книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

пайдется

едипствеппая

пара (п,

к),

для

которой s =

s£.

Тогда

точечпый

процесс

р

с p{s-) =

{p{s),

h ,

D~ = D„ и

3~t =

= П о [р (s),

+ в]

является требуемьш процессом.

е> 0

т е о р е м ы .

Пусть

Q{t,

х, dz,

со)— вероят­

Д о к а з а т е л ь с т в о

цесс

f{t,

х, а, о»): [0, ° ° ) XX X [ 0,

1 ] X Q - > Z

такой, что лебегова

мера множества {а : /(*, х, а,

со )^ A} =

Q(t, х, А,

со) для каждого*)

$?z.

Пусть р — точечпый процесс

на Х Х [ 0 ,

1], определенный

в лемме 7.2. Будем писать

p{s) = {pl{s), p2{s))

для

s e D ~ ,

где

Pi(s) ~ P(s)e %. и

р>(s)<s [0,

1]. Определим

точечный

процесс

q2

на Z

следующим

образом:

D, 2 = D~ = Dp

и

g2 (s) = /(s,

Pi{s),

p2{s),a>)

Поэтому

c+

N4i ((0, t] X A) = j

j

IA (/ (s, x, a, со)) N~ {ds, dx da),

0

X X lo .l]

а компенсатор

Ngt((0, t ] x A ) = Jt

J

I A {f{s, x, a, со)) q{s, dx, со)dads~

t

0

XX[0,1]

i

=

J J

(s, ж, A, (0) q {s, dx, to) ds =

|

tf -^[0(я,г,<»)] HI (^)^ ds

(7.30)

для всех

4 e l z.

На расширении

(£], iF, P)

и

(#",)

пространства

расширению. Определим

точечный процесс q3 на Z

посредством

Dg3 = | s s D9I : 0 (s,

(s), <o) =

Д)

и q3(s) = qt(s)

для

s e= D^.

Тогда

<+

Ng3((0, t\ X

A) = J

j*7[()(5>г>(1>)=д] Ng2 {ds dz),

A e= 9Hz,

а его компенсатор

0

A

t

Ng3((0, t] X

A) =

j

j / (е(м,(0)=д]Щ {dz) ds.

(7.31)

0

A

Стратоповича или интегралу Фиска

([153], [169] и [137]). При

это.и

умножении правила дифференцирования сложной функции

(форму­

ла Ито) принимает такой же вид, как и в обычном исчислении.

Пусть (Q,

Р) — вероятностное пространство

и (^~<)<>о — по­

ток 0 -нолсй

(как обычно, предполагаемый

непрерывным

справа).

Введем следующие обозначения:

Ж (и главе II обозначаемое через

Ж%1оС

— семейство

всех не­

прерывных

локально

квадратично

интегрируемых

мартипгалов

М ■= {Mi) относительно

{&~t) с М» = 0 п. н.;

процес­

s t-+ — семейство

всех

непрерывных

{&~()-согласованных

сов А = {At) таких, что Л0 = О и t *-*• Atп. н. не убывает;

процес­

Ж- — семейство

всех

непрерывных

(#",)-согласованных

сов A = { A t)

таких, что Л, = 0 и t++At является функцией

с ко­

нечной вариацией на каждом конечном интервале п. н.;

$ — семейство

всех

( ^ t)-предсказуемых

процессов Ф = (Ф<)

таких, что с вероятностью единица

t *-»•Ф(

является

ограниченной

функцией на каждом конечном интервале.

Нетрудно показать, что Л = ( Л () е ^

тогда и только тогда, когда

существуют

i = l ,

2 , такие,

что

At =

-

4 2),

t > О**).

семимартипгал,

т.

е.

процесс,

Пусть X = {Xt) — непрерывный

представимый в виде

Xt - X , + Mt + A h

(1.1)

*)

Материалом для этого параграфа послужила статья Ито [74].

**)

Будем писать просто А —

— Л(а>.

§ i. ПРОСТРАНСТВО СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Ю 7

Ж. S&-Умножение: если Ф е 1 и 1 е ^ , т о

(Ф-Х) = X (0) + j Ф(s, (о) dMx (s) + 1 Ф {s, w) dAx (s), t^ O ,

(1.5)

о

о

Ф ^dX=d(Ф ^X).

( 1.6 )

dQ>dC?< tM,

d.<4- • dQ •= 0

и

Л? •< #• < # = 0.

(1.8)

Д о к и з п т е л ь с т в о.

