книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

— через вторую прямую и общий перпендикуляр. Поэтому общий перпендикуляр можно задать системой уравнений (11), (12). Чтобы найти его начальную точку, можно решить совместно уравнение пер­ вой прямой и плоскости (12). Направляющий вектор — [ai,a2].

10. Пучок прямых. Пучком прямых на плоскости называется множество прямых, проходящих через фиксированную точку —

центр пучка. Пусть Л\х 4- В\у + С\ —0 и А2х + В2у + С2= 0 — урав­ нения двух прямых, принадлежащих пучку. Тогда уравнение

при условии а2 *+■/З2 ф 0 называется уравнением пучка прямых.

Основанием для этого служит Предложение 3. При любых а и (3 (а2 + /?2 ф 0) уравнение (13)

определяет прямую линию, принадлежащую пучку. Обратно, уравнение каждой прямой из пучка представимо в виде (13).

Докажем сначала, что коэффициенты при переменных в уравне­ нии (13) не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в

виде

{otAi + (ЗЛ2)х + (рсВ\ + /ЗВ2)у 4* (aCi + f3C2) = 0.

Допустим, что осА\ + /ЗА2 = 0 и аВ г + (ЗВ2 = 0. Так как прямые пе­ ресекаются, AI B2 —А2В\ ф 0 и из предложения 9 § 2 вытекает, что значения а = 0, /? = 0 единственные, которые удовлетворяют этим двум равенствам. Но эти значения мы исключили. Таким образом, уравнение (13) определяет прямую линию.

Обозначим через ж0, Уо координаты центра пучка. По условию

А\х о + Biy$ + С\ = 0, А2хо+ В2уо + С2 = 0,

а потому хо, уо удовлетворяют уравнению (13), и прямая проходит через центр пучка.

Вторая часть предложения будет доказана, если окажется, что че­ рез любую точку, отличную от центра пучка М0, проходит прямая линия с уравнением вида (13). Легко проверить, так ли это. Рассмот­ рим точку Mi(a?i,yi), отличную от АГо, и обозначим

и = А\Х\ + В\у\ + Ci, v = А2х 1+ B2yi + С2.

Так как наши прямые имеют только одну общую точку, числа и и v одновременно не равны нулю, и мы вправе положить а = —г>, /? = и. При таких значениях а и /? координаты точки Mi удовлетворяют уравнению (13). Это означает, что соответствующая этим значениям прямая пучка проходит через Mi, и предложение доказано.

Заметим, что каждая пара чисел а и /3 (а2 + /З2 ф 0) определяет в пучке единственную прямую, но каждой прямой соответствуют бесконечно много пропорциональных между собой пар чисел.

Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде

а(х - ж0) + /3(у - уо) = 0,

положив, что пучок определяется прямыми х —аг0 = 0 и у —уо = 0. Впрочем, и без того очевидно, что это — уравнение произвольной прямой, проходящей через MQ.

Посмотрим на уравнение пучка прямых с несколько более общей точки зрения. Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравне­ ние каждой прямой пучка есть следствие этой системы. Теперь наш результат можно сформулировать так.

Предложение 4. Если система линейных уравнений имеет ре­ шение, то некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системы, ум­ ноженных на какие-то числа.

Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными. В общем виде оно вытекает из ре­ зультатов гл. V о системах линейных уравнений. Другими геомет­ рическими интерпретациями этого предложения являются пучки и связки плоскостей.

Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходя­ щих через фиксированную прямую — ось пучка. Уравнение пучка плоскостей имеет вид

а(Л\х + В\у + C\z + D\) + j3(A2x -f В2у + C2z + D2) = 0,

где а 2+ j32 ф 0, а в скобках стоят левые части уравнений двух раз­ личных плоскостей пучка.

Связкой плоскостей называется множество плоскостей, проходя­ щих через фиксированную точку — центр связки. Уравнение связки плоскостей имеет вид

a{AiX + В гу + C\z + Dx) + /3{А2х + В2у + C2z + D2) +

+ 7(^ 3# + В$у + CQZ + D$) = 0,

где a 2-h /?2 + 72 ф 0, а в скобках стоят левые части уравнений плос­ костей связки, имеющих центр своей единственной общей точкой.

Предоставим читателю самостоятельно вывести эти уравнения, если он пожелает.

