книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

зон не может быть перенесен даже вдоль той прямой, на которой он лежит.)

Это только одна из причин, по которой наряду с Векторами при­ ходится рассматривать и направленные отрезки. При этих обстоя­ тельствах применение определения 3 осложняется большим числом оговорок. Мы будем придерживаться определения 1, причем по обще­ му смыслу всегда будет ясно, идет речь об определенном векторе или на его место может быть подставлен любой, ему равный.

В связи со сказанным стоит разъяснить значение некоторых слов, встречающихся в литературе. Вместо определения 2 можно ввести для векторов другое определение равенства, согласно которому векто­ ры равны, если они равны но длине, лежат на одной прямой и направ­ лены в одну сторону. В этом случае вектор не может быть перенесен в любую точку пространства, а переносится только вдоль прямой, на которой он лежит. При таком понимании равенства векторы назы­ ваются скользящими векторами. В механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором.

Можно для векторов не давать никакого особого определения ра­ венства, т. е. считать, что вектор характеризуется, помимо длины и направления в пространстве, еще и точкой приложения. В этом слу­ чае векторы называются приложенными. Как уже упоминалось, сила, действующая на упругое тело, изображается приложенным вектором.

Если нужно подчеркнуть, что равенство векторов понимается в смысле определения 2, то векторы называются свободными.

4. Линейные операции. Так называются сложение векторов и умножение вектора на число. Напомним их определения.

Определение. Пусть даны два вектора а и Ъ. Построим равные им векторы АВ и В&. Тогда вектор АС называется суммой векто­ ров а и b и обозначается а + Ь.

Заметим, что, выбрав вместо В другую точку, мы получили бы другой вектор, равный вектору АС.

Определение. Произведением вектора а на вещественное чис­ ло а называется вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям:

а) |Ь| = И а |;

б) Ь коллинеарен а;

в) b и а направлены одинаково, если а > 0, и противоположно, если а < 0.

(Если же а = 0, то из первого условия следует b = 0.) Произведение вектора а на число а обозначается аа. Приведенное определение определяет вектор аа не единственным

образом, но все удовлетворяющие ему векторы равны между собой. В курсе средней школы были выведены основные свойства линей­

ных операций. Перечислим их без доказательства.

2)(а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сложение ассоциативно);

3)а + 0 = а;

4)вектор (—1)а противоположный для а: а + (—1)а = 0;

5)(ос/3)а = а(/?а);

6)(а + t$)a = аа + Ра;

7)а(а + Ь) = аа + ab;

8) la = a.

Вектор (—l)a обозначается —а. Разностью векторов а и b называ­ ется сумма векторов а и —Ь. Она обозначается а —Ь. Если b + х = = а, то х = а —b (рис. 1). В этом смысле вычитание — операция, сопоставляющая паре векторов разность первого и второго, — есть операция, обратная сложению, и мы не считаем его отдельной операцией. Точно так же мы не выделяем деление вектора на число а, так как его можно определить как умножение на а ” 1.

Из определения произведении вектора на число прямо следует

= ±(|Ь|/|а[)а. Знак + или — берут, смотря по томуу направлены а и b однаково или нет.

Применяя линейные операции, можно составлять суммы векто­ ров, умноженных на числа: a ^ i + ог2а2 + ... + а*а*. Выражения та­ кого вида называются линейными комбинациями. Числа, входящие в линейную комбинацию, называются ее коэффициентами. Свойства, перечисленные в предложении 1, позволяют преобразовывать линей­ ные комбинации по обычным правилам алгебры: раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т. д.

Предложение 1 дает в некотором смысле полный набор свойств: любые вычисления, использующие линейные операции, можно про­ изводить, основываясь на них и не обращаясь к определениям. Это будет иметь для нас принципиальное значение в гл. VI.

Линейные комбинации обладают следующим очевидным свойст­ вом: если векторы ai, ...,а* коллинеарны, то любая их линейная ком­ бинация им коллинеарна. Если же они компланарны, то любая их ли­ нейная комбинация им компланарна. Это сразу следует из того, что вектор аа коллинеарен а, а сумма векторов компланарна слагаемым и коллинеарна им, если они коллинеарны.

Множество называется замкнутым относительно некоторой опе­ рации, если для любых элементов множества результат применения этой операции принадлежит данному множеству.

линейных операций, называется векторным пространством. Если од­ но векторное пространство является подмножеством другого, то оно называется его подпространством.

Таким образом, можно сказать, что множество всех векторов, параллельных данной прямой, и множество всех векторов, парал­ лельных данной плоскости, являются векторными пространствами. Чтобы различать эти два тина векторных пространств, их называ­ ют соответственно одномерными и двумерными пространствами.

Помимо упомянутых, существуют еще два векторных простран­ ства: нулевое или нульмерное, состоящее только из нулевого вектора, и трехмерное — множество всех векторов пространства.

Нулевое пространство является подпространством для каждого другого, и каждое векторное пространство является подпространст­ вом для трехмерного.

