Докажите, что для любых матриц А и В одинаковых размеров ранг суммы не больше суммы рангов.

§4. Детерминанты

1.Определение детерминанта. Мыбудем говорить, что на мно­ жестве квадратных матриц порядка и задана числовая функция, если каждой матрице из этого множества сопоставлено некоторое число. Примерами могут служить две часто употребляемые функции:

след матрицы — функция, сопоставляющая каждой квадратной матрице сумму ее диагональных элементов ац + ...+ апп\

евклидова норма матрицы — функция, сопоставляющая каждой матрице квадратный корень из суммы квадратов всех ее элементов.

Во многих вопросах необходимо уметь определить, вырождена данная матрица или нет. При этом полезна такая функция от мат­ рицы, которая равна нулю для вырожденных матриц, отлична от ну­ ля для невырожденных и при этом сравнительно просто вычисляется. Для матриц второго и третьего порядка такими функциями являются их детерминанты, уже известные нам.

Определение. Числовая функция / на множестве всех квад­ ратных матриц порядка п называется детерминантом (или опреде­ лителем) порядка п, а ее значение на матрице А — детерминан­ том Л, если она обладает следующими тремя свойствами.

1. Какую бы строку матрицы мы ни взяли, функция является ли­ нейным однородным многочленом от элементов этой строки. Для г-й

2.Значение функции на любой вырожденной матрице равно нулю.

3.Значение функции на единичной матрице равно 1.

Детерминант матрицы А обозначается del Л или, если нужно вы­ писать элементы матрицы, прямыми линиями по бокахМ матрицы.

Рекомендуем читателю проверить, что известные нам детерми­ нанты второго и третьего порядков удовлетворяют приведенному определению. Для матрицы порядка 1, состоящей из одного элемента, детерминантом является этот элемент.

Когда определение состоит из условий, которым должен удовле­ творять определяемый объект, заранее не ясно, выполнимы ли эти условия, т. е. существует ли объект, им удовлетворяющий. Кроме то­ го, если такой объект существует, то не ясно, однозначно ли он опре­ делен этими условиями. Ниже мы докажем существование и единст­ венность детерминанта.

Min докажем также, что для любой невырожденной матрицы де­ терминант отличен от нуля. Однако сначала необходимо изучить усло­ вия, определяющие детерминант.

Условие 1 выражает свойство линейности детерминанта по стро­ ке. Его равносильную формулировку дает следующее

Предложение 1. Функция / па множестве квадратных мат­ риц порядка п обладает свойством линейности по строке тогда и только тогда, когда для каждой строки произвольной матрицы А вы­ полнено следующее: если эта строка есть линейная комбинация ар +

138Га. V. Матрицы и системы линейных уравнений

+/?q, строк р u q, то

где матрицы Ар и Aq получены из А заменой этой строки на р и q. До ка за те ль с тв о . 10. Пусть функция / обладает свойством ли­ нейности по строке (1). Если г-н строка Л есть линейная комбинация ap + /?q. то при любом к элемент а,** этой строки равен арк + 0Як, где pk и qk — соответствующие элементы строк р и q. Следовательно,

f{A) = hi(api + Pq{) + ... + hn(apn + /3qn).

Группируя члены, мы получим

f{A) = a(hipi + ... + hnpn) + /?(fti + ... + M n ).

Таким образом, получено равенство (2).

2°. Докажем обратное. Возьмем г-ю строку матрицы А и разложим ее в линейную комбинацию строк единичной матрицы

G*iei + ... + e,-nen.

Последовательно применяя равенство (2), получаем отсюда

f(A) = anf(Ai) + ... + ciinf( A n),

где матрицы А\, ...,ЛПполучены из Л заменой г-й строки на соответ­ ствующую строку единичной матрицы. Они не зависят от элемен­ тов г-й строки Л, а потому значения / на данных матрицах также не зависят от этих элементов. Предложение доказано.

Сформулированное в предложении 1 свойство также называют свойством линейности по строке и часто формулируют в виде двух отдельных утверждений.

• Множитель, общий для всех элементов строки, может быть вынесен за знак детерминанта.

• Если какая-либо из строк матрицы А есть сумма двух строк, то det А равен сумме детерминантов матриц, получаемых из А заменой этой строки на каждое из слагаемых.

Разумеется, если строка матрицы представлена как линейная ком­ бинация aip i + ... + asp $ любого числа s строк, то

где A i, ... А$— матрицы, получаемые из А заменой рассматриваемой строки соответственно на р ь . ,р

Предложение 2. Если к некоторой строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, то детерминант матрицы не изменится.

До ка за те ль с тв о . Пусть в матрице А мы заменили г-ю стро­ ку аг на строку а,- + Ла.j, г ф j. Тогда по свойству линейности детер­ минант полученной матрицы А' равен

det А* = det А + Л det A j,

где матрица Aj получается из А заменой г-й строки на j -ю. В эту матрицу строка а7*входит дважды: на г-м и на j -м местах. Поэтому матрица вырожденная, и det Aj = 0. Итак, del Л = det А'.

Предложение 3. Если две строки матрицы поменять местами, то ее детерминант умножится на (—1).

Д ок аз а те ль ст в о . Пусть матрица А' получается из А переста­ новкой г-й и j -й строк. Выполним следующую последовательность преобразований матрицы А, не меняющих детерминанта в силу пред­ ложения 2:

Детерминант последней матрицы равен детерминанту А и отличается только знаком от детерминанта матрицы А'.

Свойство, выраженное предложением 3, носит название антисим­ метрии детерминанта по строкам. В дальнейшем нам потребуется Предложение 4. Пусть некоторая функция / на множестве квадратных матриц линейна по строкам, и для матриц, имеющих две одинаковые строки, ее значение равно нулю. Тогда па всех вырож­

денных матрицах ее значение равно нулю.

Д о к аз а те ль ст в о . Пусть А — произвольная вырожденная мат­ рица. Если строк больше одной, и они линейно зависимы, то одна из строк есть линейная комбинация остальных. Допустим для опре­ деленности, что строка ai разложена по а2,....ап с коэффициента­ ми а 2, ...,огпТогда последовательно применяя формулу (2), получаем

/(Л) = о'2/(Л2) + ... + &nf(An),

где матрицы Л2, ...,Л„ получены из Л заменой первой строки на ее 2-ю, ...,п-ю строки. Каждая из них имеет две одинаковых строки, и потому f(Ai) = 0, г = 2, ...,и. Отсюда /(Л) = 0, как и требовалось.

2. Единственность детерминанта. Начнем с того, что с помо­ щью известных нам свойств детерминанта вычислим детерминанты элементарных матриц.

Если матрица S\ получена из единичной умножением какой-либо строки на число Л ф 0. то detS'i = Л det Е = Л, согласно свойству линейности детерминанта по строке. Если матрица S-? получена из

140 Га . V. Матрицы и системы линейных уравнений

единичной матрицы прибавлением одной строки к другой, то из пред­ ложения 2 видно, что det S2 = det Е = 1. Таким образом, имеет место Предложение 5. Если существуют две функции d\ и d2, удовле­ творяющие определению детерминанта, то для любой элементарной

матрицы di(S) = d2(S).

Кроме того, легко проверить, что для любой матрицы А и любой

Действительно, достаточно вспомнить, что SA получается из Л тем же элементарным преобразованием, что и S из Е. Отсюда для матриц первого типа det (Si Л) = A det Л. Поскольку det Si = А, равенство (4) справедливо. Точно так же, для матриц второго типа det(S2Л) = det Л и det S2 = 1.

Теперь может быть доказана Теоре ма 1 .На множестве квадратных матриц порядка п не мо­

жет быть более одной функции, удовлетворяющей определению де­ терминанта.

До ка за те ль ст в о . Пусть существуют две такие функции d\ и d2. Докажем, что d\(A) = d%{A) для любой квадратной матрицы Л.

она может быть разложена в произведение элементарных матриц. Последовательно применяя формулу (4), мы получаем

di(A) = d\(S\... SN ) = cfi(Si)diC&...Sjv) = ... = ^(SO -.d^Sw ).

Аналогично, d2(A) = d2(S\)... cfeCS/v). Теперь из предложения 5 следу­ ет di(A) = d2(A), как и требовалось.

Вместе с доказательством теоремы, мы получили важную форму­ лу: если невырожденная матрица Л разложена в произведение эле­ ментарных матриц, то

Отметим, что детерминант элементарной матрицы либо равен чис­ лу А ф 0, либо равен единице, т. е. в любом случае отличен от нуля. Из равенства (5) тогда следует

Предложение 6. Если матрица невырожденная, то ее детер­ минант отличен от нуля.

Следствие. Для того чтобы матрица была вырожденной, необ­ ходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был равен нулю.

3. Существование детерминанта. Разложение по столбцу. Минором матрицы называется детерминант какой-либо ее квадратной подматрицы. В частности, вводится

Определение. Пусть ау элемент матрицы Л порядка п, рас­ положенный в г-й строке и j-м столбце. Назовем дополнительной под­ матрицей этого элемента матрицу Д -j порядка п —1, получаемую из