книги / Общая теория анизотропных оболочек

главе. Поэтому по ходу изложения классической теории одно­ родных оболочек, там, где крайне необходимо, будем делать некоторые указания, которые имеют отношение к теории слоистых оболочек.

§ 2. Классическая теория симметрично нагруженных ортотропных оболочек вращения

Рассмотрим ортотропную оболочку, срединная поверхность которой является поверхностью вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М срединной поверхности оболочки будем определять гауссовскими координатами: углом <p=|J/r, яв­ ляющимся азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось

величины: радиус г—расстояние ММ2от точки М срединной поверх­ ности до оси вращения z и & — угол между касательной к ме­ ридиану и осью вращения z (рис. 17).

В выбранной системе координат для главных кривизн средин­

где R1= R 1 (s) — радиус кривизны меридиана (первый главный радиус кривизны поверхности); R 2= R 2(s) — второй главный радиус кривизны поверхности вращения, представляющий длину отрезка нормали к срединной поверхности до оси вращения.

Очевидно, что для кривизны меридиана в общем случае будем

иметь формулу у- — — е^ , s = — 1 , если меридиан обращен

к оси z вогнутостью (рис. 18, а) и в = —j—1 , если он обращен к оси z выпуклостью (рис. 18,6); рх — ра­ диус кривизны меридиана. Форму­ ла (2 . 1) для к2остается неизменной для показанных на рис. 18 двух слу­ чаев.

Для квадрата линейного элемен­ та рассматриваемой поверхности вра­ щения имеем

что же касается коэффициентов пер­ вой квадратичной формы, то, очевид­ но, будем иметь

Рис. 18.

А = 1, В = i?2 cos& = r. (2.3)

Укажем также некоторые соотношения, которые характери­ зуют поверхность вращения и будут использованы в дальнейшем:

Первые формулы определяют угол &; если точка М движется вдоль меридиана в сторону возрастания дуги s (или координаты z), то

рично относительно оси вращения, т. е. Х = Х (s), Z = Z (s), Y =0, и имеет соответствующие, симметричные относительно оси вра­ щения, граничные условия. Далее, полагается, что ортотропный материал оболочки расположен так, что в каждой точке одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверх­ ности оболочки, а остальные две перпендикулярны к соответствую­ щим меридианам ((p=const) и параллелям (s=const). Очевидно, такая оболочка в целом представляет собой ортотропное тело вра­ щения, обладающее анизотропией вращения.

Так как при этом оболочка будет деформироваться, оставаясь телом вращения, то внутренние силы, моменты и перемещения ее

Ft (s) являются функциями от внешней поверхностной нагрузки и определяются формулами

Решая соотношения упругости относительно деформаций ех и е2, при этом учитывая (2 .11), получим

(2.15)

2 о— СцСгъ' ■CW.

В силу [(2.6) для моментов будем иметь

46 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

Здесь е%— постоянная, определяющая жесткое смещение обо­ лочки вдоль оси z.

Введением новой искомой комплексной функции a (s), которая посредством искомых функций W и V представляется формулой

< 2 - 2 з >

система разрешающих уравнений (2.17) и (2.18) с точностью клас­ сической теории может быть приведена к одному дифференциаль­ ному уравнению второго порядка относительно искомой комплекс­

ничных условий. Очевидно, края оболочки вращения будут опре­ деляться линиями s=const.

Для оболочек вращения некоторые рассмотренные выше гра­ ничные условия могут быть записаны следующим образом:

Поведение краев оболочки в осевом направлении характеризу­ ется постоянными Р® и е®. Если один из краев может свободно перемещаться в осевом направлении, постоянная Р® — осевое усилие — при этом задается. Она может быть и нулем. Постоян­ ная Р® может быть принята равной нулю или оставлена неопре­ деленной. Если оба края оболочки (скажем, s=s0 и s=sx) не должны перемещаться в осевом направлении, постоянная е® может быть

принята равной нулю, а Рйг должна быть определена из условия обращения в нуль осевого перемещения на втором крае.

В случае, когда оболочка имеет один край, число произвольных постоянных, подлежащих определению, уменьшается на два.

§ 3. Классическая теория анизотропных круговых цилиндрических оболочек

Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка, изго­ товленная из анизотропного материала, в каждой точке которого имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки.

Принимается, что а и р являются ортогональными координатами, сов­ падающими с линиями главной кри­ визны срединной поверхности, т. е. с прямолинейными образующими (P=const) и с направляющими ду­ гами (a=const) цилиндрической сре­ динной поверхности.

Если под а и р подразумевать соответственно длину образующей и

длину дуги направляющего круга (рис. 21), то коэффициенты первой квадратичной формы А, В и главные радиусы кривизны Rv

где R — радиус кривизны ци­ линдра.

Если же пользоваться без­ размерными координатами sи б, из которых s = a — безразмерная длина прямолинейной образую­ щей, а &= р — безразмерная дли­ на дуги направляющего круга,

т. е. центральный угол поперечной дуги, отсчитываемый от некото­ рой начальной прямолинейной образующей (рис. 22), то для коэф­ фициентов первой квадратичной формы и главных радиусов кри­ визны координатной поверхности будем иметь

В каждом случае, исходя из удобств выкладок, мы будем брать или систему координат первого вида (3.1), или второго вида (3.2).

48 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

В связи с этим, при изложении общей теории, коэффициенты А и В оставляем без расшифровки, но при этом не забываем, что они, а также # 2= # являются величинами постоянными.

Из общих уравнений и соотношений классической теории, приведенных в § 2 , для анизотропных круговых цилиндрических

1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Подставляя значения компонент деформаций ех, . . ., т из (3.4) в (3.5), полу­ чим для внутренних сил и моментов следующие выражения: