книги / Общая теория анизотропных оболочек

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 91

Пусть система координат a, J3 выбрана так, что точно или приближенно А —1, 2?=1; далее, пусть оболочка или рассматривае­ мая ее часть такова, что точно или приближенно можно считать,

t„ = - [ s *. $ “ + № > + № , ) $ $ ] ■

w0=w0(а, |3) — нормальное перемещение соответствующей ортотропной оболочки, найденное по классической теории, т. е. по тео­ рии, которая построена согласно гипотезе недеформируемых нор­

малей.

Из (6.16) в силу (6.11)—(6.13) для расчетных напряжений получим

Уравнения равновесия в рассматриваемом случае запишутся следующим образом:

(6.41)

Подставляя выражения моментов из (6. 40) в последние уравне­ ния равновесия, получим для поперечных сил

+ a55(^12 +Е вв) ?0, o.p]>

где для операторов Е. (Dik) в случае ортотропной оболочки имеем

p /7) \ ___ £>22 d3 | Д|2 + 2Д;6

а 1\игк) — #3 d gsf BA2 д^да?’

(в нашем случае А = Б = 1 ).

С достаточно высокой точностью для определения поперечных сил можно пользоваться и формулами (6.21).

Таким образом, мы привели все формулы, с помощью которых можно определить расчетные величины рассматриваемых типов оболочек.

Разрешающие системы уравнений в перемещениях запишутся следующим образом:

(6.44)

При этом тангенциальные перемещения и=и ( а, J3), v=v (а, J3) согласно формулам (6.40) и (6.47) определятся из следующих уравнений:

Система разрешающих уравнений смешанного метода (6.47) может быть сведена к одному разрешающему уравнению восьмого порядка относительно искомой функции Ф = Ф (а, |3), через кото­ рую функция напряжений F (а, |3) и функция перемещения w (а, |3) представляются следующими формулами:

Действительно, введение функции Ф по формулам (6.50) позволяет тождественно удовлетворить второму уравнению си­ стемы (6.47), а первое уравнение приводит к искомому разрешаю­ щему уравнению:

* <и.°

где для коэффициентов Р. имеем

Разрешающее уравнение (6.51) и разрешающая система (6.47), отличаются от соответствующих уравнений классической теории грузовым членом (6.45) из-за учета явлений, связанных с попереч­ ными сдвигами.

В случае, когда вводится одна потенциальная функция Ф (а, (3), формулы для определения внутренних сил и моментов приобретают следующий вид:

М 1= — ( D n -^2 + °12 ^i")L 2(A ik) Ф+

Перемещения срединной поверхности будут определяться фор­ мулами

(6.54)

В силу основной гипотезы итерационной теории (6.1), согласно (6.55), (6.56), из обобщенного закона Гука для ортотропного тела (7) получим для деформаций поперечных сдвигов

а также, что u^=w (a, (3).

Рассматривая приведенные формулы, замечаем, что они ничем не отличаются от соответствующих формул, полученных в первых пунктах настоящего параграфа. Так и должно быть, ибо геометри­ ческая нелинейность, которую мы учитываем в этом пункте, согласно исходным предположениям никак не изменяет характер

Что же касается коэффициентов е1 и ш, то они, в отличие от фор­

Без каких-либо изменений остаются также формулы внутрен­ них сил и моментов (6.19)—(6.21).

Уравнения равновесия элемента оболочки примут следующий вид;

+ B \ J S -B 'tM j}'9+ xlT1+ *t T, + *S = Z -

которую внутренние тангенциальные силы представлены извест­ ными формулами (6. 27). Тогда из третьего уравнения (6. 62)

имеет структуру уточненной правой части соотношения линейной теории (6.26).

Второе уравнение смешанного метода, как всегда, можно полу­

то получим недостающее нелинейное уравнение, которое не отли­ чается от классического:

Lt(An )F — + «0 = 0 . (6-65)

Уравнения (6. 63) и (6. 65) составляют полную систему разре­ шающих уравнений относительно двух искомых функций w (а, |3) и F (а, (3), через которые выражаются все расчетные величины задачи.

Эта разрешающая система дифференциальных уравнений не­ линейной теории пологих оболочек, учитывающей явления попереч­ ных сдвигов, отличается от соответствующей системы классической теории лишь грузовым членом Z*. Поэтому решение ее не сопро­ вождается какими-либо новыми математическими трудностями, если подобная задача предварительно решена в классической постановке.

7 С. А. Амбарцумян

(6.65) в развернутой форме для общего случая пологой оболочки ввиду их громоздкости. Однако целесообразно привести их пред­ ставления для двух частных случаев.

С ф е р и ч е с к а я о б о л о ч к а . Пусть оболочка очерчена по части сфе­ рической поверхности и имеет подъем Os, не превышающий 1/5 диаметра основа­ ния оболочки 210, т. е. рассматривает­ ся пологая сферическая оболочка ра­

изготовлена из ортотропного материала

ив каждой точке оболочки главные на­ правления упругости материала совпа­ дают с направлениями меридиана, па­ раллели и нормали в данной точке.

Пусть г и р являются полярными ко­ ординатами точки на горизонтальной плоскости основания оболочки. Ввиду сильной пологости оболочки будем полагать, что независимые переменные г

и(3 являются также координатами соот­ ветствующей точки на срединной по­ верхности оболочки. Это значит, что для коэффициентов первой квадратичной

С?Г2

где w0—w0(г, (3) — нормальное перемещение точки сферической оболочки, определяемое классической теорией.

В этом случае, как это следует из (6.59), получим

мальное перемещения соответствующей точки срединной поверх­ ности оболочки.

Для коэффициентов разложений (6. 60) в случае рассматривае­ мой сферической оболочки имеем

= * 1 + 7 - Я 35 7 Г .

(6.68)

* * = - i ь .7 * + « » ( т м > ) ] -

Ограничимся лишь смешанным методом; тогда для внутренних сил и моментов согласно (6. 20), (6. 21), (6. 27) получим

Напряжения могут быть определены по формулам (6.16).

7*

Наконец, разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений относительно искомых функций F (г, р) и w (г, р) представится следующим образом:

пологую ортотропную оболочку, отнесенную к ортогональной системе координат так, что для коэффициентов первой квадратич­ ной формы имеем А = 1, 5 = 1. Далее, как и в случае технической

В этом случае, как и раньше, для функций, характеризующих поперечные сдвиги, будем иметь

*■= - [ « . . ^ + < е » + 2й« Ь т й .

(6.71)

*. = - [ в в ^ + ( Я „ + 2В „ ) | Ь ] .