книги / Общая теория анизотропных оболочек

ВВЕДЕНИЕ

В современной технике — строительном деле, самолетострое­ нии, кораблестроении, ракетостроении и т. д. — в качестве рациональных конструкций и конструктивных элементов приме­ няются оболочки. Они в громадном большинстве случаев естест­ венно или конструктивно анизотропны. Большинство анизотроп­ ных оболочек одновременно и слоисты.

Широкое распространение анизотропных слоистых оболочек вызывает большой интерес к теории анизотропных оболочек.

Задачей теории анизотропных слоистых оболочек, как и за­ дачей теории оболочек вообще, является изучение прочности, деформативности, устойчивости и колебаний оболочек, изготов­ ленных из различных материалов и находящихся в различных условиях эксплуатации.

Особый интерес теория анизотропных слоистых оболочек при­ обретает при рассмотрении оболочек, изготовленных из новых конструкционных материалов.

Следует отметить также, что результаты, полученные по тео­ рии анизотропных слоистых оболочек, могут быть использованы в частном случае изотропных оболочек. При этом, исходя из специфичных положений теории анизотропных оболочек, можно получить новые результаты и в теории изотропных оболочек.§

§1. Определения

Вмеханике сплошных твердых деформируемых сред оболочкой принято называть тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими его размерами.

Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих обра­ зующих оболочку поверхностей, называют срединной поверх­ ностью оболочки.

Пусть срединная поверхность оболочки отнесена к криволи­ нейной ортогональной системе координат а и |3, и пусть это сде­ лано так, что координатные линии а и р совпадают с линиями глав­ ной кривизны срединной поверхности оболочки (рис. 1).

поверхности оболочки и ограниченного образующими оболочку

чательно будет установлена лишь в последующем. Однако для лучшей ориентации предварительно укажем, что для изотропной оболочки е^0,1. Второе условие, заимствованное из теории анизо­ тропных пластинок, является обязательным, так как если тон­ кую оболочку определять только с точки зрения отношения тол­ щины оболочки к минимальному радиусу кривизны координатной поверхности (первое условие), то оболочка с точки зрения теории пластинок (второе условие) может оказаться толстой.

В этой книге мы будем заниматься только тонкими оболочками и будем строить лишь теории тонких анизотропных оболочек.

14 ВВЕДЕНИЕ

§ 2. Криволинейная анизотропия. Обобщенный закон Гука

Изучая распределения напряжений и деформаций в анизотроп­ ной оболочке, мы будем полагать, что тело оболочки в процессе деформации остается упругим и подчиняется обобщенному закону Гука, данному для анизотропного

тела.

Тело, вообще говоря, называет­ ся анизотропным, когда оно по раз­ ным направлениям имеет разные физико-механические свойства.

Анизотропные однородные тела, в которых все параллельные направ­ ления, проведенные через разные точки, являются эквивалентными в отношении физико-механических свойств, называются телами с пря­ молинейной анизотропией. В этом случае все одинаковые и одинаково

направленные элементы в виде прямоугольных параллелепипедов, выделенные в разных местах тела, являются идентичными — обладают одинаковыми свойствами. Таковыми являются, напри­ мер, для случая тела с прямоли­

ках тела тремя парами координатных поверхностей, обладают одинаковыми свойствами. Таковы, например, элементы 1 ,2 3 на рис. 6.

В общем случае однородного криволинейно анизотропного тела обобщенный закон Гука в системе триортогональных коор­

динат а, (3, у имеет следующий вид:

где а,.&— упругие постоянные (коэффициенты деформации); не­ зависимых упругих постоянных всего 21.

Здесь и в последующем, как обычно, приняты следующие обо­ значения: е( — относительные деформации удлинения, е{к — де­ формации сдвига, о. — нормальные напряжения, х{к — касатель­ ные напряжения.

Когда анизотропное тело обладает упругой симметрией, то уравнения обобщенного закона Гука упрощаются. Укажем не­

имеется плоскость, обладающая тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, экви­ валентны в отношении упругих свойств.

Предполагая, что координата у в каждой точке криволинейно анизотропного тела перпендикулярна к плоскости упругой сим­ метрии, получим

В этом случае число независимых упругих постоянных а.к сокращается до тринадцати.

Направления, перпендикулярные к плоскостям упругой сим­ метрии, называются главными направлениями упругости. В об­ суждаемом случае упругой симметрии через каждую точку тела проходит одно главное направление.

