книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 5. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

193

где Я(

W (S )^ S '‘l

задается равенством

я/1д2.....(71(«')=

(гг (f j). iv(t2 , . .. . гг (*„)),

и боролевское

подмножество в топологическом пространстве

есть

множества.'Пусть &(W(S))— о-ноле

в W (S),

порожденное всеми

борелевскими цилиндрическими множествами, и пусть

(W (S)) —

a-ноле, порожденное всеми цилиндрическими множествами

до

мо­

мента

t, т. е. множества, записываемые

в видея^д2.... гп(-А),

гДе

t„*Zt.

Семейство вероятностей

{Рх. г е Л

па (W (S),

3§(W(S)))

называется марковским *), если

всякого i e S ' ;

(I) Px[w, гг(0)=х} = 1 для

(II)

функция

измерима но Порелю (или, в бо­

лее общем

случае,

универсально

измерима)**)

для

каждого

A e J ( W ( S ) ) ; '

_

(III) для

каждых

t > s >

0.

/ l e ^ , ( W ( S ) )

и бореленекого под­

множества Г из S'

Рх (А П {w; w(t) е= Г}) =

f /V<.) Iн" w(t -

s) e= Г1 Px(du-')

(5.1)

k

для каждого x e

S'.

x e

5"}

называется

консервативной,

Марковская

система {Px,

если

Px{w; %(w)= °°} =

1

для всякого

x ^ S .

(5.2)

Р(1,

х,

Г) = Р,(гг;

1г(*)е Г>.

(5.3)

Семейство {P{t,

х. Г)}

называется переходной вероятностью

мар­

ковской системы. Последовательным

применением

(5.1) нетрудно

убедиться, что

Рх [гг (tx) <= Лх, w (t2 e v l , .

. . . , н- (1„) е

Ап\=

= \ P(tl7 x,d xj [ P(t2— tx, a?i, tf.r2)

. . . { P (tn—

a-n-,, dxn

Aj,

A g

Aj-,

для

0 < tx< t2< . . . < tn, A{ «= & (5'),

(5.4)

196

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

С л е д с т в и е . Пусть

{Рх, х <s 5'} — система

вероятностных

мер

на (W (S),

(S))), которая удовлетворяет условиям (I)

и

(II)

определения 5.3. Условие единственности (III)

теоремы 5.1

тогда

следует из более слабого условия

(IV):

(IV)

Еели {Рж] — любая другая система вероятностных мер на

(W(S), &(W(S))), удовлетворяющая (I) и (II), го тогда

С / (и: (0)

{dir) =

/ (и: (f)) К

(dw)

(5.6)

W(S)

W(S)

для всяких l > 0. х <= 5'

u f^J~,

где 3~ — некоторое тотальное се­

мейство*)

в

C (S'). Равенство

(5.6)

можно также заменить, ра­

венством

со

!Х>

f

f <?->•'/(ю(0) d

f (dir) =

_ f

J

(H; (0 )dtP'x (dw)

(5.7)

W(S) »

W (S)«

для всяких X > 0, x e s '

и j e J“,

где ,:7~ — некоторое тотальное се­

мейство в С (S').

Точно так же, как и в предыдущем дока­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

зательстве, имеем

J

} (и/ (0) 1,1г(dw') =

_

J / к

(0 );v«.<u-)>(*«')

XV(S)

W(S)

(PJ — строго марковская система. Так как

— тотальное семейст­

во, то из нашего

предположения (5.6)

следует, что переходная

ве­

роятность P(t,

х,

Г )= Px(w(t)^ Г)

определяется единственным

об­

разом. Следовательно, согласно

(5.4)

Рх определяется

единственным

образом как мера на $(\\(S)),

т. е. удовлетворяется условие (III).

Эквивалентность (5.6) и (5.7) очевидна.

теоремы

5.1.

Следующая теорема является простым следствием

Т е о р е м а

5.2.

Пусть

(А, 2) (А)) — линейный

оператор

на

С(S') и пусть

(Я,

SF, Р) и («Г,)(>о заданы,

как обычно. Предполо­

жим, что для каждого x ^ S '

существует S'-значный

(2~^-согласо­

ванный случайный процесс Xx = (X(t))

такой, что

|0, £(о) =

(I) с вероятностью единица

Х ( 0 ) = х ,

отображение

= t(X r)) э t ->■ X (t) ен S непрерывно и

Х(1)= А для

t >

£;

(II) для всякого j ^ 2 ) ( A )

Xf (t) =

/ (X (t)) -

i (X (0)) -

\ (A!) (X (,)) ds

является (2~t)-мартингалом.

о

*) Семейство T

cz C(S') называется тотальным,

если для любых борелвв-

§ 5. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

197

Пусть

Рх— вероятностный закон процесса Хк на

(W (S),

3B(W(S))),

и предположим, что отображение х >-*■Рх универеально

щим из х

S .

где

А

присоединя­

П р и м е р 5.1. Пусть S = IV' и 5 '= RJ U{Д},

ется к R ' как изолированная точка. Пусть S) (А) =

[f

C(S’): / \n,i <=

e C ^ ( R d)l,

и определим А па 3)(Л)

равенством

Aj(x) =

^ g R "'

(Гк8)

[О,

x = A.

{Р*};

это —

Тогда оператор А порождает единственную диффузию

d-мерное броуновское движение, т. е. Рх — вшюровская

мора,

соот­

тивпа.

Действительно, функция /(.г), определенная

посредством

/ (a)|R(( == Ои / ( А ) = 1 ,

принадлежит 2D(Л)

и Af(x) = 0. Таким обра­

зом, IA(w(t) ) — мартингал но мере

Рх для

всякого х,

и,

следова­

тельно,

если

.г е R'1,

то IA{ir(t))= 0

для Рх-п.

в.

w,

т.

е.

Px(t.(w) = ° о ) =

1. Следовательно, для всяких f <=Ci(l\‘!)

и

H E R'1-

f(io(t)) — /(и?(0))— j1

(A.f)w (.<?) ds

является Р*-мартнпгалом,

и

мы

образом, Л-диффузпя представляет

собой

d-мерное

броуновское

движение.

S' и

2D (А)

то же,

что

и

в

примере

5.1.

П р и м е р 5.2. Пусть

Определим А на 2D (Л)

равенством

(

з

| т Л> И + ! * » $ ( * > ’

* e R "’

(5.9)

[о,

X

=

А,

где с = ( с , ) е R' — постоянная. Тогда

оператор

А порождает

един­

ственную диффузию

(Ру);

Рх — вероятностный

закон процесса

X(t) = х + B(l)+ ct, где

B(t)— d-мерное броуновское

движение с

Р ( 0 ) = 0 . Эта диффузия

называется

d-мерным броуновским движе­

нием со сносом с.

198

ГЛ. IV. с т о х а с т и ч е с к и е у р а в н е н и я

П р и м е р

5.3. Пусть S' =

Rrf U{А},

как п в предыдущих приме­

рах. Пусть 3) (-4) =

( / е

С (S');

/ |R,; е

С/',(R ‘f) и /(A) = 0),

и опре­

делим Л на 2D (А)

равенством

Af(x) =

| (А /)(х ) - с /(х ), х «= Rrf,

(5.10)

LO,

х = Д,

ix + B{t),

если

t< .e,

Xx(t) —

если

/ ? ( * ) * 0,

X< R",

X=

(I)

и (II) определения 5.3, то

г

h («• (t)) -

h И 0)) -

J (Aft) № (*)) ds

является Рятмартингалом. Таким

образом,

если

x ^ R 7, то*)

t

Е х’ [ е ^ ш

:

S

> 0

=

e ,<Sl!e>-

( 4,

^

+

c )

f Z > s ] d s ,

6

и поэтому Ex\ii {w (£))] =

Ех

£ >

t] ~ ei<i'x>~№2li+c'>1. Заккак

{fi

: 1 е R ) — тотальное

семейство,

то заключаем, что UM совпада­

ет с {PJ согласно следствию теоремы 5.1.

П р и м е р

5.4.

Пусть

S = R '|:=

\х =

(х1, х2, . . . ,

х'1 е R1'; х' >

^

0), S' = R+

(J {А}, где А присоединена

к R+ как

изолированная

точка.Пусть ЕЕ (И) — |/ е

С (5');

/ j nd е

Cf,(R!()

н

£я|о5 = 0}’ где

§ 5. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

199

dS « ( I G

R'i : xd=

0),

и определим А па 3) (Л) равенством

а

/

м

-

Н

(5.11)

д

[о,

х = А.

