книги / Общая теория анизотропных оболочек

§ 4] ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ 21

Принимая приведенные гипотезы, мы приближенно полагаем

удовлетворяют следующим условиям на поверхностях ооолочки:

Очевидно, из всех рассмотренных выше теорий наиболее уни­ версальной является последняя, уточненная теория, так как из этой теории в частных случаях можно получить классическую и частную теории. В этом легко убедиться, рассматривая основные гипотезы этих теорий.

Например, полагая, что жесткости поперечных сдвигов мате­ риала оболочки равны бесконечности, т. е. а44= а 55= а 45= 0 , из (22)

22 ВВЕДЕНИЕ

получим аналитически сформулированные основные предполо­

итерационной теории, т. е. соотношения (19). Рассматриваемые теории, наряду с основными гипотезами,

содержат еще два, единых для всех теорий, предположения, а именно: приближенно полагается ет=0, и пренебрегается напря­ жением о . При построении теорий анизотропных оболочек эти

предположения могут быть и не приняты; кстати, такие теории построены и заинтересованный читатель может найти их в после­ дующих параграфах или, например, в вышеупомянутых моногра­ фиях автора. Однако анализ напряженно-деформированного со­ стояния различных типов анизотропных оболочек показывает, что, как правило, в реально существующих оболочках погреш­ ности в окончательных результатах, обусловленные принятием указанных двух предположений, зачастую настолько незначи­ тельны с точки зрения приложений, что ими можно пренебрегать.

Таким образом, мы примем в рассматриваемых здесь теориях эти два предположения, зная, что при решении задач прочности, устойчивости и колебаний тонких анизотропных оболочек полу­ чаемые результаты имеют точность, достаточную для инженерных разработок.

4. Теории, учитывающие и влияние нормального напряже­ ния » т. Уточненные теории, построенные на основании гипотез,

приведенных в пп. 2 и 3 настоящего параграфа, могут быть не­ сколько улучшены. С этой целью в процессе построения указанных двух теорий надо отказаться от предположения о возможности

луй, является самой последней среди теорий рассматриваемого класса, т. е. среди теорий, построенных методом гипотез. Она называется итерационной теорией, так как основные идеи уточне­ ния идентичны с идеями, использованными при построении ите­ рационной теории (см. п. 2 настоящего параграфа). Новая итера­

от соответствующих величин (е°, <&) классической теории. Согласно этим гипотезам мы, по сути дела, приближенно при­

нимаем

(23)

где — соответствующие деформации классической теории. Если классическую теорию трактовать как нулевое прибли­

жение, то новую теорию можно рассматривать как последующее, первое.

Новая итерационная теория отличается от всех приведенных теорий тем, что здесь делается попытка учесть влияние деформа­ ций на напряженно-деформированное состояние анизотропной

оболочки.

6. Замечания. Таким образом, мы здесь привели гипотезы, на основании которых в первой главе будут построены различные теории анизотропных оболочек.

Из известных в литературе гипотез здесь приведены лишь те, которые находятся в кругу научных интересов автора.

Построенные на основании этих гипотез классическая и уточ­ ненные теории имеют важное значение для приложений и, как все теории этого класса, могут быть использованы для решения внутренней задачи анизотропной оболочки. Что же касается ре­ шения задачи краевой зоны, то здесь как классическая теория, так и любая уточненная теория, в разумных пределах приближе­ ния, не могут быть использованы. В этом случае очевидно, что мы должны привлечь трехмерную задачу теории упругости анизо­ тропного тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. А й н о л а Л. Я. и Н и г у л У. К., Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Известия АН ЭстССР, № 1, 1965.

2.А м б а р ц у м я н С. А., Теория анизотропных оболочек. Физматгиз, 1961.

3.А м б а р ц у м я н С. А., Некоторые вопросы развития теории анизо тройных слоистых оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 17,

№ 3, 1964.

4. А м б а р ц у м я н С . А., Теория анизотропных пластин. Физматгиз, 1967.

5.А м б а р ц у м я н С. А., Специфические особенности теории оболочек из современных материалов. Известия АН АрмССР (механика), т. 21, № 4, 1968.

6.Веку а И. Н., Об одном методе расчета призматических оболочек. Труды Тбилисского математического института им. А. М. Размадзе, т. 21, 1955.

7.В л а с о в В. 3., Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.

8.В о р о в и ч И. И., Общие проблемы теории пластин и оболочек. Труды 6-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во «Наука», 1966.

9.Г а л и н ь ш А. К., Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям. Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казанского ун-та, 1970.

10.Г о л ь д е н в е й з е р А. Л ., Теория упругих тонких оболочек. Гостехиздат, 1953.

11.Г о л ь д е н в е й з е р А. Л ., Методы обоснования и уточнения теории оболочек. ПММ, т. 32, в. 4, 1968.

теории оболочек. Безусловно, такие сведения содержатся и в других работах по теории оболочек, которые здесь не цитируются.

Г л а в а I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫ Х ТЕОРИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

В настоящей главе подробно излагаются основные положения тех теорий, о которых говорилось в четвертом параграфе введения. Эти теории, как правило, излагаются для общего случая тонкой анизотропной оболочки. Однако, без нарушения общности рассуждений, некоторые из них рассматриваются лишь для пологих оболочек (это делается ради сокращения записи).

§ 1. Классическая теория

Как было указано (см. введение, § 4, п. 1), классическая теория основывается на гипотезе недеформируемых нормалей, которая аналитически представляется следующими приближенными ра­ венствами:

По возможности подробно изложим теорию, которая основы­ вается на этой классической гипотезе.

1. Перемещения и деформации. В силу (1. 1) из соотноше­ ний (15) имеем

т. е. нормальное перемещение и какой-либо точки оболочки не зависит от координаты у. Нормальные перемещения всех точек данного нормального элемента оболочки имеют постоянное зна­ чение и равняются нормальному перемещению w=w (а, |3) той точки срединной поверхности оболочки, которая образуется при пересечении данной нормали со срединной поверхностью оболочки.

В силу формул (1.1), (1. 2) и (17) из последних двух соотноше­ ний (15) получим

В

(1.7)

Коэффициенты разложения е1 = е1 (а, р), е2= е 2 (а, р), <в=<о (а, р), которые называются компонентами тангенциальной деформации, представляют собой относительные деформации удлинений и сдвига срединной поверхности. Коэффициенты разложения х1==х1 ( “ » Р), х2 = х г ( а> Р)> т= т (а, р) называются компонентами деформации изгиба и кручения срединной поверхности оболочки.

2. Уравнения неразрывности деформаций срединной поверх­ ности. Между шестью параметрами еи . . х, которые пред­ ставляют деформацию срединной поверхности оболочки, имеются три дифференциальных соотношения:

A*l.f + (Х1 — **) А,и — - T V — хВ,« + *1®# « +

Функции Sj,. . ., х, удовлетворяющие этим уравнениям, харак­ теризуют такое деформированное состояние оболочки, при кото­ ром срединная поверхность остается сплошной. В силу этого уравнения (1.8) называют условиями неразрывности срединной поверхности.

Известные и широко распространенные условия неразрывности (1.8), полученные из чисто геометрических условий Гаусса— Кодацци, формально не находятся в соответствии с соотноше­ ниями (1-7), так как последние имеют несколько отличный от принятого в (1.8) геометрический смысл. Однако, без нарушения точности классической теории, условия неразрывности могут быть

28 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК СГЛ. I

приведены в соответствие с (1. 7) и переписаны следующим образом:

- 2 ( 5 5 . ^ - х л . Л > 1 - 2( ^ , №- т 5 . Л р) £2= ° - J

3.Напряжения в оболочке. Пренебрегая напряжением от и

учитывая, что в общем случае материал оболочки в каждой точке имеет лишь одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной поверхности оболочки, из обобщенного закона Гука (6) получим

ееф— а1в°а "Ь а2б°р 4" абб'«р-

Решая эти уравнения относительно составляющих тензора напряжений и при этом учитывая (1. 5), получим

где для коэффициентов Bik имеем

В 11 ~ (a22a86 а2в) ^ *> B V, ~ (а12Я2в а22а1б) ^ *»

При определении деформаций и расчетных напряжений мы пренебрегли напряжениями ч^, у , су Однако неправильно

было бы считать их равными нулю. Они отличны от нуля и могут

\Г

быть| определены из уравнений равновесия (16). Ограничиваясь общей формой записи, для указанных напряжений получим

Здесь Ф (а, р), f (а, Р), X (а, р) — функции, появившиеся в силу интегрирования по у. Их можно определить из условий на внеш­ них поверхностях оболочки, которые имеют следующий вид (рис. 8):

представления этих напряжений нам будут необходимы в после­ дующем.

4. Внутренние силы и моменты. Выше были установлены законы изменения деформаций и напряжений но толщине обо­ лочки. Имея эти представления, удобно, как и в теории изгиба пластин или в теории изгиба балок, вместо напряжений ввести в рассмотрение статически эквивалентные им внутренние силы

и моменты, которые действуют на площадках главных нормаль­ ных сечений.

Рассмотрим грань дифференциального элемента оболочки (рис. 10), перпендикулярную к линии кривизны а, с длиной дуги срединной поверхности, равной ds=B dp (рис. 11). На дифферен­ циальный элемент этой грани длиною ds'=B (l+A^Yjdp^flgdp будут действовать напряжения ов, Равнодействующие (Р,)

и моменты (L{) (относительно касательной к р) этих напряжений, приходящиеся на рассматриваемую грань с элементом дуги сре­ динной поверхности длиною ds—B dp, будут равны

-hit

Аналогичным образом могут быть найдены силы и моменты приходящиеся на грань элемента оболочки, перпендикулярную к линии кривизны р.

Отсюда для получения значений сил и моментов, приходящихся на единицу длины данной дуги срединной поверхности, необходимо