§ 2] |
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ |
241 |
гДе |
'Рх(й) и |
<р2( [3) — произвольные функции интегрирования, |
которые могут |
быть определены из граничных условий. |
|
|
Приведенных здесь окончательных формул (2.14)—(2.23) |
вполне достаточно для определения напряженно-деформирован ного состояния оболочки нулевой гауссовой кривизны. При этом, как было указано выше, произвольные функции интегрирования f{. (|3) и <pf(|3), которые входят в формулы (2.19), (2.22) и (2.23), могут быть определены из граничных условий задачи (см. (1.16) — (1.20)).
В частном случае ортотропной оболочки, когда главные на правления упругости материала оболочки в каждой точке сов падают с направлениями к, [3, if данной точки, т. е. когда а1в= а2в= а зв= 0 , формулы для определения перемещений существенно упрощаются и, согласно (2.20)—(2.23), принимают вид
а
1= ?1+ |
\[ х |
(<*п^1 “Ь а12^1) + |
<hf\ |
— |
|
|
«2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«! |
a* |
J |
|
«2 |
|
“2 |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
- |
В J |
^ j [ i |
(an Ц + , а12:Ц) + |
a13z ] da + |
|
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
|
|
«2 |
«2 |
*1 |
|
|
w |
J L J L |
s |
R |
dB |
. |
|
|
|
|
|
|
в |
d$ |
|
|
|
|
|
+ т |
^ |
+ аЛ + |
|
«1 |
(«иrx+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ « „ П ) + < 4 ,г ] d. - f - i |
|
в j ig . |
+ |
|
|
|
|
|
«2 |
|
242 |
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II |
аа
+Т W В \ W Y f 5 [т («и П + а»П ) + aaZ ] da +
(2.24)
аа
da д Г
02 с/(3 !'НJ ]
Формулы для определения усилий (2.17) — (2.19) остаются неизменными. Они такие же в случае изотропной оболочки. Однако если рассматриваемая задача такова, что для определения
функций интегрирования /,. должны |
быть привлечены фор |
мулы (2.20)—(2.23) или (2.24) (в случае ортотропной оболочки), |
то внутренние усилия, определенные |
формулами (2.17)—(2.19), |
будут отражать характер анизотропии материала оболочки. |
§ 3. Вопросы расчета симметрично нагруженных оболочек |
вращения по безмоментной теории |
Пусть срединная поверхность оболочки является поверхностью вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М срединной поверхности будем определять гауссовыми координа
тами: |
углом ф=р/г и |
меридиональной дугой |
s= а. (рис. |
43 |
и 44) |
(подробности |
о выбранной системе |
координат |
см. |
вгл. I, § 2).
Ввыбранной системе координат для главных кривизн и коэф фициентов первой квадратичной формы имеем
(3.1)
Считается, что оболочка нагружена симметрично относительно
оси вращения, т. |
е. Z ±= X ±(s), |
Y±= Y ±(s), Z±= Z ±(s), |
и |
имеет |
соответствующие, |
симметричные |
относительно |
оси |
|
враще |
ния, граничные условия, которые не зависят от угловой |
коорди |
наты ср. |
|
|
|
|
|
Учитывая сказанное выше, а также тот факт, что в случае |
оболочек вращения i?1= i? 1(s), i?2= i? 2(s), r=r(s), |
0=$(s), |
легко |
§ 3] РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 243
установить, что в случае симметрично нагруженной оболочки вращения внутренние усилия (Tv Т2, S), перемещения (и, v, w)
Рис. 43,
угловой координаты <р.
1. Исходные уравнения и соотношения. Учитывая (3.1), из основных уравнений безмоментной теории оболочек для симмет рично нагруженных оболочек вращения легко получить:
уравнения равновесия:
dT |
|
|
sin & |
-X, |
dSe |
s'n ^ |
■Y, |
dsb + ( T , - T i ) |
|
|
ds |
r |
|
|
|
т __ D V |
|
Ro |
T |
|
|
|
|
|
|
ll2 |
|
|
|
|
|
12 — |
----11» |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x 2= x + + x ~ , Y = Y 2= Y ++ Y -, |
|
Z = Z 2+ A Z ; = Z + + Z - + |
|
|
|
|
+ |
T |
[ i |
(z+ - |
z ‘ ) - |
(x+ - x ~) ^ r ~ ] ; |
соотношения упругости: |
|
|
|
|
|
du |
, |
w |
T |
(aU^1 + |
al2^2 + |
a10^) + |
a13^> ^ |
de |
' |
Ri |
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
у |
(a22^2 |
a12^1 |
a‘ir,S) ~h a23^> |
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds ---- V ~ |
T ( a 16^1 + |
a 26 ^ 2 “ f" a ee*5) + a 36^> |
244 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Z = T Zi + |
T Z',= T (Z+- Z - ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 [ i |
(Х++ |
Х-) - |
(Х+ + |
Х-) |
; |
(3.5) |
расчетные напряжения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__ Т 1 |
_ Т 2 |
|
___S_ |
|
|
(3.6) |
|
|
|
h ’ |
° 9 ~ h ’ Т ' Ч > ~ h ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ = т ( х+- х - ) + 1 ( х ++х~), |
|
|
(3.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = T ( y + - y - ) + i ( r + + n > . |
|
|
от =-, 4 |
(Z+ - |
Z-) + 4 |
[■ £ (Х+ + Х-) |
(Х+ + X ") ^ i ] + |
|
|
+ |
X ( Г + Z-) - |
Л1 [ JL (X * + |
Х -) - |
(X - + |
Х -) - ^ |
] . |
(3.8) |
2. Общий интеграл уравнений безмоментной теории симмет рично нагруженных оболочек вращения. Интегрирование при веденных выше уравнений безмоментной теории анизотропных оболочек вращения, нагруженных симметричной относительно оси вращения ъ нагрузкой, может быть осуществлено элементар ным образом.
Пусть
U = Txr cos &, F = Sr2; |
(3.9) |
тогда из первых двух уравнений равновесия (3.2), с учетом треть его уравнения и представления (3.9), для новых искомых функ
ций U=U(s) и F = F (s) |
получим следующие уравнения: |
|
-з— = |
—г (X cos б -f-Z sin в-), |
|
d V |
г2 У. |
(3.10) |
|
ds |
|
|
|
Интегрируя эти уравнения, найдем |
|
* |
|
(3.11) |
U = — \г (X cos b-\-Z sin Ф) ds -f- U0, |
*o |
8 |
|
|
(3.12) |
V ~ — J r * Y d s + V0, |
где i70 и V0 — постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий, а нижний предел интегрирования $0 считается фиксированным и может быть выбран произвольно.
§ з] РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 245
Подставляя значения U и V из (3.11) и (3.12) в (3.9) и далее в (3.2), придем к следующим выражениям для внутренних сил:
т. — |
|
1 |
|
(3.13) |
J 1 |
Д2 cos2 |
* |
|
|
|
|
тл— |
Rx 1 |
ЬГ( |
-\-R2Z, (3.14) |
1 |
2 |
cos2 |
I |
J |
|
|
|
|
L«o
1 |
$ r2 Y ds — V0 |
(3.15) |
R\cos2& |
|
*0 |
|
Структура этих формул, как и следовало ожидать, ничем не отличается от структуры соответствующих формул классической теории симметрично нагруженной изотропной оболочки вращения. Единственное различие содержится в представлении Z: здесь под нормальной компонентой внешней поверхностной нагрузки надо
подразумевать |
выражение |
(3.3). |
|
Имея значения внутренних сил |
(3.13) — (3.15) и внешнюю |
поверхностную |
нагрузку, |
можно |
определить с помощью фор |
мул (3.6)—(3.8) |
напряжения в оболочке. |
Переходим к определению перемещений. Из первого уравне
ния (3.4), |
учитывая третье уравнение равновесия (3.2), получим |
для нормального перемещения следующее выражение: |
|
w— |
|
|
|
|
^1 “Ь аю^ “Ь а12-^2^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
(3.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
— i?i_^ --j-a13fliZ. |
Подставляя |
выражение |
(3.16) |
во второе |
и третье уравнения |
(3.4) |
|
и при этом учитывая третье уравнение равновесия |
(3.2), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
i |
^2 |
sin 8 |
и = (an — |
2a12A - _j_ a22- A ) A |
+ |
|
|
ds |
' |
Hi |
r |
|
|
|
|
+ ( a16 ' |
R%\ S |
- |
/ |
i?2 \ i?2 |
/7 1 |
|
|
|
|
дГ/ T |
+ |
Г 12~ |
a*2 д г ) ~ r Z + |
|
(3.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( a13 |
a23 |
^ |
|
du , |
|
sin 8 |
v = |
(aie — a2e " ^ ) x |
|
^ ~ha:)eZ |
|
ds ““ |
r |
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
cos & ’ |
|
|
|
(3.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
246 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. И
тогда из (3.17) получим уравнения
d<f , |
0 |
Л2 , |
|Д |\ |
Я, |
Т х |
, |
( |
R 2\ R 2 |
S . |
ds — ( а п — |
2ai2 д^ + а 22 |
щ ) |
г |
h |
+ ( аю « 2 6 |
д ) г |
h |
+ |
|
|
+ ( а 12 ■“ |
а22 |
) 7 Г |
2 |
+ ( а 13 ~ |
«23 д т ) Т * |
(3.19) |
ds = (ai6 — а26 | j ) ^ - + a e6^ - + a2e- § - Z 4 - a 36l ^ .
Интегрируя эти уравнения, придем к следующим выражениям для вновь введенных искомых функций:
' *0 |
da J _j_?Qf |
|
+ ( « 1 2 - a22 £ *)& Z + (a13 - a23 ^ |
(3.20) |
! [ ( а1б_а2вй ) т " +аббт " + |
|
|
1*0 |
|
|
+ a26^ Z + a 36A z ] d a } - H 0, |
(3.21) |
где (p0 и ф0 — постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий оболочки, а нижний предел интегрирования s0 выбирается так же, как в случае статической задачи.
Подставляя значения <р и <|>соответственно из (3.20) и (3.21) в (3.18) и далее в (3.16), получим для искомых перемещений u(s), v(s), w(s) следующие формулы:
а != ^ |
{[(S* » - |
2а* ж + |
1) ¥ |
т- Ч * » - |
а* ъ ) т 5+ |
+ («12 - a22§) £ z+ (а13 - a23|j) ^ |
AZ]daj + ?0 соя », |
(3.22) |
= т { S [ ( ai6 — а2в|^)'71 + |
абб4' + |
|
|
|
|
|
|
+ a26^Z + a3eAz]da}+^0, |
(3.23) |
w= ■ и г - { { |
[ ( аи — 2ai2§ J + « 2 2 s| ) т |
r i + (®16— |
т У ? |
5 + |
+ |
(«12 |
«22 д ^ ) |
Z + |
(« 1 3 --- «23 д ^) ■ “ |
^ S| + |
|
+ ~j~£(«12 «22 Д^) Ti -j- a26S -j- (L12R2Z -j- a^&zj -j- <p0 sin &. (3.24)
§ 3] РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 247
Приведенных выше формул (3.6)—(3.8), (3.13)—(3.15), (3.22)—(3.24) вполне достаточно для расчета анизотропной симметрично нагруженной оболочки вращения. Конечно, при этом мы будем сталкиваться с необходимостью определить по стоянные интегрирования U 0, F0, ср0, ф0, что нетрудно осуще ствить, если граничные условия рассматриваемой задачи изве стны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Несколько слов |
о напряженно-деформированном |
состоянии |
симметрично нагруженной оболочки вращения. |
Выше было |
отме |
чено, что формулы для определения внутренних усилий имеют |
обычную классическую структуру. Что же касается формул для |
определения перемещений, то они принципиально |
отличаются |
от соответствующих формул классической теории симметрично |
нагруженных изотропных оболочек вращения. Здесь, в отличие |
от задачи изотропной оболочки, каждое |
перемещение |
(и, |
v, w) |
в отдельности зависит от всех трех компонент |
(Х*, Y ±, Z *) внеш |
них поверхностных нагрузок. В силу этого легко заметить, что |
когда симметрично нагруженная анизотропная оболочка враще |
ния статически неопределима, т. е. когда граничные условия |
таковы, что постоянные |
интегрирования |
U0, |
V0 не |
могут быть |
определены без помощи |
соотношений |
(3.22)—(3.24), |
то |
каждая |
внутренняя сила ( T v Т 2, |
S) в отдельности тоже зависит от всех |
компонент внешних поверхностных нагрузок. В случае же, |
когда оболочка статически определима, т. е. граничные условия |
таковы, что постоянные интегрирования £/0, |
V 0 определяются |
непосредственно из граничных условий |
и |
соотношений |
(3.13)— |
(3.15) без |
помощи (3.22)—(3.24), то, |
как |
и в изотропных обо |
лочках, компоненты внешней нагрузки |
Х £ |
и Z ± вызывают |
в обо |
лочке лишь внутренние силы Тх и Т2, а компоненты Y ± вызывают |
лишь внутреннюю силу |
S . |
Что же касается перемещений, то они |
(каждое в отдельности) и |
в этом случае зависят от всех трех компо |
нент каждой поверхностной нагрузки. |
|
|
|
|
|
|
|
Картина несколько изменяется в случае ортотропной оболочки |
вращения, т. е. когда в каждой точке оболочки одна из плоско |
стей упругой симметрии параллельна срединной поверхности |
оболочки, а остальные |
две перпендикулярны |
к координатным |
линиям s=const <p=const. В этом случае формулы для внутрен |
них сил |
(3.13) — (3.15) |
остаются без |
изменений, |
а |
формулы |
для перемещений (3.22)—(3.24) принимают вид |
|
|
|
8
(
(3.25)
Н2\В.