Тогда оператор А порождает единственную диффузию {PJ на R+,

где Рх— вероятностный

закон процесса Хх(t), определенного следу­

ющим

образом. Пусть

B(t) — (Bl(t), Bl (t),

...,

B'!(t))— d-мерное

броуновское движение с £?(())= 0 и

Xx(t) = ( x l + Bl(t),

x2 +

B2{t),

. ..,

х‘(- ' + B"-l(t),

\x, + Bl(t)\).

Эта диффузия называется броуновским движением на

Rr'. с

отра­

жающим экраном. Чтобы доказать ото утверждение, заметим снача­

ла,

что

согласно

п.

4.2

главы

III X* (t) =

xh +

Bh(t) +

8ЫФ(0 для

/г =

1,

2,

..., d,

где

В{1)— d-мернып виперовскин мартингал*),

а

<p(i)— локальное

время

процесса

Xx(t)

в 0,

т. е. ср(£) =

«

= Н т (Д- [ / (0jR) (Х‘х (s)) ds.

Следовательно, по формуле Ито

е 4 "

о

1

(Xx( l ) ) - f ( x ) - j j ± y ( X x(s))ds =

*

О

i

=

2

,fJ-k

( « ) ) dP ( * ) +

. [

(X* ( * ) )

/ a s ( X ,

(s)) d<p (s ) =

2

i 7 1

(x * ( * ) ) Я* (я),

если

/ е ® ( Л ) .

*“ ) Ji дх

,

, , ( f f ^ ^ c o s l V ,

х е

R'j.,

h lr) =

z =

A.

lo,

Тогда /; е 2 ) ( Л )

и, следовательно,

*) Действительно, БЧО = #*(0 для

и S 'f (0 — J sga(^d -I-Bd{s))dBd(s).

2 0 0

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

является Рх- мартингалом. Заметив,

что Af% =

—Ц^-/е, будем

иметь

f

E x Ih

(ю

(*))1

= h

(* ) -

Щ

-

f

Е ’х [ / 5 (W (* ))] d s .

х

0

Ил этого .уравнения

следует,

что

Ех [Д ((<-'Д))1 =

схр ^— Ц г-^ )/*(г)>

и так как

(Д,

| е

IV'}— тотальное семейство,

то

можно

применить

следствие теоремы 5.1 и .заключить, что Рх = Рх.

только

одномер­

П р и м ер

5.5

[77]. Для

простоты

рассмотрим

ный случай. Пусть

S =

[(), °о)

и

S' =

[0, °°) U{Д},

где

А — присо­

единенная

к

S изолированная

точка.

Для

заданного

параметра

у (0 < у <

1)

пусть

0

(Л) =

|/ <= С (S'): / |1()>оо) <= С?,([0, оо)),

(1 — "У) /(0) =

"(Г (0) }, и определим А

на 0 (A )

равенством

(4 7 ^ /И ’

л-е|0, ОО),

(5.12)

Л/(л) =

(().

х = Д.

Оператор А порождает

единственную

с

диффузию

{/Д}

па

[0. <»),

называемую броуновским движением

упругим

экраном

с

пара­

мя в 0, т.

е. (t) = П т ^

(%х (s))ds. Пусть

е — случайная

величина,

которая

811

о

распределена

со средним

экспоненциально

7/(1 — 7)

и которая не зависит от

Положим

Xx(t)

|М0>

если £ < £ : = inf {Ц q; (t) >

е},

|д^

если

[V£cos lx +

( I — у) sin |х,

х е 10, оо),

/ g ( ^ ) = |0 ,

х = Д .

П р и м ер

5.6. Пусть S — ограниченная

гладкая область в IV и

5' = 5 U{Д}, где А присоединена к S в качестве бесконечно удален­

ной точки*).

Пусть 0 (A ) =

C„(S)

( = { / : / дважды непрерывно

дифференцируема в S и стремится к 0 в Д}). Определим Л на 0 ( A )

равенством

х е

S,

Af(x) =

-5-А/М .

0,

х =

(5.13)

Д.