книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

ственных векторов, вычисляя скалярное произведение по формуле (9) § 1. В этом базисе матрица формы h будет но-прежнему единичной, а матрица А'" формы к будет диагональной.

Тот же результат можно получить и иначе. Пусть К и Я — мат­ рицы квадратичных форм в исходном базисе с. Матрица II является матрицей Грама базиса е для вспомогательного скалярного произве­ дения. Поэтому преобразование, присоединенное к форме к в базисе о, имеет матрицу А = Я -1 Л". Напишем его характеристический много­ член det(Hm’1k —\Е ) в виде dct[tf-1(АГ—АЯ)]. Так как det Я""1 ф О, характеристическое уравнение имеет те же корни, что и уравнение

det(A' - АЯ) = О

называемое обобщенным характеристическим уравнением. Для каж­ дого из его корней система уравнений собственного подпространст­ ва (Я""1А' —АЕ)£ = о эквивалентна системе

(К —АЯ)£ = о.

Для каждого корня фундаментальную систему решений такой сис­ темы уравнений надо ортогонализовать и нормировать, находя ска­ лярное произведение по формуле (7) §1 с матрицей Грама Я. Объеди­ няя все так полученные ортонормированные базисы собственных под­ пространств, мы получаем базисе'. Он ортонормированотносительно вспомогательного скалярного произведения, и потому форма h в нем имеет канонический вид. Так как он состоит из собственных век­ торов преобразования, присоединенного к к, эта форма будет иметь диагональный вид в базисе е'.

Упражнения

1 . В пространстве многочленов степени ^ 3 скалярное произведение зададим так же, как в упр. 1 § 1 . Линейная функция f сопоставляет мно­ гочлену p(t) его свободный член р(0 ). Найдите вектор (многочлен), присо­ единенный к этой линейной функции.

2 . Линейное преобразование А присоединено к билинейной функции Ь.

К какой билинейной функции присоединено его сопряженное преобразова­ ние Л*?

3. В базисе е билинейная функция имеет матрицу В. Найдите матри­

цу ее присоединенного преобразования, если Г — матрица Грама базиса е;

4, Докажите, что значение квадратичной формы k(:r) на векторе х дли­ ны 1 заключено между наименьшим и наибольшим собственными значе­ ниями се присоединенного преобразования, и эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах.

5. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе многочле­ ном 3( £ ])2 Н-3(f2)2 -f 3(f3)2 —2£*f2 —2£*£3 —2£2£3. Найдите матрицу пере­ хода к ортонорм ированному базису, в котором она имеет диагональный вид, и се вид в этом базисе.

Действительно, по этой формуле имеем также

При помощи равенств (1) теперь можно получить (£, TJ) = (17, £). Аксиомы 2) и 3) следуют из свойств умножения матриц. Далее,

(с, & = е ё + . . . + е ё = к12+ . . . + п 2,

а следовательно, скалярный квадрат неотрицателен и равен нулю только для нулевого столбца.

Пример 2. Одномерное унитарное пространство можно постро­ ить следующим образом. Рассмотрим в качестве множества векто­ ров векторы обычной плоскости. Сложение векторов определим, как обычно, но правилу параллелограмма.

Для того чтобы определить произведение вектора на комплексное число, выберем некоторый (пусть, для определенности, ортонормированный) базис ei,e2- Произведением вектора х с координатами f 1,^2

ветствует комплексное число f 1+ г£2. Произведением Ах называется вектор, соответствующий произведению чисел А(£г -1- г£2). Заметим, что при сложении векторов складываются соответствующие комп­ лексные числа.

Проверим аксиомы линейного пространства. Аксиомы, относя­ щиеся к сложению векторов, разумеется, выполнены, так как тут обычные векторы складываются обычным образом. Аксиомы, отно­ сящиеся к умножению вектора на число, вытекают из свойств сло­ жения и умножения комплексных чисел. Таким образом, мы имеем комплексное линейное пространство. Размерность его равна 1, так как каждый вектор х равен (£*■ + if 2)ei, где + if2 — комплексное число, определяемое вектором х. Базисом является вектор e j.

Скалярным произведением векторов х = Aei и у = /ioi назовем число АД. Не представляет труда проверить, что такое скалярное ум­ ножение удовлетворяет аксиомам унитарного пространства.

Унитарная длина вектора (1 + i)oi равна >/2. Скалярное произве­ дение (01, 02) = (ei,ioi) = —г, даже если по отношению к обычному скалярному произведению эти векторы и перпендикулярны.

2. Свойства унитарных пространств. Все доказанные выше свойства евклидовых пространств с небольшими изменениями пере­ носятся на унитарные пространства.

