книги / Общая теория анизотропных оболочек

внутренних тангенциальных (Тг, Т2, S12, S21) и поперечных (Nlt N z) сил, а также для изгибающих (M lt и крутящих (Я 12, Я 21) моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, получим следующие формулы (рис. 12, 13):

Заменяя напряжения статически эквивалентными им силами и моментами, в дальнейшем взамен произвольного трехмерного элемента оболочки будем рассматривать соответствующий двух­ мерный элемент срединной поверхности под действием приведен­ ных внутренних сил и моментов. При этом рассматриваемому элементу координатной поверхности оболочки будут придаваться приведенные физико-механические характеристики соответствую­ щего трехмерного элемента оболочки. Положительные направления внутренних сил и моментов показаны на рис. 12 и 13.

5. Еще раз о деформациях и напряжениях. Ограничиваясь точностью классической теории, из (1. 15) в силу (1. 10) для основ­ ных напряжений оболочки легко получить следующие формулы:

^ ■ f + V 2, Т.

отсюда ввиду того, что 'свр = ^ к, с точностью классической теории имеем Sl2= S 21= S , Я 12= Я 21= Я .

Подставляя значения напряжений из (1. 16) в (1.12) и произ­ водя требуемые преобразования с учетом (1. 13), найдем, что

Далее, используя выражения (1. 17), из третьего уравнения (1. 12) с учетом (1. 13) получим для нормального напряжения от следую­ щее выражение:

Имея значения всех напряжений, легко найти значение де­ формации ет. Подставляя значения соответствующих напряжений

в третье уравнение обобщенного закона Гука (6), получим

Полученные в этом пункте результаты с точки зрения класси­ ческой теории никакого интереса не представляют. Они демонстри­ руют лишь те противоречия, которые имеют место в классической теории. Например, вначале, при построении классической теории, исходя из исходной геометрической гипотезы (1. 1), мы прибли­ женно принимали «т= 0 . Теперь же, исходя из напряженного со­

Несмотря на сказанное, эти результаты весьма важны с точки зрения построения уточненных теорий и будут использованы

впоследующем.

6.Уравнения равновесия. Уравнения равновесия дифферен­ циального элемента оболочки ABdad^df были приведены во

введении. Однако в дальнейшем, как и в теории пластин или изо­ тропных оболочек, нас будут интересовать уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки АВ da d$h с конечной, толщиной А.

Формулами (1.22) внешние силы приведены к статически экви­ валентным им силам, приложенным к срединной поверхности соот­ ветствующего элемента оболочки. При этом, как обычно, мы пре­ небрегли моментами, которые появляются при выполнении ука­ занного процесса приведения. Этим и объясняется отсутствие грувовых членов в последних двух уравнениях системы (1 .21).

Таким образом, система (1.21) представляет уравнения равно­ весия дифференциального элемента оболочки, конечной толщины А, под действием внутренних и внешних сил и моментов, приведенных

Рис. 14.

к срединной поверхности оболочки (рис. 14). Первыми тремя из этих уравнений выражены условия равенства нулю сумм проекций всех внутренних и внешних сил на три взаимно ортогональных направления а, |3, у. Четвертое и пятое уравнения представляют условия равенства нулю сумм моментов относительно двух взаимно перпендикулярных направлений и и р.

Из условия равенства'нулю суммы моментов относительно оси Y получим шестое недифференциальное уравнение равновесия, которое имеет вид

степени у (нулевая и первая) наиболее простые соотношения упру­ гости для общего случая анизотропной оболочки, когда в каждой точке ее имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, парал­ лельная срединной поверхности оболочки:

Тх= Сц®! -J- C12® -j- С16со, Та= С22® -f- С'12е1 -J- С26ш,

Формулы для iVj и N 2при необходимости можно получить из урав­ нений равновесия (1.21).

Рассматривая соотношения упругости (1.24) и уравнение (1.23), замечаем, что между ними есть противоречие, а именно: приведен­ ные соотношения упругости не удовлетворяют шестому уравне­ нию равновесия, т. е. шестое уравнение равновесия не является тождеством, что противоречит основам общей теории. Это противо­ речие легко объяснимо: дело в том, что мы получили соотноше­ ния (1.24) лишь в первом приближении, т. е. всюду последовательно пренебрегали величинами порядка k(h по сравнению с единицей» Если теперь несколько уточнить соотношения упругости для Sik, т. е. оставить члены порядка kth по сравнению с единицей, то полу­ чим -новые соотношения упругости, которые тождественно удов­

Исследования показывают, что соотношения (1.24) (за исклю­ чением выражений для S) совместно с (1.26) представляют наибо­ лее простые и последовательные соотношения упругости в теории оболочек.

Эти соотношения, будучи крайне простыми, в то же время не противоречивы с точки зрения удовлетворения шестому урав­ нению равновесия. Элементарной подстановкой можно убедиться, что соотношения (1. 24), скорректированные соотношениями(1. 26), удовлетворяют шестому уравнению равновесия (1.23) тожде­ ственно.