11. О геометрическом смысле порядка алгебраической линии. Пусть на плоскости дана алгебраическая линия L, имею­ щая в декартовой системе координат уравнение

Рассмотрим произвольную прямую с параметрическими уравне­

Найдем точки пересечения L и прямой линии. Они будут извест­ ны, если мы найдем соответствующие им значения параметра I. Это будут те значения, при которых х и у, выраженные по форму-

Раскрывая скобки в каждом члене, мы получим многочлены отно­ сительно t степеней 1ц 4- /1 , k84- /*. Их сумма будет многочленом, степень которого не выше, чем максимальная из степеней слагаемых. Но максимальное из чисел к\ + ..., k9 + ls — это порядок линии L. Поэтому степень уравнения (16) не превосходит порядка линии.

Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравне­ ния равны нулю, и оно представляет собой тождество. Если исклю­ чить этот случай, то число корней уравнения и. следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Мы доказали

Предложение 5. Число точек пересечения алгебраической ли­ нии с прямой, которая на ней не лежит целиком, не превосходит порядка линии.

Существуют линии, которые ни с одной прямой не имеют в прин­ ципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии. Примерами могут служить линии с уравнениями ж2 4-у2 = 0 или

(х2 4- у2)2 - 1 = 0.

Пример. Архимедова спираль — линия с уравнением г = а<р в полярной системе координат — пересекает каждую прямую, прохо­ дящую через полюс, в бесконечном числе точек. Следовательно, она не является алгебраической линией.

Упражнения

1. И декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин треугольника Л(20, —15), £ ( —16,0) и С(—8,6). Найдите координа­ ты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник.

2. Начало координат лежи г в одном из углов, образованных прямыми с уравнениями А\Х + В\у + С\ = 0 и Агх + Вгу + С* — 0. При каком не­

обходимом и достаточном условии на коэффициенты уравнений этот угол острый?

3. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые с уравнениями х = 1 4- 2£, у = 2 + 3i, z = —t и х = 4J, у = 5 —5£, z = 3 + 2£.

4. В декартовой прямоугольной системе координат найдите координаты центра и радиус сферы, проходящей через точку >1(0,1,0) и касающейся п юскостей с уравнениями я -f у = 0, х —у = 0 иж + у - М з = 0

5. В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин треугольника Л(1,2,3), £(1,5, —I) и С(5,3, —5). Найдите коорди­ наты центра окружности, описанной около треугольника.

6. Напишите уравнения прямой, которая параллельна прямой г = го + + ао* и пересекает прямые г = гч + и г = Гг + аг*.

один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение

Выражения для коэффициентов уравнения (3) через коэффициен­ ты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Сформулируем следующее вспомогательное Предложение 1. Если в уравнение (3) входит с ненулевым ко­

эффициентом квадрат одной из координат, то при помощи перено­ са начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, А! ф 0. Перепишем (3) в виде

Л' (*'2 + Щ -х' + £ 1 ) + С У 2 + 2ЯУ + F' - ^ = 0.

Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формула­ ми х" = х1+ D*/А*, у" = у', то уравнение приведется к виду

А'х"2+ С'у"2 + 2Е У + F" = 0,

как и требовалось.

А. Предполо?ким, что А'С' ф 0, т. е. оба коэффициента отличны от нуля. Согласно предложению 1 при помощи переноса начала коорди­

Могут быть сделаны следующие предположения относительно зна­ ков коэффициентов в этом уравнении.

А1. А*С* > 0 — коэффициенты А' и С' имеют один знак. Для F" имеются следующие три возможности.

Ala. Знак F" противоположен знаку А' и С'. Перенесем F" в дру­

где а2 = —F"/ А 62 = —F"/С '. Можно считать, что в этом уравне­ нии а > 0, Ь > 0 и а ^ Ь. Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат

( б )

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямо­ угольной системе координат может быть задана уравнением (5) при условии а ^ 6, называется эллипсом, уравнение называется канони­ ческим уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат.

При а = 6 уравнение (5) есть уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность — частный случай эллипса.

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду (7), называ­ ется уравнением мнимого эллипса.

