книги / Общая теория анизотропных оболочек

§ 11 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК 231

исходное условие безмоментности, с принятой здесь точностью

l+fc.-T^l» обеспечено.

Из изложенного здесь хода получения формул для напряжений (1.45) видно, что условий (1.37)—(1.40) достаточно для обес­ печения безмоментного напряженного состояния оболочки.

§ 1] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК 233

Условия (1.37)—(1.40) могут быть заменены смягченными ус­ ловиями, обеспечивающими безмоментность оболочки с некото­ рым приближением. Эти смягченные условия можно получить, предполагая, что те части напряжений о,, т^, которые изме­

няются по толщине оболочки (см. (1.41)—(1.43)), пренебрежимо малы по сравнению с теми частями этих напряжений, которые не изменяются по толщине.

5. Об области применимости безмоментной теории. Получен­ ных выше расчетных формул и уравнений безмоментной теории однородной анизотропной оболочки достаточно для определения напряженного состояния различных типов оболочек. Эти формулы и уравнения были получены в предположении (1.1). Однако очевидно, что исходные уравнения безмоментной теории могли бы быть получены и в более точной постановке. Например, полагая

Т

(1.48)

h(i + k2i)>

удовлетворим первым четырем соотношениям (1.1.15), а из фор­ мул для моментов получим условия строгой безмоментности, т. е. М х= 0, М 2=0, Н12~0, Н21= 0. В этом случае, как легко заметить, в отличие от классической постановки безмоментной теории, ос­ новные напряжения по толщине оболочки не остаются постоян­ ными.

Очевидно, что условиям нулевых моментов можно удовлетво­ рить и иными соотношениями типа (1.1), (1.48). Однако эти во­ просы здесь не будут обсуждаться, так как они не дают ничего но­ вого с точки зрения приложений.

Безмоментная теория, будучи приближенной теорией расчета оболочек, дает возможность выявить лишь приближенную кар­ тину напряженного состояния оболочки.

Для обеспечения достаточной точности получаемых по безмо­ ментной теории значений искомых расчетных величин должны быть соблюдены некоторые условия, которые мы вынужденно за­ имствуем из теории изотропных оболочек. Дело в том, что специ­ фические особенности теории, которые появляются в связи с ани­ зотропией материала (см. предыдущие пункты), или неклассиче­ ский закон распределения напряжений (см., например, (1.48)) недостаточно полно изучены с точки зрения установления усло­ вий применимости безмоментной теории. Поэтому условия приме­ нимости безмоментной теории в случае анизотропных оболочек мы возьмем из теории изотропных оболочек. Отметим также, что об­ ласть применимости и оценка погрешности безмоментной теории

ив случае изотропных оболочек окончательно не установлены.

Всилу сказанного выше, здесь, не вдаваясь в подробности, при­ водим один из вариантов условий применимости безмоментной теории.

Условиями применимости безмоментной теории оболочек яв­ ляются следующие:

1. Линии искажения на срединной поверхности оболочки не должны образовывать слишком густую сетку.

2.Ни одна из линий искажения не должна касаться асимп­ тотических линий срединной поверхности, т. е. линий на поверх­ ности, вдоль которых нормальная кривизна этой поверхности обращается в нуль.

3.Внешняя нагрузка и силы реакции должны иметь плавный характер изменения, т. е. не должны иметь слишком большого по­ казателя изменяемости.

4.Срединная поверхность оболочки не должна обладать не­

которыми особенностями (например, цилиндрическая оболочка не должна быть слишком длинной; коническая оболочка не должна содержать вершины конуса; срединная поверхность оболочки не должна касаться плоскости по замкнутой кривой; оболочка не должна быть слишком пологой и пр.).

Приведенные условия нуждаются в уточнении тем более для случая анизотропных оболочек. Вопрос о формулировке коррект­ ных условий применимости безмоментной теории анизотропных

Много интересного о безмоментной теории изотропных обо­ лочек читатель найдет в литературе, посвященной классической теории оболочек. Что же касается безмоментной теории анизотроп­ ных оболочек, то литература по этому вопросу весьма скудна. Специфические особенности безмоментного напряженного состоя­ ния анизотропных оболочек недостаточно полно изучены и, как видно из результатов, изложенных в предыдущих пунктах настоя­ щего параграфа, должны быть выявлены совместным учетом гео­ метрических и статических особенностей рассматриваемой обо­ лочки.

Не останавливаясь более на общих положениях безмоментной теории анизотропных оболочек, переходим к рассмотрению от­ дельных классов оболочек.

238 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. П

нулевой гауссовой кривизны. Интегрирование приведенных выше дифференциальных уравнений безмоментной теории анизотропных оболочек нулевой кривизны может быть выполнено элементарным образом в самом общем виде.

где с помощью Т*( и S* представляется какой-либо частный интеграл неоднородной системы (2.11), a TJ и S0 представляют общий интеграл соответствующей однородной системы уравнений. Тогда, очевидно, Т*. и S* можно взять в виде

r 2= RZ, S * = - - l 5 [ z ? A (* Z ) + fisy]da, «I

Здесь нижний предел интегрирования ах считается фиксированным и может быть выбран произвольно исходя из удобств расчета.

Полагая в (2.11) Х = 0 , Y —О, Z = 0 , получим

Ц = 0, 5b= 3 ;/ i(P ),

(2.19)

тч — ~в

гДе А(Р) и /г(Р) являются произвольными функциями интегриро­ вания и должны быть определены из граничных условий. Если граничные условия задачи представлены с помощью статических величин, то функции интегрирования fx и /2 определяются не­ посредственно из этих условий. Если же граничные условия

выражаются через перемещения, то функции интегрирования fx и /2 будут определяться после интегрирования системы уравне­ ний (2.12).

Интегрирование системы уравнений (2.12) также выполняется элементарно. Имея значения Тх, Т2 и S, из уравнений (2.12) с помощью двух квадратур легко получить значения искомых перемещений и{а, р), v(a, р), w(a, р). При этом для удобства дальнейшей записи компоненты перемещения целесообразно пред­ ставить в виде трех слагаемых: