книги / Общая теория анизотропных оболочек

S 7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 103

и оболочек. Указанный анализ показывает, что вдали от линий искажения касательные напряжения \уи по толщине оболочки

изменяются почти по закону квадратной параболы.

Учитывая, что в настоящей книге нас интересуют лишь тонкие анизотропные оболочки, будем полагать

из (7. 1) в соответствующие уравнения обобщенного закона Гука (6) и учитывая (7.3), получим

1. Перемещения и деформации. Нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение иуне зависит от координаты у,

Т» 6.

здесь w=w (а, р) — искомое нормальное перемещение всех точек данного нормального элемента оболочки, в том числе и точки, которая принадлежит срединной поверхности, т. е. нормальное перемещение соответствующей точки срединной поверхности.

Подставляя значения еау, е?у, fflt Hz, иусоответственно из (7. 4),

(4) и (7. 6) в последние два уравнения (15), получим дифферен­ циальные уравнения относительно перемещений ия и щ. Интегри­

руя эти уравнения по у в пределах от нуля до у и учитывая, что иа=и (а, р), Up=v (а, р) при у = 0 * с точностью (у к.)2 будем иметь

(7.7)

« P = ( l + * 2T ) ^ - x J + r ( l + T y ) x ^ -

“ T - O + T ^ + T ^ + T ^ y + f O + T ^ s .

где и=и (а, р), v=v (а, р) — искомые тангенциальные перемеще­ ния соответствующей точки срединной поверхности оболочки.

На основании (7.6) и (7.7) заключаем, что, как и в классиче­ ской теории, перемещение ит какой-либо точки оболочки не за­ висит от координаты у. Что же касается тангенциальных пере­ мещений, то здесь, в отличие от классической теории, тангенциаль­ ные перемещения иа и щ какой-либо точки оболочки, удаленной от срединной поверхности по нормали на расстояние у, зависят от у нелинейно.

В силу (7. 7) деформации еа, е? и еа? могут быть представлены

в виде многочлена по степеням у, а именно:

Подставляя значения иа, цр, иусоответственно из (7.7) и (7.6)

в соотношения (15) и сравнивая полученные при этом значения деформаций еа, е?, eag с соответствующими представлениями (7, 8), получим для коэффициентов разложений

(7.10)

где, как и в классической теории, для х4, т имеем

(7.11)

§ 7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 105

Наконец, для последней группы коэффициентов разложений получим

не фигурируют, или несущественны, мы опустили в формулах

2.Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты

Т„р= ^бб^яр Ч~ ^1беа Ч~ ^26ep>

ведливы и для уточненной теории тонких оболочек, ибо формулы (1.15) получены из условий статической эквивалентности внутрен­ них усилий и напряжений.

Полученные соотношения упругости (7.19)—(7.22) достаточно компактны и могут быть использованы в дальнейшем. Они тож­ дественно удовлетворяют шестому уравнению равновесия, которое

все расчетные параметры оболочки в конечном итоге выражаются через пять искомых функций: и (a, J3), v (а, |3), w (а, |3), <р(я, |3), ф(а, |3). Как было указано выше, первые три из искомых функций являются компонентами перемещения срединной поверхности оболочки, а последние две функции характеризуют явления по­ перечных сдвигов.

Очевидно, эти пять функций полностью характеризуют напря­ женно-деформированное состояние оболочки на уровне уточнен­ ной теории.

структивными способами осуществления граничных закреплений оболочки, принципом Сен-Венана и возможностями уточненной теории.

Уточненная теория, как и все подобные теории рассматривае­ мого класса, как известно, уточняет напряженное состояние оболочки лишь вдали от линий искаже­ ния, т. е., вообще говоря, не дает досто­ верных с точки зрения трехмерной за­ дачи теории упругости сведений о крае­ вых напряжениях и деформациях обо­ лочки. Однако, несмотря на это, уточненные теории «исправляют» основное напряжен­ ное состояние, тем более в случае анизо­

тропных оболочек.

1м Поэтому, взамен граничных условий трехмерной задачи теории упругости, за­ пишем следующие основные «смягченные»

граничные условия уточненной теории анизотропных оболочек. Условия запишем лишь для края a=const.

а) С в о б о д н ы й к р а й :

y = 4;Y0 — точки на торце оболочки, где выполняются зти усло­ вия (0 < То < hi2) (рис. 27).

В реальных конструкциях можно встретиться с самыми разно­ образными типами опор оболочек, и зто многообразие конструктив­ ных решений опор реальных оболочек, пожалуй, невозможно с требуемой точностью представить в виде каких-либо математиче­ ских моделей — граничных условий. В связи с зтим здесь приве­ дена лишь незначительная часть возможных вариантов граничных условий. Мы полагаем, что проблема построения математических моделей реально осуществляемых конструкций опор оболочек нуждается в специальных исследованиях.

5. Уточненная техническая теория ортотропных оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать .4=const, jB=const, & != const, /г2= const. Здесь рассматривается теория «весьма пологих» оболочек (см. и. 2 § 5), техническая теория кру­ говых цилиндрических оболочек (см. п. 2 § 3) и др.