книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Произведение SU двух ортогональных матриц S и U — ортого­ нальная матрица. Действительно, (SU)T = UTST = U~lS~l = (SU)~].

Вычисляя детерминант обеих частей равенства (12), мы полу­ чим (det S')2 = 1. Значит, для ортогональной матрицы d e t S = l или del S = —1.

Рекомендуем читателю проверить, что любая ортогональная мат­ рица порядка 2 имеет один из двух видов

6. Ортогональное дополнение подпространства. Пусть — fc-мерное подпространство в и-мерном евклидовом пространстве &.

Определение. Ортогональным дополнением подпространства <?' называется множество всех векторов, ортогональных каждому век­

тору из S 1. Это множество обозначается <?/_L.

Предложение 4. Ортогональное дополнение k-мерного под­ пространства в п-мерном пространстве есть (п-к)-мерное под­ пространство.

Д ок аз а те ль ст в о . Пусть ai, а* — базис в £'. Вектор х лежит

Действительно, если х Е , то равенства (17), разумеется, выполне­ ны. Обратно, при выполнении этих равенств х ортогонален любому а из <f', поскольку

(z, a) = (г,^А *а<) = ^ 2 А’(*.«!') = °-

Выберем в <?ортонормированный базис и обозначим через ah ...

..., aj1компоненты вектора а,- (г = 1,..., Л) в этом базисе, а через ...

...,£п — компоненты вектора х. Условия (17) запишутся тогда в виде

однородной системы из к линейных уравнений с п неизвестными:

а ^ 1+ ... + *?£" = 0,

Ранг матрицы системы равен к, поскольку ее строки -- строки из компонент векторов а\ ,.... а*. — линейно независимы. Таким образом, множество <ff± определяется однородной системой линейных уравне­ ний ранга к, и потому является (п —Л)-мерным подпространством. Предложение доказано.

222 Гл. VII. Евклидовы и унитарные пространства

Рассмотрим (<?/Х)х — ортогональное дополнение ортогонального дополнения подпространства <?'. Каждый вектор из <?' ортогонален каждому вектору из <f/X. Поэтому <f' С (<f/X)x . Но dim(<f'x )x = п —

—[п —к) — к. Итак, (<Г/Х)Х = £'.

Очевидно, что £' и <f'x не имеют общих ненулевых векторов, а сумма их размерностей равна п. Отсюда следует

Предложение 5. Евклидово пространство — прямая сумма лю­ бого своего подпространства и его ортогонального дополнения.

Два подпространства <?' и &" называются ортогональными, ес­

вектор х Е однозначно раскладывается в сумму векторов х\ Е £ f и х2 Е <f'x . Вектор х\ называется ортогональной проекцией х на <?'. Легко видеть, что х2 — ортогональная проекция х на <f'x .

Найдем ортогональную проекцию х на £ ' в предположении, что в S* задан некоторый ортогональный базис Ai,...,/i*. Дополним этот

сумма S 1и <?/Х прямая, искомое разложение вектора х единственно, и мы, группируя слагаемые в формуле (10), получаем

( 18)

Если k = 1, проекция имеет вид х\ = ((ж, Л)/|Л|2)Л, и мы видим, что правая часть формулы (18) — сумма проекций на ортогональные од­ номерные подпространства, натянутые на Так же истолко­ вывается формула (10), а значит, равенство Парсеваля (11) является обобщением теоремы Пифагора.

Из (ж1,ж2) = 0 следует |ж|2 = \%i + x2{2 = |tfi|2 + \х2\2 ^ |**i|2. Длина |жо| ортогональной проекции х на <f/X обладает следующим

свойством минимальности, обобщающим теорему о длине перпенди­ куляра и наклонной из элементарной геометрии.

Предложение 6. Пусть х\ - ортогональная проекция х на £*. Тогда для любого вектора у Е <?', отличного от выполнено

|*з| = |ar —ari | < |х - у|.

