книги / Общая теория анизотропных оболочек
..pdf§ 7] |
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
Ш |
|
Пусть |
система криволинейных координат а, |
р выбрана так, |
|
что точно |
или приближенно А =1, В = 1; далее, |
пусть |
оболочка |
или рассматриваемая ее часть таковы, что точно или приближенно кривизны & != /? !1 и /c2= i? 21 при дифференцировании ведут себя как постоянные.
Считаем, что оболочка из ортотропного материала изготовлена так, что в каждой точке все три главных направления упругости совпадают с координатными направлениями а, р, у, т. е. имеем ортотропную оболочку.
Для |
простоты |
записи |
полагаем |
|
|
||
также, что оболочка загружена лишь |
|
|
|||||
нормально приложенной |
к средин |
|
|
||||
ной |
поверхности |
нагрузкой |
Z — |
|
|
||
= Z * |
(а, |
р) (Х ± = 0 , У ±=О , Z |
= 0) |
|
|
||
(рис. |
28). |
|
|
|
|
|
|
В отличие от изложенной выше |
|
|
|||||
общей уточненной теории здесь мы не |
|
|
|||||
пренебрегаем нормальным |
напряже |
|
|
||||
нием iy Тем самым в этой уточненной |
|
|
|||||
теории |
мы будем |
учитывать |
явле |
Рис. 28. |
|
||
ния, связанные с нормальным на |
|
|
|||||
пряжением су Остальные гипотезы, |
которые лежат в основе об |
||||||
щей |
уточненной |
теории, |
остаются |
неизменными (см. |
введение, |
||
§ 4, |
пн. |
3 и 4) и аналитически, |
согласно (7. 1)—(7. 5), |
представ |
|||
ляются следующим образом: |
|
|
|
||||
|
|
г |
|
те т = Т ( т — Ф ’ |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
u^ = w, |
|
|
|
(7.30) |
|
Далее, с точностью теории пологих оболочек или технической теории оболочек, т. е. с точностью {k(h), получим из (7. 7) для тан генциальных перемещений
и« = ц - 7 - ^ + Г |
(h?___ |
|
$ • )» |
(7.31) |
|
dw , |
|
|
( т - В * ' , |
|
|
|
|
|
где и=и (а, р), v=v (а, р), w=w (а, |
р) — искомые тангенциальные |
|
и нормальное перемещения соответствующей точки срединной поверхности, <р=<р(а, р), ф =ф (а, р) — искомые функции, ха рактеризующие явления поперечных сдвигов оболочки. В силу
112 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
(7.31) из (7.8)—(7.15) имеем для составляющих деформаций
|
да |
|
а»W |
|
, |
|
. |
Ддя/^ |
|
Тг \ |
|
|
|
|
|
||
“ |
<Ь |
|
^ |
4^ 1 |
^ 2 \ 4 |
|
3 / да ’ |
|
|
|
|||||||
|
ди |
|
d-w |
. |
, |
. |
а,. |
/ h2 |
|
г* \ дф |
|
|
|
|
|||
е? = ^ - т ^ |
+ |
^ |
+ |
т ^ - ( — •— г ) ж |
’ |
|
|
(7'32) |
|||||||||
|
дв |
| |
<Ji> |
„ |
|
d2u> |
. |
тг |
/ А2 |
|
т2\ / |
da |
дф\ |
|
|
||
“ |
д'р |
4“ |
да |
|
да d'fi 4~ 2 ( |
4 |
|
3 ) ( Й£5 ^ |
4~ ®44 5а ) ' |
) |
|
||||||
Решая |
уравнения |
обобщенного закона Гука (7), написанного |
|||||||||||||||
для |
ортотропного |
тела, |
относительно |
напряжений оя, о^, |
тят, |
||||||||||||
Т?т, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3<Х— -®Не« 4 " -®12е|! |
|
|
|
Х«7 — *5*е.т. |
TPY — -®44e3v’ |
|
(7.33) |
|||||||||
|
а 3 ----®12е« + |
|
-®22еЭ |
^ 2 ° Y’ |
ХиЗ --- |
еве«3> |
" 1 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
где, |
как |
обычно |
(см., |
например, |
(1.33), |
(1. 34)), |
|
|
|||||||||
Я, __^22__ |
Ei |
|
|
Дпо =— |
fil_ -------— |
—VxV2 |
|
B №= ± = G V |
|
|
|||||||
|
а0 |
-1 — ^ 2 |
|
|
|
ао |
1 |
1 |
|
“«6 |
|
|
|||||
®12-- ' |
«О |
v2^!l |
|
v2^2 |
|
|
5 |
55” |
|
'13’ |
|
(7.34) |
|||||
1 — |
VjV2 |
1 — VjV2 |
’ |
«55 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вы— |
— G23, |
|
a0 — |
|
|
|
af2: |
1 — W |
|
|
|
|
|||||
и, кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
E\E2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A, = |
|
+ « * В „ = - -§J |
|
|
|
