книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

А вычеркиванием г-й строки и j -го столбца. Дополнительным мино­ ром элемента a\j назовем число dij= det Dij.

Разумеется, говорить о дополнительном миноре имеет смысл толь­ ко в том случае, если детерминант порядка п —1 существует.

Теоре ма 2. На множестве квадратных матриц произвольного порядка определен детерминант.

Докажем это методом полной индукции по порядку матрицы. На­ чало индукции трудностей не вызывает, так как мы знаем, что из­ вестные нам детерминанты второго и третьего порядка обладают нужными свойствами.

Предположим теперь, что на множестве матриц порядка 7г —1 де­ терминант существует, и построим на множестве матриц порядка п функцию следующим образом. Фиксируем произвольно номер столб­ ца j и произвольной матрице А порядка п сопоставим число

нительные миноры существуют в силу предположения индукции. До­ кажем, что функция (6) удовлетворяет трем условиям, входящим в определение детерминанта.

1. Выберем произвольную строку (пусть ее номер i) и покажем, что выражение в правой части формулы (6) есть линейный многочлен относительно элементов этой строки. В самом деле, при к = i слага­ емое aij(—iy+idij содержит элемент a,j из г-й строки. Коэффициент при нем не зависит от элементов г-й строки, так как эта строка в подматрицу Dij не входит. В остальных слагаемых (при i ф к) мно­ житель akj не принадлежит г-й строке, а dkj — линейный многочлен от элементов г-й строки. Теперь свойство линейности по строке для функции fj следует из того, что сумма линейных многочленов — ли­ нейный многочлен.

2. Докажем, что для вырожденных матриц fj равна нулю. В си­ лу предложения 4 и уже доказанной линейности по строке для это­ го достаточно проверить, что fj(A) = 0 для произвольной матрицы, имеющей две одинаковые строки. Пусть в матрице А строки с номе­ рами г и / одинаковы (/ > г). Тогда в сумме (б) могут быть не рав­ ны нулю только два слагаемых, так как при к ф i и к ф I дополни­ тельная подматрица Dkj содержит одинаковые строки, и потому

Дополнительные подматрицы Dij и Dij состоят из одинаковых эле­ ментов, но отличаются порядком строк: в каждой из них оста­

142 Гл. V. Матрицы и системы линейных уравнений

лась одна из двух одинаковых строк, но в Dij она стоит на г-м мес­ те, а в — на (/ —1)-м. Переставим в матрице Dij строку с номе­ ром / —1 на г-е место, не нарушая взаимное расположение остальных строк. Для этого меняем ее последовательно местами с (I —2)-й, (/ — —3)-й, ..., г-й строками. Потребуется (/ —2) —(* —1) = / —i —1 пе­

В этом случае в сумме (6) только одно ненулевое слагаемое

fj(E) = (-1 У+Jdjj.

Но Djj — единичная матрица порядка п —1, и ее детерминант ра­ вен 1. Отсюда fj{E) = 1, как и требовалось. Теорема доказана.

В силу теоремы 1 функции fj при всех j совпадают, и мы можем

Правая часть этой формулы — линейный многочлен от элемен­ тов j-го столбца, следовательно, имеет место

Предложение 7. Детерминант обладает свойством линейнос­ ти по столбцам.

4. Свойства детерминантов. Используя формулу (8) разложе­ ния детерминанта по столбцу, мы можем найти коэффициенты в фор­ муле (1).

Предложение 8. Иаков бы ни был номер строки г, детерминант матрицы А порядка п вычисляется по формуле

кроме интересующего нас, и обозначим их сумму через q. Тогда det А = hjaij -f q.

Аналогично мы можем преобразовать разложение по j -му столбцу: det А = + г.

По определению hj не зависит от элементов г-й строки, а q содержит все ее элементы кроме aij. Точно так же, при всех к в дополнитель­ ную подматрицу Dkj не входит j -й столбец, и, следовательно, d^j не зависит от aij. В частности, dij не зависит от а Отсюда же видно, что и г не зависит от этого элемента.

Заметив это, обозначим через А0 матрицу, которая получена из матрицы А заменой элемента а^ на 0, и увидим, что det.Ao = q

и det AQ = г. Учтем это при вычислении детерминанта матрицы Л\, отличающейся от А заменой элемента a,j на 1:

del А\ = hj -f г = (—l),+*7djj + г.