Из свойств

стохастических иптегралов,

установленных в главе

И, немедленно следует, что dQ — коммута­

тивная алгебра пад 9$. Соотношепия

(1.8)

следуют непосредственно

из того, что <МХ, Жг> <= Ж' для X,

прерывном

случае

следующим образом:

если X 1, X2, ...,

Xdе Q и

/ e C2 (Rd- R ) , TO

Y = /(X 1, X2, ...,

Xd) e £ и

d

d

d Y = y >(d^-dX1+ -L

^

(W ) ' dX1.dX},

(1.9)

где dif п didjj являются элементами

и

определяются

соот-

ветствеппо

как

(X1, X s, . . . , X d)

и

-AXi , X 2,

Xd).

Teope-

му П-6 . 1

тоже

дх'-дх’*

следующим

образом:

можно перефразировать

(Х‘ (£), X2(t),

Xd(t))— d-мерный винеровский

процесс.

Такая

система мартипгалов (X1, X 2, ...,

Xd

называется

d-мерным

вине-

ровским мартингалом.

1 0 8

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Т е о р е м а 1.2. Пространство d/Q с операциями

9s. Ж. и &

является коммутативной

алгеброй над

для X,

Y, Z

имеем

X ° {dY + dZ) — X°dY + X° dZ,

(X + Y)° dZ = X ° dZ + Y ° dZ,

( 1.11)

X°{dY •dZ) = {X° dY)- dZ = X-(dY •dZ),

(XY)°dZ = X°{Y°dZ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

так

как

dQ •ds& = 0 и

dQ -d@ -dQ = 0 , то

X°dY = X-dY,

если

X

ш и

Г е ^ г ,

(1.12)

и

(1.13)

(Z'dX)'dY = Z-dX-dY.

Тогда, к примеру,

Xo(YodZ) = X-{Y°dZ) + ±-dX-(YodZ) =

= X-(Y-dZ) + ±-X-{dY-dZ) + ±dX .{Y -dZ) =

=

(XY) .dZ + -y d (XY) •dZ =

XYodZ.

<i

dY = 2

difodX1.

(1.14)

»=i

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно теореме 1.2

d

d

^ d ^ d x 1=

+ \- d m -d x * ) =

i=*l

i= l 4

'

d

d

/ d

d

\

= 2

dif-dXi + 4 2

2

W

' dX*+ 4 2

d№ jf>ax} -dxh №

=

i= l

i= l

\j ~ 1

},!<=1

/

d

d

= 2

di1-dxi + \

2

W

*'d X 1 •dxi

(согласно (1 .8 )) =

dY.

i= l

i,j= l

н о

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

(теорема

1-6.11)

l e

i

тогда

и

только

тогда, когда

Т*{М)е= Ж,

где пространство

Ж определено

относительно

t)

и,

кроме

того,

Т9<М, N> =

<.Т*М, УФА>.

Аналогично,

А ^ Ж

тогда

и

только тогда,

когда

ТУА е

Ж-.

Следовательно,

7,ф ([ф(Ш ") =

J 7,ф (Ф) й(7’фМ )

для Ф е |

и

М ^Ж ,

так

как

N = ^ФдМ характеризуется

как

единственный

процесс

из

Ж

такой,

что

<N, L> =

|ф d(M, L>

для всех

i e

Ж. Так как все операции в (*?

определяются в терми­

нах сложения

(которое, очевидно,

сохраняется оператором Уф),

опе­

рации (М, N> и стохастического

интегрирования,

то

утверждение

становится очевидным.

§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения

по квазимартингалам

Пусть (Q, ЗГ, Р) и (ЗГ,) заданы, как в

§

1. Предположим, что

заданы

X1,

X2, ...,

Хте Q

и

система

(o](a:))i= lt 2 .... <г,j=i,2,...,r

действительных

локально

ограниченных

измеримых

по

Борелю

функций па Rd. Мы хотим пайти У1, У2, ...,

У'1 такие, что

dYl (t) =

2

о) (У (*)) •dX>(t),

i =

1, 2, . . . ,

d,

(2.1)

i-i

где*)

У(*) = (У‘ (0,

Y2(t),

Yd(t)).

Т е о р е м а

2.1. Предположим, что

ст)(;г),

i — 1,

2,

...,

d, j =

= 1, 2, ..., d, удовлетворяют условию Липшица,

т. е.

существует

константа К > 0 такая, что

|о)(ж) — о) (у) |

X |я — у)

для всех

х,у<= Rd.

(2.2)

Тогда

для

каждого

заданного

у = (у1, у2, ...,

yd е

существует

единственный

процесс

У =

(У‘,

У2,

...,

Yd

такой,

что

У' е Q,

y*(0 ) = y i и имеет место (2 .1 ).

отсутствия

существенных

измене­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

ний предположим, что d — 1

и что

(2 .1 ) имеет вид

dy = a1 (y(f))*dM + a2 (y(f))*dA,

(2.3)

где М е

Ж, А <= Ж-, йг(х)

(i =

1, 2)

заданы и удовлетворяют

(2.2).