До ка за те ль ст в о . Обозначив х\ — у через г, имеем

х - j/|2 = |*i + *2 - у\2 = \г + х2\2 = (г + х2, z + х2) —

= |г|2 + 2(*г,г) + |х2|2.

Но (г, жо) = 0, так как z Е и, следовательно, \х - у\2 = |а?212 + |z|2. Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение.

8. Метод ортогонализации. Формула (18) служит основой метода, позволяющего произвольный базис евклидова пространства преобразовать в ортогональный, а затем в ортонормированный. Этот метод называется методом ортогонализации Грима-Шмидта.

Пусть в &задан некоторый базис Д ,...,/п. Положим h\ = Д. За­ тем из вектора Д вычтем его ортогональную проекцию на линейную оболочку h\ и положим А2 равным полученной разности:

Отметим, что А2 раскладывается по f\ = h\ и / 2, причем Л2 ф о, так как в противном случае /1 и / 2 были бы пропорциональны.

Будем продолжать таким же образом. Допустим, что построены попарно ортогональные ненулевые векторы Ai,..., А*, причем для лю­ бого i ^ к вектор А,- раскладывается по Д ,..., Д. Положим

(19)

Вектор 1 — проекция Д +i на ортогональное дополнение линейной оболочки Ai,..., A/f, и потому ортогонален всем hi при г < к + 1. Кро­ ме того, он раскладывается по Д, ...,Д +1, так как для любого i ^ к вектор hi раскладывается по Д, ..., Д. Отсюда следует, что A*+i Ф о. поскольку иначе векторы Д ,..., Д +1оказались бы линейно зависимы.

После того как будет преобразован последний вектор / п, мы по­ лучим ортогональную систему из п ненулевых векторов.

Итак, нами построен ортогональный базис h. От него можно пе­ рейти к ортонор.мированиому базису е из векторов е* = А,-/|А«| (г = = 1, ...,п). Это называется нормировкой базиса h.

Посмотрим на матрицу перехода 5 от базиса h к базису f. Из равенства Д = Ai и формулы (19) видно, что Д при любом j раскла­ дывается по Ai,...,Aj, причем его координата по hj равна 1. Поэтому элементы матрицы перехода crj равны нулю, если они ниже главной

диагонали (при г > j), и единице при г = j. Таким образом, эта мат­ рица — верхняя треугольная (п. 3 § 1 гл. V) с единицами на главной диагонали.

Пусть базис е получен нормировкой базиса h. Тогда h = eD, где D — диагональная матрица с положительными элементами на диагонали. Если f = h5, то f = GD S , причем, как легко видеть, матрица R = DS — треугольная, как и 5, и ее диагональные эле­ менты положительны, хотя, возможно, и не равны единице. Теперь мы можем сформулировать

Предложение 7. Если ортогональный базис li получен ортогонализацией базиса f , то матрица перехода S от h к f верхняя тре­ угольная с единицами на диагонали. Если базис е получен нормировкой

базиса h, то матрица перехода R от е к f верхняя треугольная с по­ ложительными диагональными элементами.

3а м е ч а и не. По существу, метод ортогонализации — метод при­ ведения положительно определенной квадратичной формы к диаго­ нальному виду. Метод, примененный при доказательстве теоремы 1

§6 гл. VI, в случае положительно определенной формы отличается только порядком выполнения элементарных операций.

9.Q/2-разложение. Так называется следующее разложение мат­ рицы на множители, часто используемое в приложениях.

IIре дл о ж е н и е 8. Если матрица А невырождена, то она может быть представлена в виде произведения А = QH. где Q — ортого­ нальная. a R верхняя треугольная матрица, причем диагональные элементы R положительны.

Д оказ ате ль ст во . Будем рассматривать столбцы А как коор­ динатные столбцы векторов ai, ...,an в ортонормированием базисе g евклидова пространства. Так как А иевырождена, эти векторы со­ ставляют базис а. При этом А — матрица перехода от g к а, т. е. а = g /l. Пусть е — ортонормированиый базис, полученный ортогонализацией и нормировкой базиса а. Тогда а = еЯ, и по предложению 7 матрица R верхняя треугольная с положительными диагональными элементами. Кроме того, так как базис е ортонормированиый,е = gQ, где матрица Q ортогональная. Из двух последних равенств следует

а= gQR. Сравнивая это с равенством а = gА. получаем QR = А.