Отсюда получается нужное значение для hj.

Предложение 9. Для любой квадратной матрицы det А = det АТ .

Для доказательства определим функцию от матрицы А равенст­ вом f(A) = del Л7’. Но предложению 7 эта функция линейна но столб­ цам Лт , т. е. по строкам А. Если матрица А вырождена, то вырож­ дена и Ат (согласно следствию из предложения 10 § 2), и потому f(A) = det Ат= 0. Наконец, Ет= Е, а значит, f(E) = det Ет= det Е = = 1.

Таким образом, / удовлетворяет всем условиям в определении детерминанта, что и заканчивает доказательство.

Из предложения 9 следует равноправность строк и столбцов. Имен­ но, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно. Поэтому известные нам свойства детерминантов можно переформулировать для столбцов.

Предложение 10. Столбцы матрицы линейно зависимы, тогда и только тогда, когда матрица вырождена и детерминант ее равен нулю.

Если переставить два столбца матрицы, то ее детерминант ум­ ножится на (—1).

Если в матрице к одному из столбцов прибавить другой, умножен­ ный на число, то детерминант ее не изменится.

Д оказ ате ль ст во . Пусть матрица Л невырождена. Разложим ее в произведение элементарных матриц. Тогда АВ = SI ...SN B. По­ следовательно применяя формулу (4). получим

det АВ = det S i... det Sw det В.

Теперь из формулы (5) следует нужное утверждение.

Если же матрица Л порядка п вырождена, то RgA < п. Из пред­ ложения 4 § 3 тогда следует Н^ЛЯ < п. Значит, произведение АВ также вырождено и det АВ равен нулю так же, как и det Л det В.

5. Формула полного разложения. Здесь мы получим формулу полного разложения детерминанта порядка п, представляющую его как многочлен от элементов матрицы.

Введем предварительно некоторые определения. Мы будем назы­ вать перестановкой чисел 1,.... п эти числа, написанные в каком-либо

14 4 Гл. V, Матрицы и системы линейных уравнений

определенном порядке. Например, из чисел 1 и 2 образуются две пе­ рестановки: 1, 2 и 2, 1. Перестановку чисел 1,.... п обозначим гь ..., in.

Число ik виновно в нарушении порядка в перестановке *i, ...,г'п, ес­ ли оно стоит левее меньшего числа: k < s, но г* > i$. Например, при п = 4 в перестановке 2, 4, 3, 1 числа 2 и 3 виновны каждое в одном нарушении порядка, а число 4 — в двух. Итак, общее число наруше­ ний порядка в перестановке равно четырем. Число всех нарушений порядка в перестановке ilf ...,гп мы обозначим N(ii, ...,гп).

Перестановка называется четной, если N (ii, ...,гп) — четное чис­ ло, и нечетной в противном случае.

Докажем формулу полного разложения:

Сумма в правой части равенства берется но перестановкам. Это озна­ чает, что каждой перестановке чисел 1,..., п соответствует слагаемое. Слагаемое для перестановки i j , . составляют так: берут из 1-й строки г*1-й элемент, из 2-й строки — г2-й элемент и т. д. и перемно­ жают их. В результате в произведение входит по одному и только но одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми четностями соответству­ ющих перестановок.

Формулу (10) мы докажем по индукции. Пусть при п = 2 дана матрица

Двум перестановкам 1, 2 и 2, 1 отвечают, соответственно, сла­ гаемые (“ 1)ЛГ(1»2^аца22 и (—l ) ^ 2,1)ai2a2i. Их сумма равна а ца22- —ai2a2i, т. е. как раз детерминанту данной матрицы.

Допустим, что формула верна для матриц порядка п —1, и дока­ жем ее для произвольной матрицы А порядка п. Напишем разложе­ ние det. Л по первой строке:

В Ar-е слагаемое этого разложения входит множитель di*, равный де­ терминанту подматрицы D\k. Порядок этой матрицы п —1, и по пред­ положению индукции

множителей равны 2,..., гг, так как, сохраняя старые обозначения для элементов матрицы Л, мы должны учесть, что в Г)\к не входят первая строка и Аг-й столбец.