(7.35) |
||||||||
|
|
|
|
|
^2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
Рассматривая формулы (7. 33), замечаем, что учет |
нормаль |
|||||||||||||||
ных напряжений оу приводит к появлению |
в формулах |
нормаль |
|||||||||||||||
ных напряжений оя и о? членов с множителями А х и А2. |
|
||||||||||||||||
Подставляя значения деформаций еа, ер и |
из (7. 32) в формулы |
||||||||||||||||
(7. 33), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
ди |
, п |
|
да |
|
( |
п |
d2w |
, |
D |
д-ш \ |
, п „ . |
|
|
||
°*==Вп ^ + В1*-ц— У {Вп - ^ |
+ в п-ЩГ) + {к1Ви + |
|
|
||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
)(Я п«55 -Й -+ B .2«44-^)-44lV |
|
|
||||||||
°Э= |
В 221 |
- + |
Ди£ |
(-в 22*Т |
* |
+в и $ |
) |
{к2+ в п + |
|
(7.36) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ K B li) W+ |
~J |
|
"V) (522а44^-+ В12а55 ■^г)—^2°т» |
|||||||||||||
% |
= « - № |
|
+ S - ) - 2 ^ |
|
^ |
- + |
|
|
|
|
|||||||
+ т(*4 т ) (566«S5^ + й66а44 .
S Л |
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
113 |
В формулах для напряжений (7.36) фигурирует нормальное напряжение от, которое может быть определено из уравнения равновесия дифференциального элемента тела оболочки, т. е. из третьего уравнения (16) или (1.12). Подставим выражения напряжений оа, о?, т и соответственно из (7.36) и (7.30)
в указанные выше уравнения и произведем интегрирование по у, учитывая при этом, что a^ = Z = Z * при y—h/2 и от= 0 при y = —h/2;
тогда с точностью kji получим для напряжения ^
от= т + т [ № в „ + а д - Й - + № 2+ * . ^ 2) ^ +
+ (ЩВи + |
2А ^512 + ЩВ22) и>]4 ~ f ( т ' |
^ {к 1Ви + к 2ВХ2) ^д + |
||
+ |
+ k fi12) |
( £ - £ |
) ( £ + $ ) • |
(7.37) |
Подставляя выражения для напряжений из формул (7.30), (7.36) и (7 .3 7) в формулы (1.15), получим с точностью техниче ской теории для внутренних сил и моментов следующие формулы:
71= Сп i ^ + k ^ + C ^ + k ^ - A ^ , |
|
||||||||
72= |
С22 (-^р- + k.2wj -f- Си |
-f- kyU>} |
А2Т°, |
|
|||||
|
= |
52 = s = |
r |
fd a .d v ' |
|
|
|
|
|
|
° 66 \dT <“ ~da ,). |
|
|
||||||
Mx= |
- D n d-w |
|
p. d*w , |
■(Dua55^ |
+ |
|
|||
|
|
da~ |
“ ^12 Jp' + To |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4- ^12й44 d$ j1—AJP, |
||
M2 |
d^w |
D |
d~w- 1- - |
/ „ |
<?Ф l |
|
|||
|
= |
H22 dr- |
|
|
dai 1 |
10 |
d'? + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4- 7?i2a55 da )^ -A 2MO, |
||
Hr |
|
|
- |
2D |
da d[i |
f ^ j /Лс («55Ж ^ |
<ty\ |
||
|
|
da J’ |
|||||||
|
= H2= H = - |
d'w |
|
|
|
|
|||
Л\ |
|
№ |
2 |
h3 . |
|
|
|
|
|
|
N |
12 |
|
|
|
|
|
||
где введены обозначения: |
|
|
|
|
|||||
70= Т Z + (kfin + W |
|
+ (*2^22 + |
-^рг . |
||||||
АР = |
(k fin + KDn) |
+ {kfin + k fi12) % + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
frb |
f ду . дф\ |
|
|
+ (A?Dn 4- 2kjt.fin 4- kfirJ w- 1 2 0 |
+ I f )'* |
||||||
8 С. А. Амбарцумян
114 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. 1 |
|
Рассматривая формулы для внутренних сил и моментов |
(7.38), |
замечаем, что учет явлений поперечных сдвигов и нормальногонапряжения в этих формулах представляется в виде поправоч ных членов с множителямиft2/10, Аг и А 2. Если поправочные члены, учитывающие поперечные сдвиги, зависят только от относитель ной толщины и физико-механических характеристик материала оболочки, то поправочные члены, учитывающие нормальное на пряжение, зависят также от главных кривизн срединной поверх ности оболочки. Очевидно, что чем положе оболочка, тем меньше влияние поправочных членов, учитывающих нормальное напря жение от, на напряженное состояние оболочки.
Уравнения равновесия (7. 25) в рассматриваемом случае запи шутся следующим образом:
dT^.dS__ _п |
дТ2 |
dS |
0 , |
|
|
да |
— U’ |
<?(4 "г |
да = |
|
|
(к1Т1-j-k2T2) |
dN, |
dN2= |
Z, |
(7.40) |
|
|
|
д а |
|
|
|
д Щ \ д Н _. дг |
д_Щ |
д Н _ N |
|
||
да "т" |
х’ |
ф г" |
да |
2’ , |
Подставляя значения |
внутренних |
сил |
и моментов из (7.38) |
|
в уравнения равновесия |
(7.40), |
получим следующую разрешаю |
||
щую систему дифференциальных уравнений уточненной теории ортотропных оболочек:
Ьп {Сtic) |
|
№1^11 ~Ь к2С12) —— |
^(^Дц -f- |
||||||
|
+ |
W |
S + (k fin + |
fc A J 3^ |
] = Al ^ |
, |
|||
^22 (C{k) V+ |
^12 iPiк) a~Ь №2^22 ~f“ |
|
|
--- A2[(*,0,2 -)- |
|||||
|
+ M 12)щ + (kiDn + M 12)-df^\= A 2J -|r’ |
||||||||
(M u |
+ k2Cl2) |
+ (k2C22+ k,Cl2) |
+ (k\Cn + |
|
|
||||
|
+ |
2k1k2C12+ klC22) w - ^ |
{ ^ |
+ ±d ) - |
|
(7' 41) |
|||
|
- (M i + М 2) [M u + W |
|
+ |
|
|
||||
|
+ |
(V > * - f k,D12) |
z [ l + |
A ( M i + |
М |
2)], |
|||
bis (b<s) w |
JQ Га55Ьц (Dik) <p-f- aitL12 (Dile) ф] 4- |
cp-f- |
|||||||
+ |
Ai [( M u |
- f k2D12) A j- -f- М |
|
22- f fcjDjg) -A A . 4. |
|
||||
§ |
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
115 |
+ « Л и + |
+ * * » - ) 5 — т > ( 4 £ + $ г ) ] = о . |
|
^23 (-^*fc) ^ |
Jotfl44^22 i^ik)Ф ~ЬД55^12 (Л,-*) 'Р]+ -Jg"Ф ~Ь |
(7.41) |
|
|
"Ь ^2 [(*2^22 + ^1^12) |рг + (*1^11 + |
* 2^ 12) |
4-2 k k D 4-№П ^ dw —5 ( ^ |
|
г *К1К2и 124" кги чг) |
120 V д^ |
+ (ki-Dll +
& У ! = о .
да dp /J
где для линейных операторов и жесткостей имеем известные вы ражения;
Ln (Сцс) — |
|
+ |
^66 доТ > |
|
||
*12 |
(Cite) — (*Т2+ |
* 6б) дад$ |
’ |
|
||
|
|
<?з |
|
|
дз |
|
*13 |
(Л <л) — |
Dn ^ |
-f- (Dn -f- 2Dm) да <%s |
(7.42) |
||
* 2 3 |
(Л „ ) = |
Я 22^ |
+ |
(Л и + |
2D,,) ^ |
|
^ ( C J = C 22| i + |
Ce6£ , |
C<fc = ABift» |
о ,» = - й - в „ . |
|||
|
Уравнения (7.41) составляют полную |
разрешающую систему |
||||
пяти дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функций и, v, w,{р, ф, через которые посредством формул (7.30)— (7.39) представляются все расчетные величины оболочки. При ре шении конкретных краевых задач к разрешающим дифференциаль ным уравнениям (7.41), как обычно, присоединяются граничные условия, некоторые сведения о которых приводятся в пункте 4 настоящего параграфа.
Разрешающие уравнения уточненной теории могут быть пред ставлены и в форме смешанного метода.
С этой целью к уравнениям равновесия должно быть присое динено уравнение неразрывности срединной поверхности (7. 26), которое в рассматриваемом случае «весьма пологой» оболочки
запишется следующим образом: |
|
*2*1 + ^ 1 х2 + е2,« — и),«з + Е1.зз==0. |
(7. 43) |
Это уравнение, выражающее неразрывность срединной поверх ности оболочки, остается справедливым и для уточненной теории, учитывающей явления, связанные с поперечными сдвигами и с нормальным напряжением су
8*
116 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. 1 |
||
Йз (7.38) и (7.19) |
согласно (7.9)— (7.20) имеем для |
внутрен |
||
них |
тангенциальных |
сил |
|
|
|
Тг— Cns1-)-С12е2 A-LT®, |
S — S 6(.u>, | |
(7.44) |
|
|
Т2= C22S2~hCl2Sl --A2T°, |
1 |
||
|
|
|||
где компоненты деформаций е., to согласно (7.9) будут выражаться так:
ди . |
, |
dv . |
, |
да . |
dv |
(7.45) |
|
S1= 17 + |
^ W’ |
*2 = Ж + |
к2W’ |
m= -3p-+ |
да |
||
|
|||||||
Далее, из (7.11) |
с принятой точностью получим для коэффи |
||||||
циентов изменения кривизны и кручения срединной поверхности
__ |
IРш |
д2ш _ |
0 д?w |
(7.46) |
|
|
х2~~ ~ Ж ’ т ~ — z ЖЖ • |
||
|
|
|
||
Решая систему |
(7.44) |
относительно |
компонент деформаций |
|
е2, е2, ш и подставляя полученные при этом значения, совместно с (7.46), в уравнение неразрывности (7.43), найдем
£•22 р |
__ ^12 р |
| Сп р |
^12 р |
О0 !>№ |
Si„ |
у0 ^ 2, аа |
Q0 |
- т к s-< - к^ |
|
- |
Г - + |
|
+ ( — |
= |
(2 . = |
СПСЯ — с;,). |
(7.47) |
Вводя функцию напряжений ^ (а, |
р) и выражая внутренние тан |
|||
генциальные силы по |
формулам |
|
|
|
^ 1 -- Р?» |
^2 -- дас’ |
&---------- &, |
(7-48) |
|
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (7.40), а из остальных трех уравнений (7.40) и уравнения не разрывности (7.47), в силу (7.38), (7.39) и (7.46), получим сле дующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:
w |
- |
S |
M |
= * . |
|
) |
|
|
|||||
|
Ф ( к ) |
W |
ц} fa55^U iP ik ) ¥ 4" й44^12 |
Ф1 4 “ |
(7. 49) |
|
CndJF\
Q0 д з з )< "
. УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
§ 7]
|
+ |
(Ах тг - |
А* |
|
[ {kl° n + |
№ |
, ) 2^ + |
|
||||
|
_f_ (kftn ~h KDn) |
„ |
. 1 |
г> |
|
\ |
1 |
|
||||
|
+ h D&> TTdp] + |
|
||||||||||
|
|
|
|
, _ |
4/C„ d»/ |
£i3 |
^ |
\ i |
|
|||
|
- f " |
~ h k l ® n ) \ Q 0 <ja 3 |
2 () |
да ф ) ~ Г |
|
|||||||
|
_|_(Л2^ - — |
|
|
|
+ |
|
|
Таd|№+ |
|
|||
|
|
° |
|
|
i |
7 n |
|
|
|
120W + fa |
— |
|
+ (kP u + KDu) (*2^22 + *1^32)«Ja3J |
|
|||||||||||
|
= - А , [ ( А ^ - А , тС % )№ « + к^ |
+ |
|
|||||||||
|
|
|
+ |
( ^ |
|
- ^ |
) (v > » + w ] 4 g , |
|||||
L„ (D „) » - и |
^ |
( а д |
♦ + |
°*Л |
> |
|
‘P' + |
|
||||
|
|
|
f |
|
|
г> . |
/Си |
dZF |
C12dSF\ |
|
||
_J_ |
tj> - f - Л a |
{ ( Й 2 ° 2 2 + |
Й 1г ? к ) |
( о ; |
# |
л * 2 |
2 0 «>Р3 / |
+ |
||||
|
+ |
(^2 ^ |
" |
Л1Й ) [ (/Г2° 22 + |
|
|
^ |
+ |
|
|||
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
d3w 1 |
|
|
|
(K D ^ + h D ^ ) Ф Р п + h D^ |
|
ajO?rJ + |
|
||||||||
|
|
|
|
_ |
s(Cu^F |
с12 |
d3F \ |
|
||||
|
-\-{kxDu -\-1h” iV VQ0 (?ps |
Q0 |
d$da?)T- |
|
||||||||
|
+ (Д а § f - ^ |
) [ ( № |
+ |
|
|
|
+ |
|
||||
_l_ |
4 |
0 |
|
« |
I |
» n |
4^*1 |
— |
|
— |
||
-f-/Cj/^iz) (k l D n + |
|
k2U P |
d p ] |
120 W |
J ^ да d$)\ |
|||||||
|
= . - A [ ( 4 . t r " A 3 ? ) № |
+ y > ” ) + |
|
|||||||||
+ [ ( 4 a^ - 4 , ^ ) № + ‘ .O.0 +
117
(7.49>
+ ( ; , l |
,к' Г>" + |
S F ^ 5 + |
118 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. I |
где наряду с линейными операторами Ьп, Ьгг, Ln, L1S, L 23, выра жения для которых даны формулами (7.42), имеем также новые линейные операторы
т (Г< \ |
V 11 № I |
[ 1____О ^12^ ^ |
I |
^22 д* |
|
\uik) |
— QO dai -г ^Cee |
^ J(j)< |
т |
ао » |
|
v |
___ L i l a |
— L i l |
|
|
(7.50) |
|
|
|
|||
R~~ R2даГ- ~ |
d'fi • |
|
|
||
Таким образом, задача «весьма пологой» оболочки в постановке уточненной теории свелась к разрешающей системе четырех диф ференциальных уравнений относительно четырех искомых функ ций w (a, р), F (а, (3), tp (а, (3), ф ( а, (3), через которые представ ляются все расчетные величины оболочки.
Нам остается привести формулы, с помощью которых могут быть определены тангенциальные компоненты перемещения, т. е. и (а, р) и v (а, р). Из первых двух равенств (7.38) согласно (7.39) и (7.48) получим
|
|
|
|
|
[? z + |
|
|
|
+ (k|^u + |
М \ г) |
|
|
, |
|
|
^12 r |
|
|
h у |
(7.51) |
v |
Ft |
/__ I |
|
[ |
||
|
— KW~T |
Q0 |
1_2 Л + |
|||
|
|
|
||||
|
|
4~ (*2^22 + |
К&п) W,&"Ь (К®11+ |
К&п) |
• |
|
На основании полученных выше результатов легко построить вариант теории «весьма пологой» оболочки с учетом лишь явле ний, связанных с поперечными сдвигами. С этой целью во всех приведенных выше уравнениях и соотношениях формально надо положить A j = 0 , Л 2= 0 , тем самым исключив из всех уравнений
и соотношений члены, которые происходят от |
|
||||||||
Поступая указанным образом, получим из (1Л1) |
следующую |
||||||||
систему |
разрешающих |
уравнений: |
|
|
|
||||
^11 (£<*) М+ |
^12 (£<*) V+ |
(К^П + |
КР12) |
— 0 * |
|
||||
^22 (C ik) V + |
^12 (C ik) U + |
( К С 22 + |
К С п ) |
= 0. |
(7.52) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(КСи + |
k2Cl2) £ |
+ (k2C22+ |
к,с12) |
+ |
|
|
|||
+ |
{k\Cn + |
2kACi2+ |
k\C22) w- |
£ |
(-g- + ^ -) = |
Z, |
|||
5 7] |