10.Объем параллелепипеда. Рассмотрим к линейно независи­ мых векторов А,...,Л в n-мерном евклидовом пространстве. Под к-мерным параллелепипедом { А ? А } , построенным на них, мы бу­ дем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффици­ ентами ^ , 0 ^ a,* < 1 (г = I,.... к). Векторы А? •••>Л назовем ребрами параллелепипеда. Если ребра упорядочены, параллелепипед называет­ ся ориентированным.

Параллелепипед {А,- . , A - i } естественно назвать основанием па­ раллелепипеда {А* •••>/&}, а высотой, соответствующей этому осно­ ванию, назовем длину |Л*| ортогональной проекции Л* вектора Д на ортогональное дополнение линейной оболочки А >—1А -ь

Объем одномерного параллелепипеда {/} мы определим как длину его единственного ребра: V{f } = |/|, а объем к-мерного параллелепи­ педа V’{Ai •••«./*} определим по индукции как произведение объема основания на высоту. При таком определении объем параллелепипеда может оказаться зависящим от порядка, в котором записаны ребра, но из полученной ниже формулы (20) для объема мы увидим, что в действительности такой зависимости нет.

прямоугольного параллелепипеда (у которого ребра попарно ортого­ нальны) равняется произведению длин ребер.

Рассмотрим «-мерный параллелепипед { / ь / п}‘ Применяя к процесс ортогонализации, мы заменяем очередной вектор его проекцией на ортогональное дополнение линейной оболочки пре­

дыдущих векторов и в результате строим n-мерный прямоугольный параллелепипед {hi, Лп}, имеющий тот же объем.

Матрица Грама Г* системы векторов Ai, ..., Ап — диагональная с элементами |А3|2, ..., |йп|:2 на диагонали. Поэтому

V{fx,....fn) = v[hx,....hn) =|/tl|...|M=

Пусть S — матрица перехода от к Согласно пред­ ложению 7 detS = 1, и потому del Г/ = det(S^T/,5) = det Г/,. Итак,

Пусть е — произвольный базис, a F — матрица из координатных столбцов векторов в этом базисе. Эта матрица — матрица перехода от е к f.Поэтому Г/ = FTTeF. Отсюда в силу (20)

V{fu = | det F\\/ditT7 = | det F\V{e i en}. В частности, для ортонормированного базиса е

V {/i>...,/n} = |d c t n

Если евклидово пространство ориентировано (п. 6 § 1 гл. VI), мы определим объем п-мерного ориентированного параллелепипеда как его объем со знаком плюс, если его ребра составляют положитель­ но ориентированный базис, и со знаком минус в противном случае. Тогда для положительно ориентированного ортонормированного ба­

Упражнения

1 . Проверьте, что в пространстве многочленов степени ^ 2 скалярное произведение можно определить формулой

1

(Р,9) = Jp(t)q{t)dt.

-1

а) Составьте матрицу Грама базиса 1 , £, f2.

б) С помощью матрицы перехода найдите матрицу Грама базиса

1, (t-1 ),

в) Найдите угол между многочленами t2-}- 1 и И 1 .

15 Д.В. Беклемишев

226 Га . VII. Евклидовы и унитарные пространства

2 . Подпространство евклидова пространства задано в ортонормирован­ ием базисе уравнением £* + £ 2 + -f £ 4 = 0. Найдите ортонормированный

4. Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка п рав­

ны между собой по абсолютной величине.

а) Чему равна абсолютная величина элемента такой матрицы?

б) Докажите, что такие матрицы существуют, если п = 2 *, где к — натуральное число.

5. Найдите фД-разложение матрицы:

6. В четырехмерном евклидовом пространстве трехмерный параллеле­ пипед построен на векторах, имеющих в ортонормированном базисе коор­ динатные столбцы || 1 1 —1 0 ||т , || 1 1 1 —1 ||т и || 11 11 ||т . Найдите объем параллелепипеда.