248 |
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II |
|
в |
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.25) |
|
+(«i2 - |
М2 + («13 - «2з |
+ |
|
Ч—^ £ ( « 1 2 |
« 2 2 |
^ 1 + « 22^ 2^ + |
« 2 3 ^ j + 'Ро Si Q |
Здесь, как и в случае симметрично нагруженной изотропной оболочки вращения, перемещения u(s) и w(s) вызываются лишь двумя компонентами (X*, Z*) внешних поверхностных нагрузок, а перемещение v(s) — лишь одной компонентой (F ± ) внешних нагрузок. Вообще говоря, в случае симметрично нагруженной ортотропной оболочки вращения компоненты внешних поверх ностных нагрузок Х ± и Z* вызывают лишь внутренние силы Тг и Т2, а компоненты Y ± — лишь внутреннюю силу S.
Наконец, отметим, что первая группа формул (3.6)—(3.8), (3.13)—(3.15), отвечающая статической задаче симметрично нагруженной оболочки вращения, содержит две постоянные интегрирования ( U0, F0), а вторая группа формул (3.22)—(3.24) или (3.25), отвечающая геометрической задаче симметрично нагру женной оболочки вращения, содержит четыре постоянные интегри рования ( U0, F0, <р0, ф0). Отсюда, как и в случае изотропной обо лочки, для определенности решения поставленной задачи на каж дом из двух ограничивающих оболочку параллельных торцевых кругов должно быть задано по два граничных условия. Из этих граничных условий по крайней мере два должны быть заданы в пе ремещениях, иначе оболочка будет смещаться, как твердое тело.
Вчастном случае, когда оболочка вращения имеет один край,
т.е. оболочка имеет одну замкнутую вершину, количество гранич ных условий уменьшается вдвое.
§4. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения ортотропной симметрично собранной слоистой или однородной
оболочки вращения. О частном решении неоднородного уравнения
Разрешающее уравнение симметрично нагруженной ортотроп ной оболочки вращения имеет вид (1.2.24), (1.2.25)
d*a |
sin & da |
^ sir” 1' |
г 'ч |
" |
11 |
ds2 r ds
S 4) |
ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА |
249 |
где искомой является комплексная функция о (s), которая |
в рас |
крытой форме записывается следующим образом: |
|
|
|
' W i S |
r 1'- |
|
<4-2> |
Имея значения функций W(s) и F(s), с помощью |
формул |
(1.2.6), |
(1.2.11), |
(1.2.15) (1.2.16), |
(1.2.22), |
(1.10.8) |
можно |
опре |
делить все расчетные величины. |
|
|
|
1. |
Об определении |
частного |
решения |
уравнения (4.1). |
Частное решение линейного уравнения (4.1) может быть опреде лено обычным образом. Как показывают многочисленные иссле дования, во многих случаях частное решение неоднородного урав нения (4.1) может быть построено по безмоментной теории. В част ности, это можно сделать, если внешняя нагрузка, срединная поверхность и толщина оболочки изменяются достаточно плавно, при этом срединная поверхность не содержит окрестностей осо бых точек.