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
119 |
^13№ik) W— "Jo" [а55^11 Фие) ? ~Ь а44^12 Ф ik) t] + ^2 ? = О»
^23Ф<*) W |
|
Jo" [а44^22(Pik) t ~Ь а55^12Ф<&) ?] 4 “ J]>t |
= |
|
(7.52) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
Далее, для расчетных величин получим выражения! |
|
|
||||||||||||
для напряжений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
« . = в » Ж - + 8 » Ж - 7 (* . . ё + « и ё ) + <*-в " + |
|
|
||||||||||||
|
|
+ |
а д w, +) |
1 |
( £ |
_ |
£ |
) ( a |
11%£ |
+ в |
|
1Л< * ) , |
||
3, = Bza |
+ |
Bia ^7— Т (5 га ^ |
+ |
в ч ё |
) |
+ (М^гг + |
|
(7.53) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
*i®is) ^ + |
у (4 |
'^ )(^ гг‘г41 ^ |
+ |
^1^55^) . |
|
|
|||||
|
|
|
+ я ) - 2в . . т ^ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ 1 ( т - ¥ ) ( в^ ё + в“ “" ё ) ; |
|
|
|||||||||
для |
внутренних сил: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л = С „ ( ё + » . " > ) + С „ ( ё + * 4 о ) , * , = £ ? . ] |
|
|
||||||||||||
r , = |
CB ( ^ + V » ) + |
Cu ( ^ |
+ |
4.®). |
* , = |
& ♦ . |
! |
(7.54) |
||||||
|
||||||||||||||
в = |
с« ( ё + ё ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|||
для внутренних моментов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
М1 = |
“ |
^11 i S - _ |
i f |
+ То (fl« A l 5 + |
®«D12 ■ ^’) > |
|
|
|||||||
Мг= |
— ^22 Ip " — Dn "^ Г + ТО ( “44^22-^Г + |
«55^12^ т ) . |
|
(7.55) |
||||||||||
Н ~ ~ |
2Z)66 - ^ р " + Т оD«* ( я«« |
|
+ |
а«I T ) |
• |
|
|
|
||||||
Главная особенность полученных формул для внутренних сил и моментов заключается в том, что уточняющие классическую теорию члены фигурируют лишь в соотношениях упругости (7. 55), т. е. в формулах для моментов. В связи с этим первые два безмоментных уравнения разрешающей системы (7. 52) не содержат искомых функций «р и ф и не отличаются от соответствующих уравнений классической теории.
120 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. I |
В рассматриваемой постановке (т. е. без учета явлений, свя занных с нормальным напряжением от) существенно упрощаются н разрешающие уравнения системы (7. 49). В этом случае получим из (7.49) следующие разрешающие уравнения рассмотренной задачи:
L , ( C ik) F - V |
Bw = |
0, |
L iA D J w - ^ a №L n (D j9 + auLli{D J M + |
£ 9 = |
0, (7.56) |
L 23 Ф (к) w— ^ [auL2 (Dik) ф- f aS5L 12 (Dtk) ?1 + |
jg Ф = |
°- |
Эти уравнения, как и аналогичные уравнения общего случая (7.49), составляют полную систему четырех дифференциальных уравнений относительно четырех искомых функций w, F, tp ф. Однако система разрешающих уравнений смешанного метода (7. 56) может быть сведена к одному разрешающему дифферен циальному уравнению десятого порядка относительно некоторой искомой функции Ф = Ф (а, (3). Действительно, полагая
+ (««0 11 + % С ..)|1 ]+ “ }^(С ,»)Ф , <7'э,) ^ == {гоо а44а55^66^3 Ф(к) — ]2о[(а44^22+ а55^6в) ^2 +
+ (а 55^11 4 " а 44°6б) ^ г ] + щ } ^ д ф ,
тождественно удовлетворим трем последним уравнениям системы (7.56), а из первого уравнения получим искомое разрешающее дифференциальное уравнение десятого порядка:
(7.58)