книги / Общая теория анизотропных оболочек

S 9] НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ 151

Очевидно, при этой для части коэффициентов упругости будем иметь

Такая оболочка, деформируясь, остается телом вращения, по­ этому внутренние силы и моменты, а также перемещения не будут функциями угловой координаты <р, и в оболочке возникнут ли ть напряжения о?, хп и соответствующие им внутренние силы и моменты.

Итак, для рассматриваемой оболочки вращения согласно ре­ зультатам, полученным в начале настоящего параграфа, будем иметь следующие основные соотношения и уравнения;

соотношения упругости (согласно наиболее упрощенному варианту (9.33), т. е. при пренебрежении членами с множителями к{)

постановке, т. е. в формулах (9.29) оставим лишь первые две группы членов:

Для соотношений упругости и напряжений можно использо­ вать более полные представления (9.29) и (9.31), однако ради со­ кращения записи, но не в ущерб общности рассуждений мы этого здесь не делаем.

В приведенные уравнения и соотношения входят некоторые члены, которые должны быть определены из решения соответствую­ щей задачи по классической теории. Не вдаваясь в подробности (см. § 3 настоящей главы), приведем окончательные значения этих величин.

Бели искомыми в классической постановке задачи считать функции Vй(s) и W° (s), то согласно (2.11)—(2.16) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:

Здесь (т. e. в формулах (9.68)) величины с нулевыми индексами относятся к краю оболочки s— s0(рис. 32), и их не следует путать

и представляют решение задачи по классической теории. Искомые функции V0 и W0, через которые представлены все

необходимые здесь величины (9.66), (9.67), должны быть опре­ делены или из системы (2.17), или согласно (2.23) из уравнения (2.24).

Учитывая выражения (9.66) и (9.67), для членов, которые строятся на основании решения классической задачи, из (9.16), (9.18) получим следующие формулы

(9.69)

Таким образом, все величины (9.67), (9.69) представлены через известные (после решения классической задачи) функции F° (s) и W J(s).

Подставляя значения из (9.64) в (9.63), получим для мо­ ментов следующие выражения:

Как и в случае классической теории, введем вспомогательную искомую функцию V = V (s), с помощью которой внутренние силы представляются следующим образом:

(9.71)

154 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

где Fi (s) являются функциями от внешней нагрузки и определя­

Подставляя значения а,, из (9.64) в (9.63) и решая получен­ ные при этом соотношения упругости, найдем

Подставляя значения деформаций ех, е2, из (9.73) и момен­ тов из (9.70) соответственно в уравнение неразрывности (9.62) и в уравнение равновесия (9.72), после некоторых преобразова­ ний получим

(9.74)

где

Таким образом, как и в случае классической теории, задача сводится к определению двух искомых функций V (s) и W (s), которые должны удовлетворять системе двух разрешающих диф-

§ 10. Классическая теория анизотропной слоистой оболочки, составленной из нечетного числа слоев,

симметрично расположенных относительно срединной поверхности

Рассматриваются оболочки, составленные из нечетного числа (2/п+1) однородных анизотропных слоев. Слои, симметрично рас­ положенные относительно координатной поверхности у = 0 , имеют одинаковые толщины и одинаковые физико-механические свойства. Координатная поверхность у = 0 является срединной

и перемещения каждого слоя получаются из перемещений средин­ ной поверхности некой приведенной однородной анизотропной оболочки.

1.Перемещения, деформации, уравнения неразрывности де­

формаций срединной поверхности. В силу основной гипотезы из шести соотношений (6) третье, четвертое и пятое соотношения

для изгибающих (Mv М 2) и крутящих (Я 12, Я 21) моментов, от­ несенных к единице длины дуг соответствующих координатных линий, аналогично (1.15), получим (рис. 33)

Напомним, что и в случае многослойных оболочек, заменяя напряжения статически им эквивалентными силами и моментами, мы, по сути дела, взамен трехмерного неоднородного (слоистого) элемента оболочки рассматриваем соответствующий приведенный двухмерный элемент конечной толщины h.

Подставляя значения напряжений из (10.8) в (10.14), по­ лучим следующие, наиболее простые, соотношения упругости, которые не противоречат шестому уравнению равновесия (1.23):

Здесь и в последующем формулы для определения 7VX и TV2 не приводятся, так как при наличии известных соотношений