Соотношения (1.24), (1.26) могут быть получены и из энерге­ тических соображений, аналогично тому что сделано в теории изотропных оболочек.

36 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

Наконец, отметим, что здесь нет и, пожалуй, не может быть единого подхода в деле выбора тех или иных соотношений упру­ гости. В связи с этим в последующем, отдавая некоторое предпочте­ ние скорректированным соотношениям (1.24) и (1.26), как формально непротиворечивым, мы там, где можно (с точки зрения точности), рекомендуем пользоваться и более простыми соотноше­ ниями (1.24).

8 . Граничные, или краевые, условия. Произвольные постоян ные, содержащиеся в общем интеграле дифференциальных уравне­ ний теории оболочек, должны быть определены из граничных условий. Граничные условия анизотропной оболочки ничем не от­ личаются от соответствующих граничных условий изотропной оболочки. Не вдаваясь в подробности, известные из учебной лите­ ратуры по теории оболочек, приведем некоторые варианты гра­ ничных условий.

В дальнейшем нас будут интересовать такие оболочки, края или край которых совпадают с линиями кривизны срединной по­ верхности оболочки.

Ради краткости записи граничные условия приводим лишь для края, который определяется координатной линией я= a 0=const.

I. О д н о р о д н ы е г р а н и ч н ы е у с л о в и я . а) С в о б о д н ы й к р а й :

однородные граничные условия легко получить из приведенных выше граничных условий в предположении, что в приведенных

§ И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 37

равенствах справа стоят не нули, а заданные величины. Например, для загруженного края можно записать

мому краю; в частности, некоторые из них могут быть равны нулю. В случае, когда оболочка вовсе не имеет граничного контура (полностью замкнутая оболочка) или граничный контур опреде­ ляется лишь по линиям одной координаты (частично замкнутая оболочка), граничные условия по замкнутым координатным ли­ ниям заменяются условиями периодичности с периодом, обеспе­ чивающим однозначность перемещений и деформаций в любой

точке рассматриваемой замкнутой линии координат.

9. Потенциальная энергия деформации оболочки. В силу

основной гипотезы имеем для потенциальной энергии деформации:

А/2

V = Y И S + V*» + V ^ ) HlH*da ^ dt ‘

-A/2

Подставляя сюда значения напряжений из (1.10) и деформа­ ций из (1.5), получим с точностью классической теории для потен­ циальной энергии деформации анизотропной оболочки следующее выражение:

Здесь оба интеграла распространяются по всей срединной по­ верхности оболочки. Первая составляющая V представляет по­ тенциальную энергию удлинений и сдвигов, вторая составляющая представляет потенциальную энергию изгибов и кручения.

10. Несколько слов об оболочках из ортотропных материалов. Особый интерес с точки зрения приложений представляют обо­ лочки, изготовленные из ортотропных материалов, т. е. из материа­ лов, свойства упругости которых описываются уравнениями обобщенного закона Гука (7) и (8).

В случае, когда оболочка изготовлена из ортотропного мате­ риала так, что в каждой точке оболочки все три главных направле­ ния упругости материала совпадают с направлениями соответ­

ных оболочках в каждой точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверхности оболочки,

общего случая анизотропии (как было сказано выше, под общим случаем подразумевается случай, когда в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки), т. е. задача математически формулируется точно так, как в для случая общей анизотропии.

Таким образом, и в этом случае соотношения упругости будут иметь вид (1.24), (1.26). При этом, однако, под упругими постоян­ ными и жесткостями будем подразумевать новые величины, зави­ сящие от упругих постоянных главных направлений ортотроп­ ного тела.

Пусть, например, в рассматриваемой точке главные направле­ ния упругости ортотропного материала оболочки расположены

Очевидно, в силу (1.40) зависимости типа (1.39) будут иметь место между elt е2, ш и ej, е', <о', а также между х,, *а» х и х', х', т', т. е.

изготовлена из ортотропного материала, но главные направления упругости не совпадают с главными геометрическими направле­ ниями аир, коэффициенты В1в и В26 не равны нулю и их влияние должно быть учтено в рамках общей теории анизотропных оболочек.

11. Заключительные замечания. Таким образом, классическая теория анизотропных оболочек построена. Приведенных выше сооб­ ражений достаточно, чтобы определить напряженно-деформирован­ ное состояние произвольной анизотропной оболочки в рамках классической теории.

Ниже будут приведены разрешающие уравнения и расчетные формулы для различных типов анизотропных оболочек в класси­ ческой постановке.

В последующем (гл. I, § 10) при построении классической тео­ рии анизотропных слоистых оболочек, составленных из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности, мы всецело будем опираться на результаты класси­ ческой теории однородных оболочек, излагаемой в настоящей