2. Три плоскости упругой симметрии. Ортотропное тело. Пусть через каждую точку тела проходят три взаимно ортогональные плоскости упругой симметрии. Предполагая, что в каждой точке криволинейно анизотропного тела эти плоскости перпендику­

16 ВВЕДЕНИЕ

лярны к соответствующим ортогональным координатным направ­ лениям а, (3, у, получим

В этом случае число независимых упругих постоянных aik равно девяти.

Уравнения (7) могут быть представлены и с помощью техни­

■»31

С12

Здесь в силу симметрии уравнений (8) существуют зависимости

циенты Пуассона, характеризующие поперечное сокращение (рас­ ширение) при растяжении (сжатии) в направлении координатных линий (первый индекс показывает направление сокращения или расширения, второй индекс — направление действия силы).

3. Плоскость изотропии. Трансверсально изотропное тело Пусть через каждую точку тела проходит плоскость, в которой все направления упруго эквивалентны. Предполагая, что в криво­ линейно анизотропном теле координата у в каждой точке перпен­ дикулярна к плоскости изотропии (в последующем нас будет интересовать именно такое расположение системы координат), получим

/

В этом случае число независимых упругих постоянных равно пяти, ибо а66= 2 (яц—

представлено следующими тремя проекциями вектора полного перемещения на направления касательных к координатным ли­ ниям а, р, у (рис. 7):

Деформированное состояние тела оболочки в окрестности точки М ( а, р, у) характеризуется шестью составляющими деформации, которые связаны с перемещениями точки М посредством извест­ ных соотношений:

Уравнения равновесия дифференциального элемента da dp dy, выделенного из тела оболочки, выглядят следующим образом:

Присоединяя к приведенному выше условия на поверхности, можно приступить к построению теории анизотропных оболочек в ли­ нейной постановке.

Вопросы нелинейной теории анизотропных оболочек нас будут интересовать лишь частично, поэтому общие вопросы теории бу­ дем излагать в линейной постановке.

§ 4. Основные гипотезы

Очевидно, построение общей теории анизотропных оболочек в рамках трехмерной задачи теории упругости сопряжено с почти непреодолимыми трудностями. Поэтому исследователи анизотроп­ ных оболочек идут по пути сведения трехмерной задачи теории оболочек к двухмерной задаче, т. е. по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двухмерным уравнениям теории оболочек.

Для решения.этой проблемы было предложено большое число методов. Они могут быть представлены: а) методом гипотез; б) методом разложений по толщине; в) асимптотическим методом.

Здесь без обсуждения других методов на основании метода ги­ потез будут построены различные теории анизотропных оболочек. Мы считаем, что метод гипотез, наряду с чрезвычайной нагляд­ ностью, очень быстро и относительно просто приводит к оконча­ тельным результатам и прикладным рекомендациям.

Имеет ли метод гипотез недостатки? Да, имеет, и основной из

Будем полагать также, что материал оболочки таков, что в каж­ дой точке оболочки имеется по меньшей мере одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности обо­ лочки.

Более общие случаи анизотропии здесь вовсе не будут обсуж­ даться.

Таким образом, в последующем в общем случае будем пользо­ ваться обобщенным законом Гука (6), т. е. уравнениями, описы­ вающими анизотропное тело, которое в каждой точке имеет лишь одно главное направление упругости.

мент оболочки после деформации оболочки остается прямолиней­ ным, нормальным к деформированной срединной поверхности и сохраняет свою длину;

ных срединной поверхности, можно пренебречь.

Таким образом, в силу принятых предположений можно счи­ тать, что из шести соотношений (15) третье, четвертое и пятое соотношения могут быть заменены следующими приближенными

которые формально равносильны допущению, что деформация оболочки в целом происходит без деформаций сдвига eoJ, epj в пло­

пренебречь лишь в уравнениях обобщенного закона Гука. В урав­ нениях же равновесия напряжением <зу пренебрегать нельзя,

и оно при необходимости определяется из третьего уравнения системы (16).

щих напряжений, найденных по гипотезе недеформируемых нор­ малей, т. е. от соответствующих напряжений классической теории; б) нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение

ыт не зависит от координаты т; в) нормальными напряжениями а на площадках, параллель­

ных срединной поверхности, можно пренебречь.

Принимая приведенные гипотезы, мы приближенно полагаем

ных срединной поверхности, можно пренебречь.