книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.

Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка име­ ет по крайней мере одну хорду. Это­ му условию удовлетворяют эллипсы, ги­ перболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.

Фиксируем какое-нибудь неасимнтотическое направление и исследуем мно­ жество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка Мо(хо,уо) секущей (2) находится в сере­

дине хорды, то корни уравнения (4) равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 40). Это будет так в том и только том случае, когда Q = 0. Используя (7), мы получаем, что середины хорд направленияж) (а,/?) лежат на прямой

Определение. Прямая (10) называется диаметром линии вто­ рого порядка, сопряженным направлению (а,/?).

Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.

Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение (10) оп­ ределяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при перемен­ ных оба равными нулю? Допустим, что это так, т. е.

Аа + ВР = 0, Ва + С р —0.

Умножим первое из этих равенств на а, второе — на Р и сложим. Мы получим равенство (9), которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение (10) определяет прямую.

4. Центр линии второго порядка. Обозначим левую часть уравнения (1) через Ф(ж,г/) и введем

Определение. Точка 0 (XQ, уо) называется центром линии вто­

По видимости, это определение зависит от выбора системы коор­ динат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (#о>Уо) точ_ ки О в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению (11).

*)Мы обозначаем направление компонентами ненулевого вектора, имеюще­ го это направление. Ясно, что а и (5 интересуют нас с точностью до общего множителя.

6 Д.В. Беклемишев

82 Га. III. Линии и поверхности второго порядка

Будут ли ее координаты (#о, уо) в другой системе координат удовле­

творять равенству того же вида для многочлена Ф(х, у), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, по­

тому что многочлен Ф так и выбирается, чтобы для координат любой

точки выполнялось равенство Ф(х.у) = Ф(х,у). Нам остается толь­ ко выписать это равенство для точек, получаемых из О сдвигом на векторы а и —а.

Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами сим­ метрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, яв­ ляющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные цент­ ры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой у = 0 является центром линии с уравнени­ ем у2 + 1 = 0.

Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство (11). Его левая часть равна

А(х0 + а)2 + 2В(х0 + с*)(у0 + &) +

+ С(у0 + /?)2 + 2D(XQ + а) 4* 22?(уо + /?) + Е.

Правая часть отличается от левой только знаками у а и /?. Поэтому при вычитании Ф(#0 —а, у0 —/?) из Ф(х0 + o r у0, + /?) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые а и ,8 входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем

Но равенство (11), а вместе с ним и равносильное равенство (12) имеет место при любых а и /?, в частности, при'а = 1, /? = 0 и при а = 0, /?= 1. Отсюда следует, что координаты (яо>Уо) центра должны удовлетворять системе уравнений

Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства (13), то, ум­ ножая их на произвольные числа а и /? и складывая, мы получим (12), а тем самым и (И).

Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположе­ ны. Система уравнений (13) согласно предложению 9 §2 гл. II имеет

Таким образом, условие 6 ф 0 необходимо и достаточно для того, что­ бы линия второго порядка имела единственный центр.

Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называ­ ются центральными.

точки линии лежат на одной прямой. Согласно теореме 1 § 1 линии только двух классов обладают этим свойством: пары совпавших пря­ мых и пары мнимых пересекающихся прямых. Но и для того, и для другого класса все центры симметрии принадлежат линии, что про­ тиворечит сделанному предположению. Предложение доказано.

5. Сопряженные направления. Направление (а',/?'), определя­ емое диаметром, сопряженным направлению (а,/?), называется со­ пряженным направлению (а,/?). Компоненты (а',/?7), направляющего вектора диаметра (10) согласно предложению 6 §2 гл. И удовлетво­ ряют условию

В последнее выражение пары чисел (а,/?) и (а7,/?7) входят симмет­ ричным образом. Поэтому имеет место

Предложение 4. Если направление (а7,/?7), сопряженное с (а,/?),

Рис. 41

не является асимптотическим, то сопряженным для (а7,/?7) будет направление (а,/?) (рис. 41).

Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряжен­ ное какому-нибудь направлению (а, /3) может оказаться асимптоти­ ческим. Это легко выяснить. Из равенства (15) следует, что в ка­ честве а 7 и /?7 можно выбрать соответственно —(Ba + Cf3) и (Аа +

нение (4), определяющее точки пересечения L и прямой, имеет два совпадающих корня.

Так как начальная точка принадлежит L, в уравнении (4) Я = О, и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй ко­ рень равен нулю, для чего необходимо, чтобы Q = 0. Если при этом окажется, что и Р = 0, то прямая принадлежит линии второго поряд­ ка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень t = 0 в том и только том случае, когда Q = 0. Мы рассмат­ риваем равенство Q = 0 как условие, определяющее направляющий вектор касательной:

Так как М0 не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие (19) определяет а и ft с точностью до общего множителя. Точка М (х,у) лежит на касательной тогда и

только тогда, когда вектор MQM коллинеарен а(ог,/?), т. е. его коор­ динаты х —XQ н у —уо удовлетворяют тому же условию, что и (а,/?):

Это и есть уравнение касательной к линии L в точке Мо, лежащей на линии. Уравнение (20) можно записать и иначе, если заметить, что координаты Мо удовлетворяют уравнению (1) и, следовательно,

(Ах0 4- Вуо + D)x о 4- (Вх о + Суо + Е)у0 + Е>х0 + Еу0 4- F = 0.

Прибавляя это равенство к (20) и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение

Аххо -I- В(ху0 4- а?оу) + Сууо 4- D(x + хо) 4- Е(у 4- уо) + F = 0. (21)

8. Особые точки. Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для коорди­ нат (хо,уо) особой точки должны быть справедливы равенства

Ах о + Вуо + D = 0, Вх о + Суо 4- Е = 0,

AXQ + 2Вхоуое 4- Суо + 2DXQ + 2Еуо + F = 0.

Умножим первое из них на хо, второе на уо и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений

Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомога­ тельные векторы p(A,B,D ), q(B,C ,E ) и г (D, E, F) . Равенства (22) представляют собой координатную запись векторного равенства

Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы р, q и г компланарны, и потому

АВ D

Если линия центральная, то векторы р и q не коллинеарны, и условие компланарности (24) равносильно существованию разложе­ ния (23), т. е. существованию решения системы (22). Мы получили Предложение 7. Центральная линия имеет особую точку тог­

да и только тогда, когда Д = 0.

Итак, сочетание S < 0, Д = 0 характеризует пары пересекающих­ ся прямых, a J > 0, Д = 0 — пары мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хо­ тя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда Д = 0. В этом (и только этом) случае векторы р и q коллинеарны. Действительно, так как 6 = 0, по предложению 9 §2 гл. II, если система уравнений (13) имеет решение, она равносильна одному из составляю­ щих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда Д = 0 независимо от г. В любом случае существует прямая, каждая точка которой — центр.

Обратно, пусть для нецентральной линии Д = 0. Докажем, что р и q коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае г по ним раскладывается, и со­ гласно (23) существует особая точка. Она — центр, р и q коллинеар­ ны, и мы получаем противоречие.

Предложение 8. Для нецентральных линий условие Д = 0 рав­ носильно существованию прямой, каждая точка которой — центр.

Итак, сочетание S = Д = 0 характеризует пары параллельных пря­ мых (вещественных, мнимых или совпавших).

Из предложений 7 и 8 следует, что равенство Д = 0 является инва­ риантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.

Упражнения

1.Линия второго порядка описана около параллелограмма, если его вер­ шины лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Докажите, что такая линия обязательно центральная, и центр ее совпадает с центром па­ раллелограмма.

2.На плоскости нарисованы эллипс, гипербола и парабола. Как с по­ мощью циркуля и линейки построить их оси симметрии и асимптоты гиперболы?

3.Докажите, что сумма квадратов длин хорд, лежащих на сопряженных диаметрах эллипса, постоянна.