§ 2. Линейные преобразования евклидовых пространств

1. Преобразование, сопряженное данному. Все сказанное в предыдущей главе о линейных преобразованиях линейных прост­ ранств остается, конечно, в силе и для евклидовых пространств. С введением скалярного произведения преобразования приобретают но­ вые свойства подобно тому, как векторы приобретают длину.

Определение. Линейное преобразование А* евклидова прост­ ранства называется сопряженным преобразованию Л, если для любых векторов х и у имеет место равенство

Допустим, что данное преобразование А имеет сопряженное А*. Выясним, как связаны матрицы преобразований А и Ах в некотором базисе е. Обозначим эти матрицы через А и Лж, а координатные столб­ цы векторов х и у через £ и rj. Тогда равенство (1) можно переписать в координатной форме (Л£)т Гт/ = £ТГА*Т7, где Г — матрица Грама базиса е. Выполнив транспонирование, получаем

Это равенство показывает, что левая и правая части (1) являются билинейными функциями, а .4ТГ и ТА* — матрицы этих функций в базисе е. Если значения функций равны при любых х и у, то матрицы

228 Га . VII. Евклидовы и унитарные пространства

х тогда и только тогда, когда А*(у) = о. Таким образом, у £ (Im А)-1 равносильно у £ Кег А*.

2. Самосопряженные преобразования. Линейное преобразо­ вание А евклидова пространства называется самосопряженным, если А — Аж.Это равносильно тому, что (Д(а:),у) = (ж, Д(у)) для любых х и у. Из формулы (4) следует

Предложение 3. Преобразование является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированием ба­ зисе симметрична.

Собственные значения и собственные подпространства самосопря­ женных преобразований обладают рядом важных свойств, к изуче­ нию которых мы переходим. Ниже нам дважды придется воспользо­ ваться следующими замечаниями: ограничение А' самосопряженного преобразования А на любом инвариантном подпространстве является самосопряженным. Собственный вектор ограничения является собст­ венным и для преобразования. Оба утверждения очевидны. Они сразу следуют из соответствующих определений и того, что А \х) = А(х) для тех векторов, для которых определено Д'.

Те ор ем а 1. Все корни характеристического многочлена самосо­ пряженного преобразования вещественны.

Дока за те ль ст в о. Допустим, что самосопряженное преобразо­ вание А имеет не вещественный корень характеристического много­ члена. Тогда согласно предложению 8 §4 гл. VI существует двумер­ ное инвариантное подпространство не содержащее собственных векторов А. Обозначим через Af ограничение А на <?'. Посколь­ ку А1— самосопряженное преобразование, в ортонормированном ба­ зисе оно будет иметь симметричную матрицу

неотрицателен, характеристический многочлен имеет веществен­ ный корень, а преобразование А* — собственный вектор, что противо­ речит выбору подпространства S 1. Теорема доказана.

Доказанное утверждение допускает следующую матричную фор­

преобразования попарно ортогональны.

Теорема равносильна следующему утверждению.

Если собственные векторы самосопряженного преобразования при­ надлежат различным собственным значениям, то они ортогональны.

Докажем его. Пусть Д(ж) = Хх и А(у) = ру, причем А ф р. Тогда

(Л(х),10 = А(*,у).

Но иначе можно получить

(Д(аг), у) = (ж, Л(у)) = ц(х, у).

Из этих двух равенств следует (А —р)(х, у) = 0, откуда (х , у) = 0, как

итребовалось.

Тео ре ма 3. Если подпространство £' инвариантно относитель­ но самосопряженного преобразования Д, то ортогональное дополне­ ние <?/Х этого подпространства — также инвариантно относитель­ но Д.

До ка за те ль ст в о . Нам дано, что для каждого х из £' образ А(х) также лежит в <?'. Поэтому (Д(ж), у) = 0 для любого у £ <?,х . Но для самосопряженного Д это равносильно (#,Д(у)) = 0, и, следователь­ но, А(у) £ <f/X, как и требовалось.

Теперь мы можем доказать основную теорему о самосопряженных преобразованиях.

Тео ре ма 4. Пусть А — самосопряженное преобразование евкли­ дова пространства £. Тогда в £ существует ортонормированный ба­ зис из собственных векторов А.

До ка за те ль с тв о . Обозначим через J f сумму собственных под­ пространств преобразования Д и докажем, что она совпадает с £. Сум­ ма собственных подпространств - инвариантное подпространство. Действительно, если вектор х раскладывается в линейную комбина­ цию собственных векторов (принадлежащих каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается но ним же.

Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение JS? также инвариантно. Допустим, что подпространство j£fx ненулевое и рас­

смотрим ограничение Д' преобразования Д на j£fx . Это - самосопря­ женное преобразование, и потому оно имеет вещественные характе­ ристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор. Этот вектор собственный и для Д и должен лежать в J£f. Так как он ненулевой, в j£fx он лежать не может. Полученное противоречие

требуемый базис в £ можно выбрать как объединение ортонормированных базисов собственных подпространств. Этот базис будет ортонормированным, так как векторы базиса, лежащие в разных собст­ венных подпространствах, ортогональны но теореме 2.

Доказанная теорема допускает такую матричную формулировку. Предложение 5. Если А —- симметричная матрица, то су­ ществует ортогональная матрица S такая, что S~lAS -- диаго­

нальная матрица.

Действительно, матрица А задает самосопряженное преобразова­ ние в ортонормированном базисе. В качестве S можно взять матрицу перехода от этого базиса к базису, построенному в теореме 4.

Для теоремы 4 справедлива обратная теорема.

Предложение 6. Если существует ортонормированный базис из собственных векторов линейного преобразования А евклидова пространства, то А самосопряженное.

Действительно, в таком базисе матрица преобразования диаго­ нальная. а потому симметричная. А = А* но предложению 3.

Приведем геометрическую характеристику самосопряженного преобразования. В теореме 2 § 3 гл. IV мы рассматривали, в част­ ности, аффинное преобразование плоскости, состоящее в сжатии (растяжении) но двум взаимно перпендикулярным направлениям. В п-мерном евклидовом пространстве обобщением такого преобразо­ вания будет сжатие по п попарно перпендикулярным направлениям. Выберем ортонормированный базис так, чтобы его векторы имели данные направления. Тогда каждый базисный вектор е,- перейдет в ему пропорциональный вектор А*е,*, где А,- — коэффициент сжатия. По предложению 6 преобразование будет самосопряженным. Обрат­ но, самосопряженное преобразование с положительными собственны­ ми значениями является сжатием по п попарно перпендикулярным направлениям. Нулевому собственному значению соответствует уже не сжатие, а проектирование, а отрицательному собственному значе­ нию — произведение сжатия и симметрии.

Рассмотрим теперь нахождение базиса, существование которого доказано в теореме 4. Выбрав некоторый (удобнее, если ортонормиро­ ванный) базис составляем матрицу А преобразования. Находим кор­ ни ее характеристического многочлена det(A -X E ) и для каждого корня —• базис в собственном подпространстве как фундаменталь­ ную систему решений системы (А - АЕ)£ — о. Для простых корней единственный вектор базиса следует пронормировать, а для кратных корней полученный базис нужно ортогонализовать и нормировать.

Для практического решения вычислительных задач по ряду при­ чин применяются совсем другие методы. Изложение этих вопросов не входит в нашу задачу. Поясним, однако, одну из таких причин на простом примере. Допустим, что мы производим вычисления с округ­ лением, учитывая два десятичных знака после запятой, и нам нужно найти характеристические числа матрицы1

1 0,03

0,03 1

При выбранной точности истинное характеристическое уравнение А2 —2А + 0,9991 = 0 будет воспринято как А2 —2А + 1 = 0, и мы най­ дем Aj_ = А^ = 1. Однако умножение матрицы на столбцы ||1 1||т