Ему удовлетворяет только одна точка х" = 0, у" = 0. Уравнение, при­ водящееся к каноническому виду (8), называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия слу­ жит сходство с приведенным ниже уравнением (10).

А2. А!С* < 0 — коэффициенты А* и С' имеют разные знаки. От­ носительно F" имеются следующие две возможности.

А2а. F" ф 0. В случае необходимости, делая замену (6), мы мо­ жем считать, что знак F" противоположен знаку А!. Тогда уравнение

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямо­ угольной системе координат может быть задана уравнением (9), на­ зывается гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением

гиперболы, а система координат — ее канонической системой коор­ динат.

Его левая часть разлагается на множители ах11—су" и ах" + су" и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сомножителей. Поэтому линия с уравнением (10) состоит из двух прямых. Эти прямые пересекаются в начале коорди­ нат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых.

Б. Допустим теперь, что А!С' = 0, и, следовательно, один из ко­ эффициентов А' или С" равен нулю. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что А' = 0. При этом С’ ф 0, так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя предложе­ ние I, мы приведем уравнение к виду

С'у"2 + 21Ух" + F" = 0.

Б]. Пусть D* ф 0. Сгруппируем члены следующим образом:

C V /2 + 2D '(X' 4 ^ ) = 0 .

5*

Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с фор­ мулами перехода х9= х" + F"/2D*, у9 = у". Тогда уравнение примет вид

С"у*2 + 2D V = О,

или

где р = —Df/C '. Мы можем считать, что р > 0, так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяю­ щую направление оси абсцисс: х = —ж*, у = у*.

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямо­ угольной системе координат может быть задана уравнением (11) при условии р > 0, называется параболой, уравнение называется канони­ ческим уравнением параболы, а система координат — ее канонической системой координат.

Б2. Допустим, что D' = 0. Уравнение имеет вид С'у"2 + F" = 0. Относительно F" есть следующие три возможности.

Б2а. O F " < 0 — знаки С и F" противоположны. Разделив на С",

Левая часть уравнения разлагается на множители у" + а и у" —а. Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых.

Б2б. C'F" > 0 — знаки С" и F" совпадают. Разделив на С", при­ ведем уравнение к виду

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (13), называют урав­ нением пары мнимых параллельных прямых.

Б2в. F" = 0. После деления на С" уравнение принимает вид

Это уравнение эквивалентно уравнению у" = 0, и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (14), называется уравнением пары совпавших прямых.

Соберем вместе полученные результаты.

Теоре ма 1. Пусть в декартовой системе координат задано урав­ нение второго порядка (1).

Тогда существует такая декартова прямоугольная система коор­ динат, в которой это уравнение принимает один из следующих девя­

В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы; 3) точки (пары мнимых пересекающихся пря­ мых); 4) гиперболы; 5) пары пересекающихся прямых; 6) параболы; 7) пары параллельных прямых; 9) прямые (пары совпавших прямых).

Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых па­ раллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка.

Упражнения

1. Приведите к каноническому виду уравнение

За;2 + 10х у -f 3у2 — 2а; + 2у — 9 = 0.

2. Приведите к каноническому виду уравнение

9а;2 — 24а;у + 16у2 — 34а; — 38у — 9 = 0.

3.Какого класса линию может определять уравнение второго порядка, если его левая часть раскладывается в произведение линейных мночленов?

4.При каком условии на его коэффициенты уравнение второго поряд­ ка в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением окружности?

5.Система координат удовлетворяет условиям |ej| = |ег| = 5, (е^ег) =

=7. Какая линия определяется в этой системе координат уравнением х2+

+ у2 = 1?

6.Докажите, что сумма коэффициентов A -f С в уравнении (1) не меня­

ется при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат

кдругой такой же системе.

§2. Эллипс, гипербола и парабола

Впредыдущем параграфе мы познакомились с классификацией линий второго порядка. Геометрические свойства только трех классов

линий не являются очевидными. Ими мы сейчас займемся.

1.Эллипс. Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая

внекоторой декартовой прямоугольной системе координат определя­ ется каноническим уравнением

|у| ^ 6. Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 26. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы коор­ динат, имеющие координаты (а,0), (—а,0), (0,6) и (0. —6), называ­ ются вершинами эллипса. Числа а и 6 называются соответственно

большой и малой полуосями эллипса.