Скалярное произведение выражается через координаты сомножи­

телей в базисе е по формуле

(*>у ) =£Tr*i,

где Г — матрица Грама базиса о, или, иначе, матрица основной эрми­ товой формы. Ее элементы — скалярные произведения всевозможных

246 Гл. VJI. Евклидовы и унитарные пространства

нар базисных векторов. Поскольку (e,,ej) = (с^,е»), матрица Грама в унитарном пространстве удовлетворяет условию

Напомним, что при условии (3) матрица называется эрмитовой.

В конечномерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис, векторы которого попарно ортогональны, а по дли­ не равны 1. Такой базис можно получить из произвольного базиса методом ортогонализации. В ортоиормированном базисе скалярное произведение выражается формулой

(ж, у) = £ V + ... + £п»р.

Ортогональное дополнение подпространства и ортогональные про­ екции вектора в унитарном пространстве определяются так же, как в евклидовом, и имеют те же свойства. Разумеется, нужно не забывать следить за порядком сомножителей в скалярном произведении.

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса в унитар­ ном пространстве к другому такому же базису должна удовлетворять

Оп ределение. Матрица,удовлетворяющая равенству (4), назы­ вается унитарной.

Применяя равенства (1) к формуле полного разложения детерми­ нанта, мы получаем, что det-S = detS. Теперь из (4) следует

det(S7 S) = del ST det S = det Sdet S = | det S|2 = 1.

Таким образом, детерминант унитарной матрицы — комплексное число, по модулю равное 1.

В теореме 5 §4 гл. V мы видели, что для каждого линейного пре­ образования комплексного линейного пространства существует ба зис, в котором его матрица — верхняя треугольная. Легко видеть, что ортогонализации такого базиса не выводит его векторы из подпрост­ ранств (11) §4 гл. V. Поэтому справедлива

Теорема 2. Для каждого линейного преобразования унитарного пространства существует ортонормированный базис, в котором его матрица — верхняя треугольная.

3. Самосопряженные и унитарные преобразования. Пре­ образование унитарного пространства называется салюсопряженпым, если для любых векторов х и у выполнено равенство

И(*).у) = (*И Ы )- Из этого определения вытекает, что преобразование является са­

мосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортоиормированном базисе эрмитова.

Собственные значения (а значит, и все характеристические чис­ ла) самосопряженного преобразования вещественны. Действительно, если Л(ж) = Аж, то (А(ж),ж) = А(ж,ж) и (ж,Д(ж)) = А(ж,ж). Следова­ тельно, А = А.

На самосопряженные преобразования унитарных пространств без изменений переносятся теоремы 2-4 § 2.

Заметим, однако, что обращение теоремы 4 §2 — предложение 6 §2 — на унитарные преобразования не переносится: эрмитова матри­ ца должна иметь вещественные числа на главной диагонали, а потому не всякая диагональная матрица эрмитова.

Преобразование унитарного пространства такое, что

(А(х),А(у)) = (х, у)

для любых векторов х и г/, называется унитарным преобразованием. Преобразование унитарно тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе унитарная.

Собственные значения унитарного преобразования но модулю рав­ ны единице.

Каждое унитарное преобразование имеет ортонормированный ба­ зис из собственных векторов. Этим унитарные преобразования отли­ чаются от ортогональных преобразований евклидова пространства.

4. Эрмитовы формы в унитарном пространстве. Рассмот­ рим в унитарном пространстве нолуторалинейную форму Ь. Преобра­ зование А этого пространства называется присоединенным к форме 6, если Ь(х,у) = (ж,Д(у)) для любых векторов ж и у. В ортоиормированном базисе матрица присоединенного преобразования совпадает с матрицей, комплексно сопряженной матрице полуторалинейной фор­ мы Ь. Отсюда следует, что преобразование, присоединенное к эр­ митовой форме, является самосопряженным. Теперь аналогично теореме 1 § 3 мы можем заключить, что для эрмитовой формы в унитарном пространстве найдется ортонормированный базис, в ко­ тором она имеет диагональный вид с вещественными числами на диагонали.

Для двух эрмитовых форм, из которых одна положительно опре­ деленная, найдется базис, в котором они обе имеют диагональный вид.

Упражнения

1 . В двумерном унитарном пространстве дан ортонормированный базис и векторы а и 6, координаты которых в этом базисе соответственно 1 + г,

1 —* и — 2 —2 г.

а) Найдите их длины и косинусы углов между а и 6 и между Ь и а.

б) ОртогонализуЙте эту пару векторов.

2 . Напишите какую-нибудь эрмитову матрицу порядка 3 и какуюнибудь унитарную матрицу порядка 2 .