5. Линейная зависимость векторов. Мы будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам ai,...,a*, если он представим как их линейная комбинация: найдутся такие коэффициенты, что Ь =

= 01*1 + •• + fika-k- Вполне может случиться, что какой-то вектор рас­ кладывается по данной системе векторов, и при этом коэффициенты разложения определены неоднозначно. Например, если аз = aj +ао, то вектор b = —аз раскладывается так же, как b = —а г —а2 или Ъ = а3 —2ai —2а2 и т. д. Посмотрим, с чем это связано.

Нулевой вектор раскладывается по любой системе векторов: мы получим нулевой вектор, если возьмем линейную комбинацию этих векторов с нулевыми коэффициентами. Такая линейная комбинация называется тривиальной.

Определение. Система векторов a i,...,а* называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единствен­ ным образом.

Иначе говоря, система векторов линейно независима, если толь­ ко тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, или, подробнее, если из равенства oriai + ... + а*а* = 0 сле­ дует, что ai = ... = а* = 0.

Система векторов ai, ...,аk линейно зависима, если нулевой вектор раскладывается но ней не единственным образом, т. е. если найдутся

Рассмотрим свойства линейно-зависимых и линейно-независимых систем векторов.

• Если среди векторов a i , ..., а* есть нулевой, то такая система ли­ нейно зависима. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию, в которую 0 входит с коэффициентом 1, а остальные векторы с ну­ левыми коэффициентами. Эта линейная комбинация нетривиальна и равна нулевому вектору. В частности,

•Система, содержащая один вектор, линейно зависима, если он нулевой.

•Если к линейно зависимой системе ai,...,a* прибавить какие-

то векторы то полученная система векторов будет линей­ но зависимой. В самом деле, к имеющейся равной 0 нетривиальной линейной комбинации векторов ai,...,afc можно прибавить векторы b i,..Mb, с нулевыми коэффициентами.

Таким образом,

•Если в системе векторов какая-то часть линейно зависима, то вся система обязательно линейно зависима.

Отсюда от противного следует, что

•Любая часть линейно независимой системы линейно независима. Предложение 3. Если вектор х раскладывается по системе

векторов ai,...,afc, то это разложение единственно тогда и только тогда, когда система векторов линейно независима.

гого, мы получим (с*1 - /?i)ai + ... + (ak —/?&)а* = О. Если векторы линейно независимы, отсюда следует, что а\ —/3\ = 0, ..., а* —/?л = О, т. е. оба разложения совпадают.

Обратно, если векторы линейно зависимы, существует их нетри­ виальная линейная комбинация, равная нулевому вектору: ajai + ...

... + а*а* = 0. Мы можем прибавить ее к имеющемуся разложению х = ftai + ... + /?*аk и получить новое разложение х по тем же век­ торам: х = (ari + A )ai + ... 4- (otk + /?fc)ajfe. Предложение доказано.

Предложение 4. Система из к > 1 векторов линейно зави­ сима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывает­ ся по остальным.

До ка за те ль ст в о . Пусть система векторов ai,...,a& линейно зависима, т. е. существуют такие коэффициенты <*!,...,<**, что

Обратно, пусть один из векторов, например, аь разложен по ос­ тальным векторам: ai = /?2а 2 + ... + /?*аЭто означает, что линейная

Понятие линейной зависимости будет играть большую роль в даль­ нейшем изложении, но сейчас мы могли бы обойтись без него ввиду простого геометрического смысла, который имеет это понятие.

Теорема ]. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда это - нулевой вектор.

Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тог­ да, когда векторы коллинеарны.

Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тог­ да, когда векторы компланарны.

Любые четыре вектора линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Мы уже отмечали, что нулевой вектор со­ ставляет линейно зависимую систему. Система, содержащая только ненулевой вектор линейно независима, так как при его умножении на число, отличное от нуля, получится ненулевой вектор.

2. Пусть векторы а и Ъ коллинеарны. Если а = 0, то а и b линейно зависимы. Пусть а -ф 0. Тогда по предложению 2 b раскладывается по а. Таким образом, в любом случае коллинеарные векторы линейно зависимы.

Обратно, из двух линейно зависимых векторов один обязательно раскладывается по другому и, следовательно, ему коллинеарен.

3. Пусть векторы а, b и с компланарны. Если а и b коллинеарны, то они линейно зависимы, и тогда линей­ но зависимы все три вектора. Пусть а и

b не коллинеарны. Разложим с по ним. Для этого поместим начала всех век­

торов в одну точку О (рис. 2) и прове­ дем через конец С вектора с прямую, параллельную Ь, до пересечения в точ­ ке Р с прямой, на которой лежит а. (Это построение возможно, так как век­ торы а и Ь не коллинеарны и, в част­

ности, оба ненулевые.) Теперь ОС = О Р + Р б , причем ОР и PC коллинеарны соответственно а и Ь. По доказанному выше найдут­

ся числа о и /? такие, что ОР = аа и PC = /ЗЪ. Таким образом, с = = аа + /ЗЪ. Эго означает, что а, b и с линейно зависимы.

