книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

щая начальному распределению, сосредоточенному в точке х. Про­ цесс Х^°’у называется закрепленным броуновским движением. Рас­ смотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение:

и поэтому решение X{t) находится по формуле t

0 0

совскими процессами с ковариацией

Г (s, t) = t Д s — ts/t0.

Таким образом, уравнение (8.35) является стохастическим диффе­ ренциальным уравнением, определяющим закрепленное броуновское движение Х*°'у.

§ 9. Стохастические дифференциальные уравнения по пуассоновским точечным процессам

До сих пор мы рассматривали только стохастические дифферен­ циальные уравнения относительно броуновских движений. Для та­ ких уравнений решения всегда являются непрерывными процесса­ ми. Можно рассматривать также более общие стохастические диф­ ференциальные уравнения*), которые, кроме броуновских движе­ ний, содержат и пуассоновские точечные процессы; в атом случае, однако, решения обычно являются разрывными процессами. Для простоты мы рассматриваем такие общие уравнения только для слу­ чаев. приводящих к марковским однородным процессам.

Пусть {U, З&и) —измеримое пространство и n(du) — о-конечная мера на нем. Пусть U„ — множество в 3Sxs такое, что n(\J\U0 < °о. Пусть о (х) = (о}, (х)) — измеримая по Борелю функция R ' -*■ R' ® Rr, b(x) = (b'( х) ) — измеримая по Борелю функция Rd Rd и /(х, и) = =■(/* (х, и)) -г- <%}(R d) х 9&v -измеримая функция Rd X U R* такая, что для некоторой положительной постоянной К

||ог(х);р + |!6 (x)i|2 + f||/(x, u)\f n(du)^K(l + |х|2), х« =Нй. (9.1)

■ Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное урав­ нение:

где В = (Bb( t ) ) — r-мерное броуновское движение, р — стационар­ ный пуассоновский точечный процесс на U с характеристической мерой п, a Np и Np определены в § 3 главы II. Точная формулиров­ ка понятия решения такого уравнения следующая. Решением урав­ нения (9.2) называем непрерывный справа процесс X = (Х(<)) с ле-

*) Эти уравнения называются стохастическими дифференциальными урав­ нениями скачкообразного типа.

посторонними пределами на Rrf, определенный па вероятностном про­

B = Bh(t), (У {)-стационарного пуассоновского точечного процесса р

схарактеристической мерой п и W -значного У„-измеримого случай­ ного вектора |, определенных па одном вероятностном пространстве

спотоком (У t), существует единственный d-мерный (У t)-согласо­ ванный непрерывный справа процесс X(t) с левосторонними преде­

пость решения во временном интервале [0, Oi]. Для этого рассмот­ рим уравнение

и предположение (9.3), можно такими же рассуждениями, как в до­ казательстве теоремы 3.1, показать, что единственное решение Y(t) уравнения (9.4) существует и строится следующим образом: если

) Мы игнорируем тривиальный случай, когда п (\3\U0) — 0.

Г Л Л R Л V

ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

§ 1. Стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях

Пусть М — d-мерное С°°-мпогообразие, т. е. М — хаусдорфово то­ пологическое пространство с открытым покрытием {С/а}а ел множе­ ства М, где каждое С/а снабжено гомеоморфизмом фа, отображаю­ щим JJа па открытое подмножество фa(Ua) пространства R'' так, что если Ua П{/р Ф 0 , то функция фр° фсГ’ из (fa(Ua П17ц) в фр(^ а П17ц) является функцией класса С°°. Ua называется координатной окрест­ ностью, а для координаты вектора фа(я) = (х1, хг, ..., хл е e R ' называются локальными координатами точки х. В этой книге мы всюду предполагаем, что М связно и о-компактно. Хорошо из­ вестно, что в таком случае М наракомпактпо и имеет счетную от­ крытую базу*).

Функция f(x), определенная на открытом подмножестве D мно­ гообразия М, называется функцией класса С°° (или гладкой), если она принадлежит классу С” как функция от локальных координат,

т. е. / о фа1 является функцией класса С” на фа(£А* ПО) для всяко­ го а. Пусть F (М) — совокупность всех действительных С” -функций на М, a F0(M) — подкласс F(M), состоящий из функций с компакт­ ными носителями. Системы F(M) и F0(M) являются алгебрами над полем действительных чисел R с обычными операциями / + g, fg

и Kf(f, g е F(M) или Fe(M), i e R ) ,

Пусть x e M. Касательным вектором в точке х мы называем ли­ нейное отображение V множества F(M) в R такое, что

V(Jg) = v U)g(x) + f(*)V(g).

Множество всех касательных векторов в точке х образует линейное пространство ТХ(М), называемое касательным пространством в точ­ ке х, с операциями

( V + V ' ) ( j ) = V ( f ) + V ' ( j ) и (XV)(J) = W(f) .

Пусть (х\ хг, ..., xd — локальные координаты в координатной

*) См. [119].

236 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

является касательным вектором в точке х для всякого i — 1 , 2 ,

. . d. Это отображение обозначается через ( — ) . Легко видеть, что

книге, если не оговорено противное, мы рассматриваем только С“ - векторпые поля. Совокупность С°°-векторпых полей обозначается

Зс(М).

п пусть ^ (W (М)) — a -поле, порожденное борелевскими цилиндри­ ческими множествами. Момент варыва e(w) определяется равенством

мент (т. е. непрерывный процесс на М с «ловушкой» А), опреде­

где первый член в правой части понимается в смысле интеграла Фиска — Стратоновича, определенного в § 1 главы III.

*) в соответствии с общепринятым соглашением мы опускаем символ суммирования для индексов, встречающихся один раз внизу и один раз вверху.

**) По определению, / (Д) = 0 для всякого / e F 0( f ) .

Кость координатных окрестностей системы, содержащих х. Тогда

0

((—/A t?()Atx^(u'n)

0

— “ДО-

240 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Так же легко доказывается единственность решений.

З а м е ч а н и е 1.1. Можно построить решение уравнения (1.1) более непосредственно с привлечением теоремы вложения Уитни [166]. Для этого М погружается в R2 c i + 1 как замкнутое подмногооб­ разие R2ci+1, а векторные ноля Аа(х) являются сужениями на М гладких векторных полей Ла(х) на R2d+1. Стохастическое диффе­ ренциальное уравнение, соответствующее Ла(х), определяется гло­ бально в евклидовой координатной системе и решение строится так же, как н в главе IV. Если начальное значение принадлежит М, то

Типичным примером применения метода вложения является по­ строение броуновского движения на сфере, данное в § 2 главы III.

можно показать, что (PJ обладает строго марковским свойством. Фактически можно доказать следующий более сильный результат:

то имеем

r

d (Aaf) (X (t))-dwa(t) = 2 Aa(Aaf) (X (t)) dt.