248fi. VII. Евнгидовы и унитарные пространства

3.Докажите, что корни характеристического уравнения вещееiвенной ортогональной матрицы (в том числе и комплексные) по модулю равны 1

4.Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и мат­ рицу преобразования в эюм базисе для преобразования А , заданного в ор­ тонормированием базисе матрицей

ГЛАВА VIII

АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Плоскости

1- Аффинное пространство. В гл. I мы считали известным из школьного курса понятие обычного геометрического пространства и ввели определение вектора как упорядоченной нары точек. В гл. VI и гл. VII были изучены многомерные векторные пространства. Теперь мы можем дать аксиоматическое определение точечного пространст­ ва любой размерности.

Рассмотрим n-мерное вещественное линейное пространство J5? и дадим следующее

Определение. Множество S? называется п-мерным аффинным пространством, а его элементы точками, если задан закон, сопостав­ ляющий каждой упорядоченной паре его элементов Aw В единствен­ ный вектор из JS? (который мы обозначим АВ) так, что:

1) для любой точки А из У и любого вектора х е -S? существует

единственная точка В такая, что АВ = х ; эта точка будет обозна­ чаться Р(А, я);

2) для любых трех точек А, В и С выполнено АВ 4 ВС = Ж?.

.£? называется пространством векторов пространства S', а его элементы — векторами из S'.

Чтобы установить соответствие с привычными определениями, заметим, что первое требование соответствует возможности отло­ жить произвольный вектор от любой точки, а второе — определению сложения векторов.

Приведем простейшие следствия из определения аффинного пространства.

а) Для любых двух точек Aw В ЛА 4- ЛВ = А В . Поэтому вектор, соответствующий паре совпавших точек, является нулевым векто­ ром. Отсюда для любой точки А имеем Р(А,о) = Р(А,АА) = А.

б) Второе требование для точек А, В , А дает АВ + ВА = АЛ,

откуда АВ = ~ВЛ.

в) Для любых четырех точек Л, В, Л', В9 справедливо равенст­ во А!А + АВ = А'В* 4 Р7/?. Поэтому равенство АВ = А1В1 выполне­ но тогда и только тогда, когда выполнено равенство А9А = В9В. Это свойство соответствует определению равенства векторов из § 1 гл. I.

250 Гл. VIII. Аффинные пространства

Пример. Исходя из линейного пространства JS? можно постро­ ить аффинное пространство. Для этого возьмем в качестве множества точек S? множество векторов пространства JS? и сопоставим каждой паре векторов хм у вектор ху = у — х. Легко проверить, что оба усло­ вия из определения выполнены. Интуитивно это означает следующее: представим себе векторы из как направленные отрезки, исходящие из одной точки. Тогда точками 5? мы будем считать концы наших векторов.

Определение. Аффинные пространства У и S?' называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображе­ ние f : У —у У 1 и такой изоморфизм F: JS? -* что для любых двух точек выполнено f(A)f(B) = F(AB).

Могут быть изоморфны только аффинные пространства одной раз­ мерности. Для двух пространств разных размерностей не найдется изоморфизма F.

Если для изоморфизма f известен образ f(A) какой-то одной точ­ ки А и задан изоморфизм F, то отображение f однозначно определено. Действительно, образ любой точки В может быть найден по форму­ ле ^(B) = P(f(A),F(A£)).

С другой стороны, как бы мы ни задали образ А* точки А и изо­ морфизм векторных пространств F, этим путем мы получим изоморфизм/: S? —у У 9. Действительно, если В и С — произвольные точки,

ToA*f(B) = F(AB) \\A*I{C) = F(AC). Поэтому

Щ ц д ) = аЧ(С) -АЧ(В) = F(A6) - F(AB) = F(B 6).

Отсюда вытекает Предложение 1. Любые два аффинных пространства одной раз­

мерности изоморфны. Изоморфизм однозначно определяется заданием образа одной точки и изоморфизма соответствующих пространств векторов.

Исследуем аффинные преобразования — изоморфизмы пространст­ ва У на то же пространство. Для этого предположим сначала, что изоморфизм F — тождественное преобразование. Зададимся обра­ зом А* некоторой точки А и рассмотрим преобразование f, определя­ емое равенством f(В) = Р(А*,АВ) для любой точки В . Если обозна­ чить f(£) = В*, то предыдущее равенство означает, что А*В* = АВ, а это эквивалентно равенству ВВ* = А А . Итак, образ каждой точ­ ки получается из нее сдвигом на один и тот же вектор АА*. Такое преобразование естественно назвать параллельным переносом.

Если мы предположим, 4Tof(A) = А для некоторой точки A, a F — невырожденное линейное преобразование, то преобразование аффин­ ного пространства будет задано формулой f(В) = Р(А, F(AB)). Та­ ким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие меж­ ду невырожденными линейными преобразованиями Sf и аффинными