книги / Общая теория анизотропных оболочек

192

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

построенную систему трех дифференциальных уравнений

относи­

тельно

трех

искомых перемещений:

Ln (С) и +

L12 (С) V + L13 (СК) w — — X, '

^12 Р) К“f"^22 Р ) V + ^23 рЕ) W—--Т",

(14. 20)

Lis Р К ) и+ Li3 р К ) v +

L33 (CKD) w = Z,

где для линейных операторов имеем

т

//1 \ ___ ^ 1 1

I_

О

^ 1 *

I ^66 д2

Ln Р ) —'

-АГГТш2 да2

+

1

А В

да <?р

В 2 <}р2 >

ЛС)=т Ц £

Cog

д2

Сяк д2

+

2 А В

да др

г А2<fc2 ’

12 ( С ) = %

=

+ ( С » + С „)

1

д 2

'26 д2

A 2 <JCt2

А В

<?в

~ г

В 2

д$2 ’

^13

— (^1^11 "f" ^2^ 12) 3" ^

“Ь

4 - * 2С26) —

- £ ! ( * ) >

^23

1

5

— Рр22 “f" ^Plz) if Jjjj ~f-

+

(^2^26 “Ь ^Ры) 3 " ^ -- Е2 (К),

£ „ (САГВ) =

- ! [ №

+

М Г,,)

+

2 ( * ! * „ +

(14.21)

+

Ккм) -JB «7Ж й " fcvKnЧ- *

А > [1*

“Ь (%СП 4- 2кгк2С124~ /с1С22) 4-

(0)>

/?

/П\

Вц <?3

I

3

Д16

|

а

1\и )

ЛЗ

Л а З ‘

°

А 2В

да*д$

+

A S

даЗ

1

"

А 2В

+

(*>11+20") ___________ I ^26

•

А В 2 да д $ 2 •“ S 3

E*(D)

Р 22

д3

I

о

В 26

дЗ

|

'

В з

<Jp3

I

В 2А

дг)Й2р ^Л а,

“ Г

+

(D12 +

2D ")

1

<?3

Djg d3

В А 2

др ()а2

‘ АЗ 5аЗ'

М ^ )

. Д11

<?4

I

Л

Р\6

д*

il 4

/-)яг4

1

А 3В

даЗд$ +

A *

d a i ~

+

2 ( D 12 +

2 D se) j

y

di

Do

д*

D 22

di

1

2 T

’

dp3

B i

d p * *

dai d p ; +

4 A B 3 da

Таким образом, решая при заданных граничных условиях

систему

уравнений (14. 20),

определим

искомые

перемещения

и ( а» Р)>

v ( а»

Р)>

u,( a>

P),

через

которые

посредством

формул

194

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

__ Л 11

I A-ta

•^16 _

I

...

I

е1 = вН2Г ?<Р,ВВ +

Art- (Р,«р+

л г “’.«« +

+

В2 W

,-f-2

ц12

®

£2

ср оп4 - —

ер

—

ф

Т

t_ .^21 ^

« *

Т

*

Т,рр~ ^2

* »оа

у ) д

, а р у)Т2 .

(14.25)

I

^ 2 2

I

О ^26

+

Ж

М/.РР +

2 Ж ^ . « Р ’

—

B'i

J_£21CD __dsico

4-

W

. +

® РР Г

Т.аа

Art “.«Р Г

Л2

+

^

U,,PP +

2 Лй

>«Р’

где Ф = Ф (а, |3)

W =

L 2( A ) Ф,

<р=

УдФ —

L 3 (d )4 > ,

(14.26)

— искомая'потенциальная функция, тождественно

удовлетворим второму уравнению системы (14. 22),

а из первого

уравнения получим

Ь 0( Р ) Ф

— 2F{Q)<f> +

TR<S>=

Z,

(14.27)

где линейные операторы: Ь 0 — восьмого

порядка,

F

— шестого

порядка, V| — четвертого порядка — имеют вид

Ь0(.Р) — L1(D — D°) Ь2(А) +

[L3(d )f,

(14. 28)

F (Q) = L3 (d) VB,

V| =

V*V*.

Таким образом, линейное дифференциальное уравнение вось­

мого порядка (14.27)

является разрешающим уравнением теории

весьма

пологих

анизотропных

слоистых оболочек.

Определив

Ф

(a ,

J3)

при заданных

граничных

условиях из

(14.27), можно

затем с помощью приведенных выше формул найти значения всех

расчетных величин оболочки. Однако при этом следует предвари­

тельно установить, является ли представление (14.26)

общим ре­

шением

системы

(14.22)

в случае

рассматриваемой

конкретной

оболочки (см. гл. I, § 5, п. 2).

Наконец, укажем, чтовходящие вприведенные здесь уравнения

и формулы коэффициенты Cik,

D fk,

K ik, D°.k,

dik,

как обычно,

определяются с помощью формул (11.3)—(11.7),

(13.18)—(13.21).

Систему разрешающих уравнений смешанного метода (14. 22)

196

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. I

Т г

—

Сп ^ ц,а~Ь ^ i2 g " !,,р +

С 1гк { ш

-f- C 12&2LP —

— K U - 2 2 W,** — Kl2 ~g2W, №’

Т 2 =

^22 g “ L’,p “ Ь

С 12 ~ A U , а

^ 2 2 k 2W +

С \ ^ т Р

(14.32)

^22'g ? W, Рр

^12 -Д2 W, « *

=

Сев ЗГ

ОСН~ ^66 S - М,Э---2ЛГвв

внутренние моменты:

Мх =

— Z>11 -Ji- W,аа— />12 4 ? W,№+

K nkiw+

KxJc2w -{ - K n j - u

a- \ - K 12jj- у

М 2 =

— Z>22

ш, рз — D 12-^- IP ,„, +

K 2Jc2w +

(14.33)

+

^12^1U, +

^22

М,а»

И =

— 2Z>66^ I P

, +

а + ^ - “ .р );

напряжения в слоях:

<3i =

5 i1j

B. « +

B i 2 ^ !?,

p

+ А

»

+

я ; А ш —

-

т

-j r IP, и +

5 { 2 - L u > ' р3)

,

аэ = д и J - U,P+

fii: j s „ + д *A “>+

s iA w —

(14.34)

—Т (^22 J r w,рр+

ВЪЗГ®.««) .

^

=

5 * е ( j

У,« +

^ -В .р) -

2т®вв i

-

L 1(D - D ° )w — L3(d )f - j- V 1^ =

Z,

|

L 2(C)<?-\-Ls(d)w — VRw =

0,

(1 4 .3 5 )

|

где линейные операторы L.

имеют следующий простой вид:

т ( п

П°\__

— Д?1 6,4 I

^22 — Щъ ii.

I

U )

—

м

dai -f-

B i

^

-j-

i

о

(Р12 —С12 ) ~t~ ^ (7)ga

Дее)

d4

"

Г

*

Л 2/72

ddaaid d№p'i'

Т ( П \

___

С и

1

<?4

,

С ; 2

1

<?4

I

Qg

Л*

<М " г

54 ^ 4 "Г

/ 1

0 CJJN

1

di

+

\С66

^ Q j A i B '

(14.36)

L A { d ) -

К ц С и — /сПС]2

1

<Н

. (К ц С ж — Ki2pl2

Йо

Л 4 (1я4 1 \

йо

О 5”66

1^ггСц — К 12'

1

*

,

1

Сп \

- ,,

1

JA W * dai dp-

1

С66

Q g

I

^12^22 — К 22С12

1

d4

“Г

Qg

B i

<Jp4 '

В этом

случае

формулы

для

расчетных величин оболочки

имеют следующий вид:

внутренние силы:

1

1

1

Тг = -

B i

ат2 —--- ■

Л 5

*Р.№’

Л *

/V - _

K\2.ClX — •^11^12

1

/^11^22 — К ]2С|2

IV j -

Йд

ЛЗ

Г, aaa

Ч

Йо

_5бб>

(14.37)

) 3 5 2 ^ . «РЗ - Е Л

О

Свв>

ту

^12^22 — К 22^12

1

___ L /ЛГ22^11 — ЛГ12С 12

i Vо —

йо

53

ЭЭЭ

г - Ч

ЙО

. ^egX

1

'•’.Э » - Е Л

О

Сев / 5Л 2

где Е( (D —Z>°)

запишется

аналогично

(14. 31);

внутренние мо­

менты:

M i -

Du ~ D°n

w

D12—D12

A 2

“ '»«*

5 2

“ ' . P P H -

^ 12^11 — 1^11^12

1

1^11^22 — ЛГ 12^12

1

Sin

^2

^P.ea

B i

Aft = -

D 22 — Co.

Z)iO ""

©?2

I

(14.38)

■

A i

“ ,.И +

^12^22 — ^22^12

1

* . * ■

^22^11 — ^12pl2

1

Йп

52

- (в

;,

^

%

-

( * ! .

^12^22 —' &92.29р^ 1 2

I

□ { К 2гСп — К 12С п __

г>4 N _ i _ ..

I

Г Л 12

^

£2 “ ’ .ррм"

I

t at

Ki\C2i —К ]2С\^

!

в{

11^12

Ki2C u~K uC

" Ч " 11

Q0

^ 1 2

Со

—

Т ^ Т Г ® , ->

—(в{ ^- —В1

2 о М а,

ф

—(в*

во

(14.39)

‘ — V 22

во

12

■“

V

22

___

R i

^*22 \ *

... . ц / ш

^12^11— ^11^12 I

^ 12

Q0 J 62

'Р . р р Т ^ г г

Q0

+

I.

R< ^11^22 — ^12^12

В < \

1 ...

I

Г

Л 12

--------------W>«

Г-

I

/ Ш ^ 2 2 ^ 1 1 — ^ 1 2 ^ 1 2

| D < K \ j p 2 2

— ^ 2 2 ^ 1 2

" Г

V 22

Q 0

Г Л В

Q Q

w

—

gAe _ L .m

_|_25*

__ -Л

1

w

<Ф'

AB r >ctg i

1 ) A

B

w ”$-

ю ~ Ь 2{С)Ф, ? =

— L3(d )Ф,

(14.40)

Р _ ± _ J 1 Z L

4 -

р

1

I

р

L

д«Ф

|

1

Й8Ф

1 Л&

<Эя8

Г

3

^6^2

дав <?р2 ~Г *5

л 4g4

<?а4 <?fj*“Г

1

д*Ф

,

„

1

д8ф

,

л

1

дбф

+

Р<4

Л 2вв

Йа2^б

Г М

В8

ЭЯ8д(3

Г V l

А6

д а в

1

1

двф

1

<?вф

^

1

деф

f

+

*23 AiB*

йа4^22 +

<?4

А Ш

да* d$i

Вв

дрв

1

f^4(b

1

<?4ф

1

д4ф

=

Z, (14.41)

+

k%

M

l « + 2k1ki

+

* ?

1 А*В2

da2 ^ 2

Д4

^ 4