4.Не приводя уравнение к каноническому виду, найдите центр и асимп­ тоты гиперболы Заг + Юху + 3у2 —2х + 2у —9 = 0.

5. Не приводя уравнение к каноническому виду, укажите класс линии Зх2 + Юху + 3у2 —2х + 2у —1 = 0.

6.Как разложить на множители левую часть уравнения из упр. о?

7.Напишите уравнение касательной к линии х2 —2ху + 3у2 = 3 в точ­ ке Мо(0,1).

§ 4. Поверхности второго порядка

Подобно тому как в §2 были описаны все наиболее интересные ли­ нии второго порядка, в настоящем параграфе мы опишем важнейшие поверхности второго порядка, а полную классификацию таких по­ верхностей отложим до гл. VIII. Составить себе общее представление о большинстве поверхностей второго поряд­ ка можно, рассматривая поверхности вра­ щения линий второго порядка вокруг их

осей симметрии.

жит в плоскости Р , проходящей через ось вращения d (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет ок­ ружность, а вся линия — поверхность вращения.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы коорди­ нат 0 ,ег,в2,ез на оси d, вектор ез направим вдоль d, а вектор ei поместим в плоскости Р. Таким образом, 0 ,e i,e s — декартова сис­ тема координат в плоскости Р. Пусть линия L имеет в этой системе координат уравнение /(я, z) = 0.

Рассмотрим точку М (х, у, z). Через нее проходит окружность, ко­ торая имеет центр на оси d и лежит в плоскости, перпендикуляр­ ной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от М до оси, т. е. у/х2 + у2. Точка М лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка М \ , при­ надлежащая вращаемой линии L.

Точка M i(x\yyi>z\) лежит в плоскости Р, и потому у\ = 0. Кроме

того, zi = z и |a?i| = у/х2 + у2, так как М\ лежит на той же окруж­ ности, что и М. Координаты точки М\ удовлетворяют уравнению линии L : = 0. Подставляя в это уравнение х\ и z\, мы по­ лучаем условие на координаты точки М, необходимое и достаточное

должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед кор­ нем. Эго условие, которое можно записать также в виде

иявляется уравнением поверхности вращения линии L вокруг оси d.

2.Эллипсоид. Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив век-

Рис. 44. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллипсоиды вращения

тор е3 сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:

(Здесь через с обозначена малая полуось эллипса.) В силу форму­ лы (1) уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут

Поверхности с такими уравнениями называются соответственно

сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения (рис. 44).

Каждую точку М (ж, у, z) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости у = 0 так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении А < < 1. После сдвига точка попадет в положе­

где b= Аа. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе ко­ ординат имеет уравнение (4), называется эллипсоидом (рис. 45). Если

90 Гл. III. Линии и поверхности второго порядка

случайно окажется, что Ь= с, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый.

Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он полу­ чен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения (4) видно, что начало канонической системы координат — центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости — его плос­ кости симметрии.

Эллипсоид можно получить из сферы х 2 + у2 + z2 = а2 сжатиями к плоскостям 2/ = 0и2: = 0в отношениях А = b/а и р = с/а.

В этом параграфе нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно.

3. Конус второго порядка. Рассмотрим на плоскости Р пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе ко­ ординат О, ei, ез уравнением а2х2 —c2z2 = 0. Поверх­ ность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение

и носит название прямого кругового конуса (рис. 46). Сжатие к плоскости г/= 0 переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением

называемую конусом второго порядка.

Обратите внимание на то, что левая часть урав­ нения (6) — однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного в § 1 гл. И.

4. Однополостный гиперболоид. Однополостный гиперболоид вращения —- это поверхность вращения ги­ перболы

вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле (1) мы получаем уравнение этой по­ верхности (рис. 47)

В результате сжатия однополостного ги­ перболоида вращения к плоскости у = 0 мы

получаем однополостный гиперболоид с уравнением

Интересное свойство однополостного гиперболоида — наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, все­