книги / Общая теория анизотропных оболочек

Уравнение (4.10) является недостающим вторым уравнением искомой системы. Оно представлено с помощью искомого переме­ щения w (я, р) и компонент деформаций е;, ю, которые согласно (4.2)—(4.6) являются функциями как нормального перемещения w (я, р), так и искомой функции напряжений tp (я, р).

Подставляя значения х., т из (4.5) в соответствующие соот­ ношения упругости (4.2), получим для моментов следующие выражения:

При рассмотрении симметрично собранных слоистых оболочек

здесь, как и раньше, i = l, 2 , 6, у= 1, 2 , 6, Л 1в= Л в1= Л 26= Л ю= 0. Подставляя значения М (, Н из (4.11) в уравнение равнове­ сия (4.7), а значения в,., <о — из (4.13) в уравнение неразрыв­ ности деформаций (4.10), получим окончательную разрешающую систему двух дифференциальных уравнений относительно двух

искомых функций w (я, р) и <р(я, р):

+i^HI‘4/'0“)l+5iw<0«)i+

Таким образом, мы получили разрешающую систему диффе­ ренциальных уравнений, которая совместно с соответствующими граничными условиями может быть использована для определе­ ния искомых функций задачи, т. е. функции напряжений tp (а, р) и

выше уравнений и формул можно определить все расчетные величины рассмотренной ортотропной сферической оболочки.

тропной сферической оболочки в географической системе коор­ динат. Если срединная поверхность сферической оболочки отне-

сена к ортогональной географической системе координат а, р, так что координата а является широтой, а р — долготой, то для коэффициентов первой квадратичной формы будем иметь

отождествляется с аналогичным выражением первой квадратич­ ной формы на плоскости. В этом случае уравнение Гаусса (2) за­ меняется приближенным равенством

( r * . ) . . + ( j 4 , ) . , = ° = М

которое, конечно, точно удовлетворяется для поверхностей нуле­ вой гауссовой кривизны.

Отсюда легко сообразить, что равенство (5.2) приближенно выполняется на любом достаточно малом участке произвольной поверхности, если соответствую­ щим образом выбрана система ортогональных криволинейных ко­ ординат а, (3, т. е. если система координат выбрана так, что вы­ полняется сильное неравенство

AB/RtR2 ^ 1.

Например, сфера радиуса R, отнесенная к географической си­ стеме координат (рис. 24), задается уравнением

х= R sin & сой ®,

у= R sin & sin <р,

где tp и &— углы широты и долготы. Первая квадратичная форма в этом случае имеет вид

ds2— R2d&2-j- R2sin2 & df2,

откуда

Rl = R 2= R, A = R, B — R sin &, ABjRJi 2 = sin

Последняя величина вблизи полюса, при малых 9, становится малой, и можно считать, что в достаточно малой части поверхности сферы, вблизи полюса, равенство (5.2) выполняется с необхо­ димой точностью. Но это равенство заведомо не будет выполняться в любой точке экватора, т. е. для точек с углом &»гс/2, если даже рассматриваемая часть поверхности весьма мала. Очевидно, вблизи таких точек надо соответствующим образом изменить систему координат, например, можно в рассматриваемую точку пере­ нести полюс.

(5.6), зачастую истолковывается как теория оболочек с большим показателем изменяемости. _

Такое двойственное истолкование теории, базирующейся на формулах (5.3)—(5.6), существенно расширило области ее при­ менения. Эта теория может быть использована при рассмотрении задач пологих оболочек, оболочек нулевой гауссовой кривизны, не имеющих особенностей, при рассмотрении задач о построении простого краевого эффекта, при исследовании локальной устой­ чивости произвольных оболочек и т. д.

Таким образом, истолкование приближенной теории оболочек, базирующейся на соотношениях и уравнениях (5.3)—(5.6), как теории оболочек с большим показателем изменяемости или как теории пологих оболочек, будучи совершенно верным, не отражает широких возможностей этой теории. С этой точки зре­ ния название настоящего параграфа носит формальный характер.

жалуй, это наиболее важный случай с точки зрения приложений. Полагая

(5.7)

где<р=ср(к, р ) — искомая функция напряжения, тождественно (с точностью строящейся приближенной теории) удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (5. 3) (при X = Y =0), а из третьего уравнения получим

(5.8)

Решая соотношения упругости (5.4) относительно компонент деформаций и учитывая (5.7), будем иметь

70 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

где

В случае симметрично собранных слоистых оболочек для A ik необходимо использовать более общие формулы:

•^11 = ( ^ 2 2 ^ 6 6 ^ 2 в ) ^ Г 1» Л б = ( ^ 1 2 ^ 2 6 ^ 1 6 ^ 2 2 ) Л

+ ^ м а д - ^ м д п ) } ^

Подставляя выражения (5.13) для поперечных сил в уравнение равновесия (5.8), а выражения деформаций и компонент измене­ ния кривизны и кручения соответственно из (5.9) и (5.5) в урав­ нение неразрывности (5.6), получим следующую систему разре­ шающих дифференциальных уравнений задачи: