Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

§ 8. ПРИМЕРЫ

221

<оо, мы можем применить теорему 9.1 и заключить, что |(t) опре деляется единственным образом как i) -согласованный непрерыв ный справа процесс на дП с левосторонними пределами.

В-третьих, положим

f г t

Л (/) = Ст0

ст [Ф (I (.<>—), w \ Np(dsdw) +

f P (s (*•))ds =

Jjp>e(I>)

= or0

(s (s —))s or [p (s)] +

\о ( 1 (*)) ds.

(7.2 1 )

sct.seDj,

Используя (7.13), нетрудно показать, что Л (

— (^'^-согласован

ный

непрерывный справа процесс

такой, что <—»-Л(/)

строго

воз

растает

lim A{t) =

оо и. н. Для всякого

0 существует

единст-

венное

s ^

t Тэо

Л (s). Если

s = 0, т. е. О ^

t sS

О такое, что Л (s—) sS t

^ Оо, то Xх(I) был уже определен равенством

(7.19). Если

« > 0 и

A (s

) < А (л-), то

отсюда

следует,

что

s e D ?,

и мы полагаем .

.V (!) = Ф ( ! ( * - ) , /»(«))(< — Л (*—)).

(7.22)

Если s >

0 п Л (s—) = Л (в), то !( s ) = |(s—), а мы полагаем

X*(t)=%(s).

(7.23)

Таким

образом,

мы определили

случайный

процесс

Xх (t);

из

способа построения ясно, что функция

t •-*- Xх (I)

непрерывна н. п.

Оставшейся проблемой является доказательство того, что

Xх(t) —

— (Л, L) -диффузионный

процесс. Это

можно

сделать

в принципе

теми же рассуждениями, что и в главе III, п. 4.3. Однако доказа

тельство

довольно

усложняется, и

мы

опускаем

детали; см.

[17].

§ 8 . Примеры

П р и м е р

8.1.

(Линейная или

гауссовская

диффузия.)

Пусть

а =

(о],) — постоянная d

X /-матрица,

а Р =

(Р?,) — постоянная

d X

X d-матрнца. Положим Ъг(х)= 2

Р/гЛ',х = (х‘, х2,

..., / ) e

R'1. Рас-

смотрим

следующее

/*— 1

уравнение:

стохастическое дифференциальное

£ « } =

aldUl+ bi (Xl)dt,

/ =

1, 2

, . . . , d ,

(8.1)

/4=1

или, в матричных обозначениях,

dX, = odB, + $X,dt.

(8.1)'

Из общей теории (теорема 3.1) мы знаем, что существует единст венное решение, которое в явном виде задается следующим обра-

2 2 2

ГП. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

зом. Пусть е'Р = 2d

зада

* Тогда решение X(t) уравнения (8.1)

л о

ется равенством

X (I) =

еР'

Х (0 ) +

je-P*crf№(s)

(8.2)

или, покомпонентно,

X* (t) =£ (eP') UJ(0) + & 2 f(e-PyaldB%J.

i=i

ft=i о

Доказательство легко получается из соотношения

d(e~*lX(t)) = е~*1(dX( l ) -

рХ(*)dt) = e^'adB(l ) .

В частности, если начальное значение

Х (0 ) имеет

гауссовское

распределение,

то

X (t) — гауссовский процесс*).

Например,

ес

ли d = 1 и

dX(t)=dB(t)

-yX(t)dt

( f > 0 ) ,

(8.3)

то решение X(t) находится но формуле

X (*) = e-v /X (0) + f*e^dB (#)х|

(8.4)

(см. также пример

2.1

главы III,

2).

Предположим, что

Х(0)

имеет

гауссовское распределение

со

средним 0 и

дисперсией

а'1.

Тогда ковариация процесса X(t) задается равенством

Е{Х (г) X (.-?)) =

e-v(t- ! - * ) a 2

- j e-vO -^e-ve-’Odu =

—^je-y(t rs) _j_ JL е-

^о2

если

t~>s.

В частности, если O2 =

1 / ( 2 Y), то X(г) — стационарный гауссовский

процесс [43].

(8.3)

известно как уравнение Ланжевена, а решение

Уравнение

X(t)

в (8.4)

известно

как

броуновское

движение

Орнстейна —

Уленбека.

Несколько более общего вида уравнение

rfX(f) = (flX(0+ b)dB{t) + (cX(t)+d)dt,

(8.3)

где а, Ь, с, d — действительные постоянные, можно решить аналогичным образом. Сначала заметим, что (8.5) эквивалентно

*) По определению решений. Х(0) и B(t) всегда независимы.

§ 8. ПРИМЕРЫ

223

уравнению

dX (t) =

аХ (t) о dB (t) - 4 а (aX (t) +

b) dt +

MB (t) +

(cX (t) +

d) dt=

— aX(t) о dB{t) +

----- aaj x( t ) d t +

bdB(t) +

^d — у

abjdf.

(8 .6

)

Если Af(t) =

expj — aB(t) — {c — 4-a2 ltj,

T 0

dM (t) =

— aM (t) » dB (f) —

JL a2) .1 / (f) dt

н, следовательно,

i¥ (f) - 1

• dM (i) = -

[ad/? (t) +

(c -

-1 a2] dt].

Уравнение (8 .6 ) эквивалентно уравнению

dX (t) =

— X (t) M (t) _ 1 о dM (t) +

&d/? (t) +

(d -

afc]df,

T. e

d (Л/ (О X (f)) = ЪМ(t) . d/?(0

( d

- i -

ab) ЛаГ( 0 dt.

Поэтому единственное решение

X(t)

задается

равенством

-I

X (t) = М {t)” 1

X (0 ) + b J M (s) оdB (s) +

Id-

i - ab] \M (s) ds

(8.7)

где M (t) =

exp j — aB(t) — (^c •— у

a2] tj.

Аналогично, если рассмотрим многомерное стохастическое диф

ференциальное уравнение

dX* (t) =

( 2

Ц)}Х} (t) + 4

) . dBp(0

f i

/4;X J'(t) + 4

) dt,

P-

I \j=i

\i=i

X l (0)

ад,

i =

1, 2, . . . , d,

где LJ,j,

} — 1 ,

2 ,

..., d, p =

0 , 1 ,

...,

г,— постоянные, такие,

что

Lpj — 0

для i > j, то решение задается равенством

Xd (t) = Мл(t)-’ ( я* +

(s) о dry' (s)]

Ti"(t)= 2 4 s p(t) + 4 t

224		ГП. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
224
		X* (0	= М 1(*)"'		+	fЛ/5(s) о dp* (.9)j
щ (t) =	S	f x ; (.9)	» d\|j (.9) -h S	4 ^ ’ ( t )		+ rji, i	= d - 1 ,	d -	2 , . . . , 1.
	H ^ l J		? —1
Здесь	4(f)= 2 K iB'' (0 + K it			u	M l(t) =exp ( - \|\|(t)),				i, 7 =
= 1. 2,	. .	j,=-i					L\ ••	Рг),	порож-
= 1. 2,	. .	с/. ]> этом случае алгебра Ли S(L0,					L\ ••	Рг),	порож-
				cf	<1
денная векторными нолями L,, =				\	^ХКг** +		4 ) “ Т	» Р =	0, 1, •••
				i- л	; - i		^

..., d, разрешима. Общин результат о предстаклешш решении в по

добном случае получен Кунитон 1100].

П р и м е р 8.2. Пусть а, с, d — действительные постоянные и а > 0. Рассмотрим следующее одномерное стохастическое диффе ренциальное уравнение:

dX(t) =

(2oX(f)

V 0) l/2dH{t) +

(cX(tj + d)dt.

(8.8)

Так

как кооффициепты а(х) — (2«xVU)1/2 и

Ь(х) = cx + d удов

летворяют условию теоремы 3.2, а также условию роста

(2.18),

то

существует

глобальное

сильное решение

X(t)

заданным

началь

ным значением Х(0) и оно

единственно.

Если

d 3* 0

Х(0) 3*0

п. н., то X(t) > 0

для

всех

£ 3* 0 н.

и.

Действительно,

случае

d == 0 ясно,

что X(t) =

0 н.

н., если только Х(0)

= 0 п. н.

(в силу

единственности

решения).

Положив

о =

inf{/;

Х(£)=

0},

мы

ви

дим,

что X(t)

= X(t + о) — решение

уравнения

(8.8)

X (0) = 0

па

пространстве

(Q = (о>;

о ((о }< со }, ‘д~ =

@~ |~, р =

Р(» |Q))

и,

следовательно,

X (t) =

0 п. н. на Q.

Отсюда

следует,

что

X(f) ==

s=X(tf\o)

и.

н. и, следовательно,

Х(<)

3* 0

и.

и.,

если

только


Х(0)3*0 п. и.	В	случае d > 0		положим			o -P= inf{/; X(t) = —е),
где г > 0 — такое, что —се + d >				0. Предположим, что Р(а~с <						°°)>
> 0. Тогда с вероятностью единица,					если		выберем	любое	г <		о_е
такое, что X(t)	< 0 при t е		(г,	о_е),		то	будем	иметь	dX(t)		=
— (cX(t)+ d)dt	на	интервале	(г,	о_Е),		н.	следовательно,		t	X (t)
.возрастает на этом		интервале.	Ясно,		что это невозможно.

Таким образом, решение уравнения (8.8) определяет консерва

тивный диффузионный процесс {PJ	на [0, °°)	в случае d > 0. Этот
процесс является /.-диффузионным	процессом,	где	L — следующий
оператор:
Li (.г) = ах ~ / (*) +	(сх + d ) ~ f (л),		(8.9)

действующий на Сл (10, со)).

§ 8. ПРИМЕРЫ	225
Теперь докажем следующую формулу:

Ех(е-к«») =

\^г(ес1-

1) +

1 Г /аох'Р }-----ж

-------- 1.

(8.10)

(Если с = 0, мы подразумеваем, что— (ect — 1) =

t.)

Действитель

но, согласно формуле Ито имеем по мере Рк, что

(

u(t, w(t)) — и (0 , х) =

мартингал +

+ f->л<| (s, w (s)) ds

для каждой функции *) u(t, х) е

CJ’2 ([0, оо)х[0, сю)). Отмечая, что

функция v(f, х)

правой

сторопе

формулы

.1 0 )

удовлетворяет

равенствам

— Lv

v (0 +,

х) =

е-Ь:, мы полагаем

u(f,

ж) =

= v(f0 — f, х)

для

фиксированного

U и применяем

формулу Ито

к u(t, х). Тогда

v(ta — t,

117(f))

— v(f0,

х)

— Р*-мартингал

и,

следо

вательно,

Ex[v(t0 — t,

H7 (f))J =

v (f0,

х ).

Веря

t =

f0,

получаем

7 ? ,(^ >K('.)) =

v(f0 ,x).

inf {t-

w(t)

0). Тогда

Пусть х >

0 и Оо =

Рх{Оц < °°)

, если

«£ d <

а,

(8 .1 1 )

если

0 ^ d < а и

с < 0

■Р*(о0-= °°) =

если

d > a .

(8 .1 2 )

Для доказательства равенств

(8.11)

(8.12)

положим

cz -\-d

)

[‘

охр

Нетрудно видеть, что s(0 + ) =

— о о тогда

и только тогда, когда

d>a,vi s(о о )

о о

тогда

только

тогда, когда с

d < а.

или<

с =0 0

н d ^ a .

Заметим

также,

что

А:(0 + ) <

°°,

если

Поэтому

требуемые утверждения следуют из теорем YI-3.1 и V1-3.2. Заме

тим

также, что

граничная

точка

х = 0

является

регулярной **)

Из

c j >2([0, оо)х[0, ос)) э

и (t, х)

следует, что

все производные функ

ции и до первого порядка но I н до второго порядка по х непрерывны и ог раничены.

**) Ито, Маккии [77]^

15 с. Ватанабэ, Н. Икуда

226	ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

и отражающей, если 0 < d < а, и является точкой выхода и погло щающей, если d = 0. Если d 3* а, то граничная точка является точ кой входа, н нетрудно заключить, что

P0(w(t)

0 для всех t > 0) =

(8.13)

/Действительно,

устремив

(8.10) К t °°,

будем

иметь P0(w(t) >

0) =

1 для

всякого

t >

Комбинируя

это

соотношением

.1 2 ),

видим, что

P0(w(t + s )> 0 для всех s >

0 )= 1 для всякого t > 0.

Так как t произвольно, то отсюда

следует

справедливость

соотно

шения

(8.13).

8.3.

Для

а > 0

пусть

П р и м е р

(Кесселевские

диффузии.)

La— дифференциальный

оператор

на [0 , <»), определенный

равен

ством

/(*)

(8.14)

с областью определения

St) (La) = 1 /е Сь([0, о о )):

для некоторых

постоянных 0 <

я, < аг,

/ ( * ) = / ( 0

если

х е [ 0 , а,],

/(z ) =

если

х е [а2,

°°)}.

Существует единственный диффузионный процесс, порожденный оператором La, который называется бесселевским диффузионным процессом с индексом а. Бесселевские диффузионные процессы яв ляются, по существу, частным случаем диффузий, рассмотренных в предыдущем примере. Пусть


	Laf{x) =	2 xj-J (x)				(8.16)
и SO (La) — пространство,		определенное равенством			(8.15).	Дей
Тогда существует единственная			Г а-диффузия		{P}s(0 .
ствительно, диффузия из примера 8 . 2			в случае а = 2 , с = 6			и d = а,
очевидно, является Г а-диффузией. Обратно,				аналогично доказатель
ству теоремы 6 . 1	можно доказать, что если			l- ^ 0 0 )«=[«,°°> — Ъа - диф
фузия, то 1X(t,	w) =w(l)) — решение уравнения				(8 .8 ) для а =		2,
с = 0 и d = а с X (0) = х. Из единственности решения уравнения (8 .8							)

можно заключить, что //«-диффузия единственна. Легко видеть, что

	(Г а/) (X2 =		(Lai) (*), /	(8.17)
где	f(x) — j(1x).	Теперь	можем заключить,	что La-диффузия
\Ка))х£[о,») единетвеппа и			Р . — мера-образ па	W ([0 , «>)) меры
Р'$	при отображении			([0,о))3
	W([0,	о))		([0,о))3

				§ 8. ПРИМКРЫ			227
где траектория Уw определяется равенством Уw(t) = l'w;(f). То							есть
босселбвская	диффузия			Ха (t)	с индексом а, выходящая из		точ
ки х, получается		как		(t) =	V Y t (О,	где Уа — сднаствепиое
решение уравнения
	dY(t) =		2(Y(t)\J0y/2dB(t) + adt,				(8.18)
	Y ( 0) =		«*.				(8.18)
	Y ( 0) =		«*.
Согласно	(8.10)	видим, что
Ew (e- x w )				= (2 и + l) - e/2exp		( “ 2 lT T l) •	(8.19)
Обращая преобразование Лапласа, находим, что
					оо
	Е	(/ (u> (*))) =			J pia) (t, x,	у) f (у) dy,
					0
где
	X ,, ) -						<8 -20>
			(	х у п
и Jv (х) =	2	~!Г (v + » + 1 )~ — модифицированная функция Бес

селя.

Используя уравнение (8.18), можно доказать интересное свой ство семейства бесселевских диффузий. Пусть 7?, и Вг — два неза висимых броуновских движепия, ai и а2 — положительные посто янные. Рассмотрим уравнения

	( dYx (t) =		2(YX(t)\/0) , / 2			dBv (t) +		ctjA,
и	l	> r i	( 0	)	=	г/	i ^	[ 0 , o o )
и
	dYt (t) =		2(У, (f) V 0) 1 / 2			d/ ? 2	(г) +	o,d f,
		У а (0) =	р2 е = [0 ,		oo).
Положим*)	y,(f)	= y\(f) +		У2(<)	и
(0- jj	/ "	VГ2W(«У dBl W+ I}XF j						(»)-VУ 2(.)

*) Мы знаем (как следствие (8.10)), что P(Yi(i) > 0) = 1 для всякого

t > 0.

15*


228			ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тогда B3(t) — броуновское движение согласно теореме II-G.1 и
		dY3 (t) =		2 (У3		(t) V 0)1/гdB3(t) + (ах +	a2) dt,
		Уз (0) =		1/1 +		У2-
Таким образом,			УI 'У2		— распределение процесса		Г3. Следователь-
но,	если	Х“ (()	п Xl]( t ) — взаимно независимые бесселевские диф
фузии с		индексами а		и	р соответственно, то >' \|Х“ (£) \| 2 + IX1’ ^ ) ! 2—
бесселевская диффузия					с индексом а + р. В частности, если а — d,
d =	1, 2,..., то Xa(t)			можно отождествлять с радиальным процессом

d-мерпого броуновского движения. См. [77], [181], [12] по поводу дополнительной информации относительно бесселевских процессов.

П р и м е р 8.4. (Броуновские экскурсии*).) Пусть Т > 0 фикси ровано. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение:

dX (t) = 2 (X (t) V0) , / 2 dB (t) + (з —	1 4	dt,
v	1 4	(8.21)
X (0) = 0.

Это уравнение того же тина, что и уравнение (8.18). Следовательно, можно показать **), что существует единственное решение X(f) для

( б [ 0 , f )	и
	P(X(t) > о для всех		t е= (0	, Т))	= 1 .	(8 .2 2 )
Кроме того, Х(<) определяет неоднородный во					времени марковский
процесс. Точнее, для 0 <		s < Т п х е	[0 , оо) пусть W, * — совокуп
ность всех непрерывных		траекторий	w:	[s, Т) => t >-►w(t) е [0, сю)
таких, что w(s) = х и w(t) > 0 для всех t е (s5					Т), ^ ( W	t K) — о-но-
ле на W 5	tt, порожденное борелевскими цилиндрическими множест
вами, a	(W ,.,), s < t <	Т,— под-о-поле,		порожденное		борелевски

ми цилиндрическими множествами, зависящими только от интервала

[s, *]. Пусть 1\ о — вероятностпый законна (W 0,0, ^(W o. ,,))		реше
ния Х(£) уравнения	(8 .2 1 ) и, вообще, Pt<* — вероятностный	закон
на (W ,iX, * (W ,.,))	единственного решения {X (f)),c(s r) уравнения

\|dX ( 0 = 2 (X(*)V0),/2 dB (t) + (з-	dt,
I X(s) =	(8.23)
I X(s) =

*) См.Г77].

**) Чтобы строго доказать (8.22), нужно применить теорему сравнения (теорема VI-1.1) к уравпению (8.8) с а = 2, с = 0, 2 < d < 3 н Х(0) = 0 и к уравнению (8.21).

§ 8. ПРИМЕРЫ

229

Марковское свойство меры Р0, о формулируется теперь следующим образом *):

для 0 < s < t и / е 5 ([0 ,	°°))
h,o[f('»(t) ) W ' ( w °,°)] = Es,.<s)[f(w'(l))]		для	Рсо,о-и. в. w. (8.24)
Вообще, для 0 =s=u<s<£ ,	ЛГЕ [О, со) и	/ е в ( [ 0		, <*>))
Eu,x[l{w(t))\$is(WU'X ] =	ES'W(s)[l{w'(t))\		для	Ри,х -п. в. w.
				(8.25)

Доказательство можно провести так же, как и в § 5, с использова нием единственности решения уравпепия (8.23) для всяких s а х .

Пусть Р,,х — мера-образ па (W 3	х, J?(WSх) ) меры Р$ хъ при ото
бражении Ws i 2 3 w i - » / r o s W ,U 1	где траектория Ун; определяется,

конечно, равенством У w(t) = У w(t). Тогда очевидно, что марковское свойство (8.25) справедливо и для {Psre}.

Положим

^('’*’ "> - =йя(гар (- т г 1)- мр(- Чг1))-											<8'20>
		< > О,		х, у е = . [ 0 , о о ) ,
к	(<> *) =	j^ /'^ 3 a:exp					t > 0 ,		are (0, оо),		(8.27)
	K ( T - t , у)
	К (Т — s, х) р° (t — s, х, у),
		если			0	^	s < t <	Т, х, у е		(0 , сю),	(8.28)
P ( s , х ; t , у ) =		n ( T - s )	к	(Т — t,			у) К (t — S, у),

	V '-	2
			0 ^ . s < i t < T ,					аг = 0	и	у > 0 .
		если
Мы покажем, что для х > 0 и s > О
Ps.xiw; w(tt)<^dx,, w{t2 <^dxu ...,						w(tn)<= dxn =
= p(s, ar;	tu xt)p(ti, xp,		t2, x2		... p(tn-,,			ar„_,;	tn, x„)dxtdx2. . . dxa
											(8.29)
для всяких s < li <		t2< . . . <		f„ <		T. Достаточно доказать, что
	E*,x 1 / (w («))] =			J		p (s, x ;t ,y )f (y) dy,
				[0.°° )
	0 ^	s < t, x e		[0, oo),			./ e В ([0, oo)),				(8.30)

*) B([0, oo)) — совокупность всех ограниченных борелевскнх функций па [О, оо).

230	ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

поскольку (8.29) получается из (8.30) последовательным примене нием марковского свойства (8.25) для {PS,J. Положим для 0 ^ s <

< t < T

u(s, х; £) = J p(s, x; £, y)/(£, y)dy, a

где /(£, у) — ограниченная гладкая функция. Тогда можно непо средственной подстановкой проверить, что u(s, х; £) удовлетворяет уравиепию

Пт и (s,х; £) = /(£, у).

s e?.(0,£),

X e= (0, 00),

(8-31)

s1t,x->V

Если положим

и (s, х;

0 =

Ц Р (s. У

t> у) / (*> У*) <*У,

то и (s, х;

£) удовлетворяет уравнению

ди

(з

- j ^

- s)

U (s, x; £),

ds (», х; £) = {2

(8.32)

lim

u (s, x ;

t) =

/(£,

y).

st t , x ~ * y

Согласно

(8.32)

и формуле

Ито

видим,

что

для

каждого

х < Т

[s, т) э

£ >-►и (£, X (£); т) является мартипгалом,

если

тол!>ко X(t) —

решение

уравнения

(8.23).

Следовательно,

E(u(t, X(t);

т)) =

= м (.v, х;

т) для всякого £ е [s, т). Устремив

£ t т,

получаем

Е[Нт, Х (т ) )] = £»,х[/(т,

W; ( T ) )

] =

( S ,

х ;

т ) .

Поэтому

оо

Es,x [/ (Т, ю(т))] = Е$ х2 [/ (т ,/ш (т))] = j Р(.9, х; т, у)/ (т, у)dy

и соотношение

(8.30)

доказано.

Из (8.29) непосредственно следует, что

Р 0 ,0 (н>;

н;(£,) е=dx„ и;(£2) е=dx2, .. .,

М7(£„) е=dx„} =

е dx„}

Ро, о(ш; w(T —£,) е

dx„

w(T — £2) е

б/х2,

. .

w(T —tK

для всяких 0 < £ , < £ 2 < . . . < £ „ < Г. Этим показано, что мера Р0, о ипвариантпа относительно обращения времени w*-+w, где w онреде-

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб3Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб13Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб0Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб1Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf