книги / Общая теория анизотропных оболочек

в дальнейшем ограничиваться лишь первым приближением асим­ птотического интегрирования уравнения (2.24), можно утвер­ ждать, что ограничивающее предположение X = С 221Сц — D22/Dn

Рассмотрим многослойную тонкую оболочку постоянной общей толщины h, собранную из произвольного числа однородных анизо­ тропных слоев также постоянной толщины t. = h{ (рис. 34).

Координатная поверхность у = 0 может проходить внутри какого-либо i-ro слоя или, в частности, может совпадать с какой-

Принимая гипотезу недеформируемых нормалей, мы, как было указано для случая симметрично собранной слоистой оболочки, существенно упрощаем вопрос построения деформационной модели оболочки. Все характеристики деформации и перемеще­ ния каждого слоя получаются из элементов геометрии оболочки и перемещений координатной поверхности у = 0 приведенной оболочки.

Очевидно, что из результатов классической теории оболочек, составленных из произвольного числа слоев, легко получить все основные уравнения и расчетные формулы классической теории

соотношения упругости. Несимметричное расположение слоев от­ носительно координатной поверхности у = 0 вносит свои кор­ рективы в соотношения упругости.

Из условий статической эквивалентности напряжений и внут­ ренних усилий для внутренних сил и моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий,

1 11] О БО ЛО ЧКИ , С О БРА Н Н Ы Е И З АН И ЗО ТРО П Н Ы Х СЛО ЕВ 165

В частности, когда координатная поверхность у = 0 совпа­ дает с нижней поверхностью оболочки, А превращается в нуль и для жесткостей Kjk и DJk получим более простые формулы:

Рассматривая соотношения упругости (11.2), замечаем, что они находятся в противоречии с шестым уравнением равновесия (1.23), которое, как известно, является тождеством. Однако это противоречие можно устранить, видоизменив соотношения упру­ гости для S12 и <S21. Несколько увеличив точность этих представ­ лений, получим

(11. 8) для S jk, получим простые соотношения упругости, которые не содержат формальных противоречий.

Полученные здесь соотношения упругости (11.2), (11.8) прин­ ципиально отличаются от ранее рассмотренных (1.24), (1.26), (10.15). Дело в том, что здесь в соотношениях упругости фигури­ руют члены с коэффициентами K jk, характеризующие влияние изменений кривизны и кручения на тангенциальные силы и влия­ ние деформаций удлинения и сдвига —. на моменты. Очевидно, такое взаимовлияние будет иметь место в общем случае слоистой оболочки безотносительно к геометрии координатной поверхности у = 0, которая, по сути дела, характеризует тип оболочки.

Рассматривая формулы для К^к, замечаем, что в случае одно­ родной оболочки и слоистой симметрично собранной оболочки, когда координатная поверхность у = 0 совпадает со срединной поверхностью, жесткости K jk превращаются в нуль и исчезает указанное выше взаимовлияние. Очевидно, рассмотренное взаимо­ влияние не будет иметь места во всех случаях слоистой обо­ лочки, если К -к = 0.

должны заново построить разрешающие уравнения и записать расчетные формулы для отдельных типов оболочек, собранных из произвольного числа анизотропных слоев, произвольно рас­ положенных относительно координатной поверхности у = 0. Если в окончательных представлениях не учитывать члены с К^к, то это может привести к недопустимым погрешностям. В этом нетрудно убедиться, рассматривая окончательное выражение потенциальной энергии деформации

можно получить неверные результаты. Однако следует учесть, что в некоторых случаях многослойных оболочек возможно пре­ небречь указанными членами, и это не приведет к существенным погрешностям.

Ниже приводятся разрешающие уравнения и расчетные фор­ мулы классической теории для различных типов анизотропных слоистых оболочек, составленных из произвольного числа слоев, произвольно расположенных относительно координатной поверх­ ности у = 0.

Подробный ход получения этих уравнений и расчетных формул читатель найдет в соответствующих параграфах первой главы и в монографии автора «Теория анизотропных оболочек».

§ 12. Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической теории

симметрично-нагруженных ортотропных оболочек вращения, составленных из произвольного числа слоев

Рассмотрим ортотропную оболочку, координатная поверх­ ность (у = 0) которой является поверхностью вращения с осью симметрии z и совпадает с внутренней поверхностью оболочки, т. е. Л = 0 (рис. 16, 17, 35, 36). Предполагается, что оболочка

§ 12] ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ 167

составлена из слоев, материалы которых ортотропны и располо­ жены так, что в каждой точке слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна координатной поверхности, а остальные две перпендикулярны к соответствующим меридианам и парал­ лелям. Таким образом, оболочка в целом представляет собой ортотропное тело вращения, обладающее ортотропной анизотропией вращения.

сти, проведенной через точку М и ось вращения z, и меридиональной дугой

оболочка будет деформироваться, оста­ ваясь телом вращения, поэтому вну­ тренние силы, моменты и перемещения ее не будут функциями угловой коор­

динаты <р. В такой оболочке возникнут лишь внутренние силы

Метод получения разрешающих уравнений и расчетных фор­ мул для оболочек рассматриваемого типа подробно изложен в § 2. Не вдаваясь в подробности, приводим окончательные резуль­ таты, которых достаточно для решения различных задач по опре­ делению напряженно-деформированного состояния различных типов многослойных оболочек вращения.

1. Разрешающие уравнения и граничные условия. Разрешаю щие уравнения записываются относительно двух искомых функ­