книги / Общая теория анизотропных оболочек

Из последующих двух уравнений равновесия (14.52), учиты­ вая значения моментов (14.58), получим для поперечных сил сле­ дующие выражения:

n r = — fr \ l ( D - D ° ) w - d 129],

(14.00)

Nb = -T ^ ^ [(D -D ° )w -d a9],

где для оператора Дг имеем

Подставляя значения поперечных сил (14.60) в уравнение равновесия (14.55), а значения деформаций и компонент измене­ ния кривизны соответственно из (14.56) и (14.51), с учетом (14.54), — в уравнение неразрывности деформаций (14.53), полу­ чим следующую систему разрешающих дифференциальных уравне­ ний задачи:

В частном случае, когда оболочка собрана из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно среднего слоя, и координатная поверхность у= 0 совпадает со срединной по­

верхностью оболочки, система уравнений (14.62) несколько упро­ щается. В этом случае, как нетрудно заметить, жесткости взаим­ ного влияния К .к обращаются в нуль, вследствие чего нулями ста­

новятся и жесткости D°.k и dik. Тогда, вместо системы уравнений

(14. 62), получим новую, упрощенную систему разрешающих уравнений:

DArArw-\--^Ar9 = Z,

(14.63)

4 п ДА 9 — =

Система разрешающих дифференциальных уравнений (14.63) отличается от соответствующей системы разрешающих уравнений однородной сферической оболочки лишь приведенными жестко­

мере, продемонстрировать ход получения разрешающих уравне­ ний в случае пологих оболочек.

прогиба. Здесь приводятся основные уравнения и некоторые расчетные формулы теории многослойных весьма пологих анизо­ тропных оболочек в случае, когда перемещения оболочки соизме­ римы с ее общей толщиной h.

Как обычно, эта теория строится в предположении, что по срав­ нению с единицей малы не только деформации, но и углы поворота.

Не вдаваясь в подробности, которые достаточно полно приве­ дены в п. 3 § 5, здесь запишем лишь окончательные результаты.

Разрешающая система нелинейных дифференциальных уравне­ ний будет иметь следующий вид:

Очевидно, система уравнений (14. 64) отличается от соответ­ ствующей системы линейной теории (14. 22) лишь двумя опера­ торами L (w, (р) и L (w, w), которые появились вследствие учета

больших перемещений оболочки и имеют вид

т / . . \ 1 Г<?2ic j r?2<f 0 d2<p d2w 1

в слоях оболочки, то они могут быть определены с помощью обыч­ ных формул (10.8), (14.24) и (14.25).

§ 15. Основные уравнения и соотношения теории анизотропных слоистых оболочек со слоями переменной толщины

Пусть оболочка составлена из m +n однородных анизотропных

контакта г и г+ 1 слоев, а внешние ограничивающие поверхности —

уравнениями т = М а, Р)=0, Т= &»■+„(“> р) (рис. 40).

Пусть, далее, в каждой точке каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная коорди­ натной поверхности у = 0.

Из основной гипотезы недеформируемых нормалей, справедли­ вой для всего пакета оболочки в целом, очевидно следует, что и в этом случае имеютместо соотношения (10.1)—(10.6). Неизмен­ ными остаются также геометрические условия контакта смежных слоев (10.11).

Условия контакта для напряжений можно записать в виде: при т = 8,- (“, Р)

Пусть векторами напряжений, под действием которых нахо­ дится выделенный дифференциальный элемент оболочки, являются

где r { — орты выбранной системы координат (рис. 2).

Главный вектор 22 и главрый момент М всех сил, действующих

где H { — коэффициенты Ламе, Р — радиус-вектор координатной поверхности т=0 , Р * — радиус-вектор поверхности у = 8 (а , р).

В последующем для получения уравнений равновесия элемента оболочки с конечной толщиной h необходимо будет пользоваться условиями (15.1)—(15.3). Поэтому небезынтересно знать значения F \, представленные через компоненты тензора напряжений,

а именно:

—1 р * v р *

я— | p % x jP !Pl

Рассматривая условия равновесия элемента, из (15.6) после некоторых преобразований получим известные уравнения равно­ весия дифференциального элемента i-ro слоя оболочки:

(Н2°Ц . + ( Я ^ Ь + (ЯгЯ2^ ) 1Т- о*Я2>. +

+ и * 1 . , + Ъ * А . т = о .

210 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

Из условия равенства нулю главного момента (15.7), после се­ рии преобразований (схема которых приводилась выше при рас­ смотрении главного вектора), получим