Обратно, если а, b и с линейно зависимы, то один из них раскла­ дывается по двум другим и, следовательно, им компланарен.

4. Рассмотрим четыре вектора а, Ь, с и d. Если а, b и с компла­ нарны, то они линейно зависимы сами по себе и вместе с вектором d. Пусть а, Ь и с не компланарны. Аналогично

предыдущему докажем, что d раскладывается по ним. Поместим начала всех векторов в од­ ну точку О (рис. 3) и проведем через конец D вектора d прямую, параллельную с, до пересе­ чения в точке Р с плоскостью, на которой ле­ жат а и Ь. Теперь OD = OP + PD , причем ОР компланарен а и b, a PD коллинеарен с. 11о доказанному выше ОР раскладывается но а и Ъ, a PD — по с. Значит, d разложен но а, b

и с и составляет с ними линейно зависимую систему. Теорема дока­ зана.

6. Базис. В конце п. 4 было дано определение векторного прост­ ранства. Введем следующее

Определение. Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что лю­ бой вектор этого пространства по ней раскладывается.

Из теоремы 1 сразу вытекает, что

•В нулевом пространстве базиса не существует.

•В одномерном пространстве (на прямой линии) базис состоит из одного ненулевого вектора.

•В двумерном пространстве (на плоскости) базис — упорядочен­ ная пара неколлинеарных векторов.

•В трехмерном пространстве базис — упорядоченная тройка не­ компланарных векторов.

Требование упорядоченности означает, что, например, в случае плоскости а, Ь и Ь, а — два разных базиса.

Так как векторы базиса линейно независимы, коэффициенты раз­ ложения по базису для каждого вектора пространства определены од­ нозначно. Они называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

Таким образом, если c j,в2, ез — базис трехмерного пространства, то по формуле а = aiei -{- 4*ar3e3 каждому вектору сопоставлена единственная упорядоченная тройка чисел a j , a 2, a 3 и каждой трой­ ке чисел — единственный вектор. Аналогично, вектор на плоскости имеет две компоненты, а на прямой — одну.

Компоненты пишутся в скобках после буквенного обозначения вектора, например а(1,0, 1).

В аналитической геометрии геометрические рассуждения о векто­ рах сводятся к вычислениям, в которых участвуют компоненты этих векторов. Следующее предложение показывает, как производятся ли­ нейные операции над векторами, если известны их компоненты.

Предложение 5. При умножении вектора на число все его ком­ поненты умножаются на это число. При сложении векторов склады­ ваются их соответствующие компоненты.

Действительно, если а = oriei 4- с*2е24- a 3e3, то

Аа = A(aiOi 4- а2е2 4- а3о3) = (Aaj)ci + (Aa2)e2 4- (Aa3)e3.

Если а.= адех + а 2в24- <*за3 и Ь = /?з01 + 02е2 4- 03O3, то

а 4- Ь = (aiOi 4- ог3ео 4* о^ез) 4- (0i&i 4- 02 4- /?з©з) ^

—(^1 4- 0\ )ei 4- (с*24“ 02)^2 4- (ог3 4- /?з)©з-

Для одномерного и двумерного пространств доказательство отли­ чается только числом слагаемых.

18 Гл. I. Векторная алгебра

Координаты точки, как и компоненты вектора, — величины без­ размерные. В частности, они не зависят от выбранной единицы из­ мерения длин. В самом деле, раскладывая векторы в теореме 1, мы сводили дело к разложению вектора по коллинеарному с ним ненуле­ вому вектору. А в этом случае компонента равна отношению длин, взятому с определенным знаком (предложение 2).

Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана систе­ ма координат, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдет­ ся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат. Система координат на плоскости определяет такое ?ке соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание системы коорди­

Из этих равенств можно найти я, у и г, поскольку А + р ф 0:

Если в формулах (2) мы будем считать одно из чисел А или р отрицательным, то из равенства (1) увидим, что М находится на той же прямой вне отрезка А В , деля его в отношении |A//i|. Поэтому из формул (2) можно найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении как внутренним, так и внешним образом.

На плоскости и на прямой линии задача о делении отрезка ре­ шается точно так же, только из трех равенств в (2) остается соот­ ветственно два и одно равенство.

3. Декартова прямоугольная система координат. Общие де­ картовы системы координат используются реже, чем специальный класс таких систем — декартовы прямоугольные системы координат.

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декар­ товой прямоугольной системой координат.

Нетрудно проверить, что координаты точки относительно декар­ товой прямоугольной системы координат в пространстве по абсолют­ ной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей. Они имеют знак плюс или минус в зави­ симости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Аналогично находят координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.

4. Полярная система координат. Декартовы системы коорди­ нат — не единственный способ определять положение точки при по­ мощи чисел. Для этого используются многие другие тины координат­ ных систем. Здесь мы опишем некоторые из них.

На плоскости часто употребляется полярная система координат. Она определена, если задана точка О, называемая полюсом, и исходя­ щий из полюса луч I, который называется полярной осью. Положение