Из основного положения безмоментной теории симметрично
нагруженной оболочки вращения имеем |
|
|
|
Л/х = 0, |
А/2 = |
0, |
N = 0. |
|
(4.3) |
Согласно (4.3) из (1.2.11) |
и |
(1.2.16), |
как частный интеграл |
неоднородной системы разрешающих уравнений |
(1.2.17), (1.2.18), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
W* = 0, |
V* = --- £Ц-. |
|
(4.4) |
|
|
|
|
COS О |
|
' |
' |
Далее, на основании |
(4.4) из (4.2) для |
частного решения не |
однородного уравнения |
(4.1) |
будем иметь |
|
|
|
* |
L <" 11 |
i f |
^0 |
^2 |
|
|
(4.5) |
О |
|
|
|
Ц) |
У С ц О ц |
cos & * |
|
|
Значения усилий Тх и Тг, отвечающие частному решению (4.5), определим с помощью формул (1.2.11). После некоторых преобразований найдем
|
1 |
— — ^ г (X cos & -f- Z |
sin &) ds |
, |
|
Л 2 COS2 |
|
& |
J |
|
|
|
»o |
.(4.6) |
|
|
|
|
|
1 |
^ г (X cos & -j- Z sin b)ds — ~ |
-j- B2Z; |
|
|
Я г cos2 Ь
J
при этом, как и раньше, |
|
р°, = (У? COS &0 + № sin &0) 2КГЭ, |
(4.7) |
а величины с нуликами представляют значения соответствующих параметров у края s=s0 (рис. 19).
250 |
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II |
|
Значения Тх* и Т2* могут быть получены непосредственно |
из |
соответствующих формул безмоментной теории оболочек вра |
щения. Из (3.13) и (3.14), с помощью (1.2.12), (1.2.13), после некоторых преобразований для Тг* и Т2* получим формулы (4.6).
2. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения
(4.1) . Полагая, что частное решение неоднородного уравнения
(4.1) точно или приближенно построено, здесь будем заниматься лишь вопросами нахождения общего решения соответствующего
однородного уравнения, |
которое, |
очевидно, |
имеет вид |
|
d 2a |
sin Ь da |
^ sin2 Ь |
, |
i Г |
Q0 |
а |
__ |
(4.8) |
IT2 |
~ T S~ K~ ~ a' T t y |
|
|
— |
|
|
|
где равенство |
\=C22fCll = D 22/D11 |
для |
однородной оболочки |
удовлетворяется |
точно, |
а для |
многослойной |
оболочки — при |
ближенно. В частном случае многослойной оболочки, когда отно шение В'22/В\j для всех слоев оболочки имеет одинаковое значение, указанное выше равенство также удовлетворяется точно. К этому равенству еще раз вернемся чуть позже.
Учитывая (1.1.25), |
(1.2.15), |
(1.10.16), |
(1.10.17), |
можно |
показать, что множителем последнего члена уравнения |
(4.8) для |
многих типов тонких оболочек является большой параметр |
А = |
у |
|
|
(4.9) |
|
С ц В ц |
|
|
|
где а и Ъ — некоторые постоянные, |
которые имеют размерность |
Bik и зависят от упругих и геометрических |
(в случае слоистых |
оболочек) характеристик оболочки; h — величина, характеризую щая толщину оболочки. Вводя новое обозначение
|
к* = |
А, |
k = y f - jh r 'K |
|
(4.10) |
перепишем однородное уравнение (4. 8)- следующим образом: |
d2a |
sin & da |
. sin2d |
. |
i&2 |
n |
(4.11) |
ds2 |
r |
ds |
r 2 |
° ‘ |
h R 2 G |
|
|
|
В силу сказанного выше можно утверждать что коэффициентом |
последнего члена |
уравнения (4.11) |
является |
большой параметр, |
поэтому для определения быстро изменяющихся решений может быть использован метод асимптотического интегрирования. Оче видно, в частном случае, когда отношение Ыа таково, что пара метр А нельзя считать большим, метод асимптотического интегри рования, вообще говоря, не может быть использован для нахожде ния решений уравнения (4.11).
Полагая, что А =к2 является большим параметром, интегралы уравнения (4.11) будем искать в виде
a — cp(s, U ) e k f w , |
(4 .12) |