148Гл. V. Матрицы и системы линейных уравнений

2.Основной случай. В этом параграфе мы рассмотрим основ­ ной случай, когда число уравнений равно числу неизвестных: т = п. Кроме того, мы наложим определенные ограничения на коэффициен­ ты системы. Если этого не сделать, то нам придется изучать здесь, например, и систему из одного уравнения, повторенного п раз. Мы хотим, чтобы ни одно уравнение не было следствием остальных. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы ни одно из них не было линейной комбинацией остальных (в действительности, этого и до­ статочно, но мы мо/кем не вникать сейчас в этот вопрос). В случае

m = п для линейной независимости уравнений необходимо потребо­ вать, чтобы матрица системы была невырожденной, или, что то же, чтобы ее детерминант был отличен от нуля. Действительно, если одно из уравнений — линейная комбинация остальных с коэффициентами

a-!, то соответствующая строка расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных строк с теми же коэффициентами. То же относится и к матрице системы.

Тео ре ма 1. Пусть дана система из п уравнений с п неизвест­

а^х1 4- а?#2 + ... 4* а%хп = 6П.

Если детерминант матрицы системы отличен от нуля} то сис­ тема имеет решение, и притом только одно.

В самом деле, зная предложение 1, мы можем сформулировать эту теорему иначе. Пусть А — квадратная матрица порядка п и det А ф 0. Тогда любой столбец b высоты п раскладывается по столбцам А , и коэффициенты разложения определены однозначно. Так как отличие детерминанта от нуля равносильно невыро?кденности матрицы, это утверждение совпадает с теоремой 1 § 2.

3. Правило Крамера. Правилом Крамера называются формулы для нахождения решения системы из п уравнений с п неизвестными и детерминантом, отличным от нуля.

Для того, чтобы найти значения неизвестных, составляющие ре­ шение, выберем произвольный номер неизвестной г и рассмотрим де­ терминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой ее г-го столбца столбцом свободных членов b :

Д* = d et||ai ...a,-_iba,+i ...а„||.

Система задается своей расширенной матрицей А ж, получаемой объединением матрицы системы А и столбца свободных членов Ь.

Простое и эффективное условие, необходимое и достаточное для совместности системы (1), дает следующая теорема, называемая те­ оремой Кропекера-Капелли.

Теорема 1. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширен­ ной матрицы.

Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: припи­ сывание к матрице А размеров га х п столбца b высоты т не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец — линейная ком­ бинация столбцов А.

Докажем это. Если llg Л* = Rg-Д, то базисный минор А являет­ ся базисным и для Аж. Следовательно, b раскладывается по базис­ ным столбцам А. Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов А , добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициен­ тами.

Обратно, если b раскладывается по столбцам Л, то элементарны­ ми преобразованиями столбцов можно превратить А9 в матрицу Ло, получаемую из Л приписыванием нулевого столбца. Согласно предло­ жению 2 § 3, Rg Л0 = И^ЛЖ. С другой стороны, К|$Ло = RgЛ, так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырож­ денных подматриц. Отсюда RgЛ = RgЛ*, как и требовалось.

Предложение 1. Пусть матрица А* приведена к упрощенному виду с помощью элементарных преобразований строк. Система (1) не­ совместна тогда и только тогда, когда в упрощенную матрицу вхо­ дит строка || 0 ... О11|.

До каз а те ль ст в о . Пусть рассматриваемая система не совмест­ на, и RgЛ* > RgЛ = г. В упрощенном виде матрицы Л последние т —г строк — нулевые. Последний столбец матрицы А* должен быть базисным, и в упрощенном виде матрицы А* последний столбец — г + 1-й столбец единичной матрицы. Поэтому г + 1-я строка этой мат­ рицы есть || 0 ... О 11|.

Обратно, если в матрице содержится такая строка, то последний столбец не может быть линейной комбинацией остальных, и система с упрощенной матрицей несовместна. Тогда несовместна и исходная система (предложение 3 §5).

Иначе это предложение можно сформулировать так.

Следствие. Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда противоречивое равенство 0 = 1 является линей­ ной комбинацией ее уравнений.

Равенство рангов матрицы системы и расширенной матрицы мож­ но выразить, понимая ранг матрицы как строчный ранг. Это приведет