книги / Общая теория анизотропных оболочек

S 9] НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ 141

Рассматривая соотношения, приведенные в этом параграфе, можно заметить, что все расчетные величины оболочки, т. е. все деформации, напряжения, внутренние силы и моменты, являются функциями трех искомых перемещений: и (и, [3), v (а, р), и; (а, р). Кроме искомых перемещений, все расчетные величины оболочки содержат элементы, которые могут быть определены из решения соответствующей задачи оболочки по классической теории. Все эти величины отмечены нулевыми индексами.

Для случая тонких оболочек в формулах (9.29) можно огра­ ничиваться с достаточно высокой точностью лишь первыми двумя группами членов, что соответствует линейному закону распре­ деления напряжений °а, тьр по толщине оболочки.

В этом случае для внутренних сил и моментов будем иметь

Т-1 — Сааг -f- С12а2-f- С1ва' -j-k2 (ОпЬг -J-

-f-D12b2-f- Dmb'), T2 = ..

можно получить путем перестановок индексов (см. также (9.22), (9.31) и (9.32)).

Напомним, что входящие в соотношения (9.31), (9.33) жест­ кости

(9.34)

3. О разрешающих уравнениях и граничных условиях. Урав­ нения равновесия элемента оболочки и в случае новой итерацион­ ной теории ничем не отличаются от соответствующих уравнений классической теории. Для удобства приведем их еще раз без ка­ ких-либо изменений:

142 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. X

Неизмененными остаются и уравнения неразрывности дефор­

тем исключения тангенциальных компонент перемещения данной

в первые три уравнения равновесия (9.35), из которых с помощью последних двух уравнений исключены поперечные силы N t, N 2, и при этом учитывая (9.32), (9.30), (9.22)—(9.26), получим раз­ решающую систему из трех дифференциальных уравнений отно­ сительно трех искомых функций и (а., [3),y (а, |3), и; (а, (3). Здесь в правых частях разрешающих уравнений, наряду с грузовыми членами Х± (а, |3), У * (а, j3), Z± (а, {3), будут стоять некоторые величины, значения которых определяются на основании решения рассматриваемой задачи по классической теории. В случае поло­ гих оболочек разрешающие уравнения новой уточненной теории анизотропных оболочек можно построить смешанным методом. Для этого необходимо ввести в рассмотрение новую искомую функ­ цию напряжений F (а, {3), через которую внутренние тангенциаль­ ные силы представляются обычным образом (см. формулы (5.7)). Мы получим обычную систему двух разрешающих уравнений от­ носительно двух искомых функций w (а, |3) и F (а, |3). И в этом случае в правых частях уравнений, наряду с грузовыми членами, будут стоять некоторые величины, значения которых определя­ ются на основании решения рассматриваемой задачи по класси­ ческой теории.

Вновой итерационной теории граничные условия ничем не отличаются от граничных условий классической теории, (см. п. 8

§1 настоящей главы). Читатель в этом убедится в последующем, при рассмотрении конкретных типов оболочек, для которых будут выписаны разрешающие уравнения.

Вобщем случае разрешающие уравнения здесь не выписыва­ ются в виду их громоздкости. Они будут приведены лишь для не­ которых частных случаев.

4.Новая техническая итерационная теория оболочек, для

которых приближенно или точно можно принимать А == const, В = const, fc1=const, fca=const. Здесь, как и раньше, объединяются теории «весьма пологих оболочек» (см. п. 2 § 5), техническая тео­ рия круговых цилиндрических оболочек (см. п. 2 § 3) и др.

вании, точно или приближенно с достаточно высокой точностью, ведут себя как постоянные.

Далее, полагая, что рассматриваются лишь тонкие оболочки, считаем, что расчетные напряжения аа, ор, по толщине обо­ лочки изменяются по линейному закону. В силу последнего, со­ отношения упругости берем в виде (9.33) и при этом ограничи­ ваемся наиболее простыми представлениями их, т. е. отбрасываем члены с множителями kt.

Считаем также, что в первых двух уравнениях равновесия (которые, очевидно, ничем не отличаются от уравнений равновесия классической теории) можно пренебречь членами ktN x и k2N 2.

Наконец, в выражениях, представляющих компоненты изгиб-

Принятые здесь предположения не новые, они подробно осве­ щены в соответствующих разделах настоящей книги, посвящен­

148 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I

грузовые члены, которые построены с помощью решений соот­ ветствующей задачи по классической теории.

Разрешающие уравнения новой технической итерационной тео­ рии анизотропных оболочек могут быть представлены и в форме уравнений смешанного метода.

Пусть оболочка загружена лишь нормально приложенной на­

где F (а, |3) — искомая функция напряжения, тождественно (с точ­ ностью технической теории) удовлетворим первым двум уравне­ ниям равновесия (9. 37), а из остальных уравнений, исключая

Подставляя значения моментов из (9.47) в уравнение равно­ весия (9.52), а значения компонент деформаций и изменения кри­ визны и кручения соответственно из (9.53) и (9.24) (с соответствую­ щими упрощениями) в уравнение неразрывности (9.54), получим

5. Новая итерационная теория симметрично нагруженных ортотропных оболочек вращения. Рассмотрим ортотропную обо­ лочку, срединная поверхность которой является поверхностью вращения с осью вращения г. Положение какой-либо точки М срединной поверхности оболочки будем определять гауссовыми ко­

ординатами: углом чр =р/г, являющимся азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось вращения z, и меридио­ нальной дугой s=a, отсчитываемой вдоль меридиана от некоторой начальной точки М 0 (рис. 32). В выбранной си­ стеме координат для главных кривизн срединной поверхности имеем

метрии срединной поверхности оболочки (их читатель найдет в § 3 настоящей главы), укажем, что для коэффициен­ тов первой квадратичной формы будем иметь

Считается, что рассматриваемая оболочка нагружена симмет­

оси вращения, граничные условия. Далее, полагается, что ортотропный материал оболочки расположен так, что в каждой точке все три главных направления упругости совпадают с соответствую­ щими тремя главными геометрическими направлениями оболочки.