книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы
..pdf§ 5. ДИФФУЗНОЙНЫК ПРОЦЕССЫ |
201 |
Оператор Л порождает единственную диффузию (РД на S', на зываемую броуновским движением ни S с поглощающим экраном или же минимальным броуновским движением на S. Вероятност ныit закон Рх есть распределение вероятностей броуновского движения, выходящего из и остановленного в первый момент, как только оно достигает границы области S (которая отождествля ется с Д). Опять-таки очевидно, что {РД удовлетворяет условиям
(1) и (II) определения 5.3. Предположим, что (Р*1 также удовлет
воряет этим условиям. Пусть Gа(х, |
у), |
а > |
0,— функция Грина об |
|
ласти S для оператора |
= а — Д/2 с |
граничными условиями Ди |
||
рихле, т. е. если*) / S |
CK (S), то |
GJ(J:)= |
f Ga (х, у) f(y)dy —един- |
|
ственное решение уравнения |
|
|
s |
|
|
|
|
||
{аи — Аи = /,
и|os = 0.
Пусть |
/ е С K (S) п |
u = Gnf. Тогда |
u^SD(A) и Ли = аи — f. Сле |
||||
довательно, ' |
|
|
t |
|
|
||
|
|
. и (ю (I)) — и (w(())) — -i- |Ди (w (.9)) ds |
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
является Pjc-мартингалом, и поэтому для всякого t^ O |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
< |
|
|
К [и (ю (0)1 — и(.г) = |
a j Е ’х [и {w(s))] ds — j |
Е’х(/ (w(0)1ds- |
||||
Следовательно, |
|
о |
|
о |
|
||
|
|
|
|
|
|||
оо |
|
|
|
|
|
|
|
j |
e -alE'x [ u { w { t ) ) } d t - ^ |
= |
|
|
|
||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tlg^d (e~al) + |
Г |
1 |
|
|
- |
- |
j Г j Е'х [и И 0 ) 1 |
i |
f « Д / («;(«))!* |
|||
|
|
» Ч! |
J |
|
|
|
|
|
|
|
= j е atEx [ц (w (0)] dt — ~ |
j e atEx if (ш(0)1 ^0 |
|||
и поэтому
и (x) = j e a*E* If (w(s))]ds = GlJ (x).
0 Осталось теперь применить следствие теоремы 5.1.
*) |
(S) множество всех С“ -фупкшш / с носителем S (/) •— |
202 ГЛ. IV. с т о х а с т и ч е с к и й у р а в н е н и я
§ 6. Диффузионные процессы, порожденные дифференциальными операторами, н стохастические дифференциальные уравнения
Предположим, что па It" задан дифференциальный оператор
второго порядка Л: |
|
(I |
|
|
|
d |
|
|
|
||
|
а п *) -- |
4 |
V |
' И |
|
(х) + |
" |
дх |
|
(6 . 1) |
|
|
1 |
дх1дх! |
|
|
|||||||
где а'‘ {х) |
и Ъ'(х) — действительные непрерывные функции па И" и |
||||||||||
матрица |
(a,J(ar)) |
симметрична |
и |
неотрицательно определена, |
т. е. |
||||||
|
|
</ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1(х) = а?1(х) и |
2 |
|
ali {х) \%’ |
0 |
для |
всех |
g ^ d O ^ R " |
и |
всех |
||
|
nj—1 |
|
определения |
оператора Л мы |
берем |
||||||
х е И". В качестве |
области |
||||||||||
Ск (R d), состоящее из всех дважды непрерывно дифференцируемых функций с компактными носителями. Понятие диффузионного про цесса, порожденного оператором Л (Л-диффузии), было определе*по в предыдущем параграфе. Для точности сформулируем снова ото
понятие |
и |
следующем |
виде. |
Пусть |
R' е |
R'1и {Д} — одноточечная |
|||||||||
комиактификация R". Каждая |
функция |
/ |
па R" |
будет рассматри |
|||||||||||
ваться и как функция на R" с ](А) — 0. |
Пусть |
W" |
определяется, |
||||||||||||
как в § 2, а e(w) |
определяется равенством |
(2.12). |
порожденной опе |
||||||||||||
О п р е д е л е н н о |
6.1. |
Диффузионной мерой, |
|||||||||||||
ратором |
Л |
(пли |
просто |
Л-днффузпеп), |
называется строго |
марков |
|||||||||
ская система вероятностных распределений*) {Рх. l e R I |
па (W", |
||||||||||||||
^ (W '!)), |
которая удовлетворяет условиям: |
|
|
|
|
||||||||||
(I) |
Pxiw\ w(0) = х) = |
1 для всякого х е= R"; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II) |
/ (w(t))—f(w (0))— |
f (Л/) (и?(s)) ds |
|
является |
(Рх, 31, (W ")) -мар- |
||||||||||
тингалом |
для всякого |
о |
|
|
и всякого х е= R". |
|
|
||||||||
/ e C K ( R rf) |
|
|
|||||||||||||
З а м е ч а н и е |
6.1. Согласно |
теореме |
5.1 мы знаем, что любая |
||||||||||||
система вероятностей |
{Рх, i e R l па |
(Wd, ^ (W ")), |
удовлетворяю |
||||||||||||
щая условиям (I) и (II) |
и такая, |
что |
х^*Рх универсально изме |
||||||||||||
рима, |
является |
строго |
марковской |
и |
поотому будет |
представлять |
|||||||||
собой Л-диффузию, если только будет удовлетворять дополнитель но следующему условию единственности:
(III)если (Рк] — другая система вероятностей на (W", Л(\У')),
удовлетворяющая вышеприведенным условиям (I) и |
(II), то |
Рх = Рх для всех х. |
(III) мож |
К тому же, согласно следствию теоремы 5.1, условие |
|
но заменить следующим более слабым условием: |
|
*) Для точности Р,\ следовало бы включить в систему, но так как Р&— три виальная мера б , где ir\(t) = ,\, то мы опускаем ее.
g 0. ДИФФУЗИОННЫЙ ПРОЦНССЫ И УГЛИНКИНЯ |
203 |
(III)' е с л и Ю — другая система вероятностей на (Wd, J7(W'J)), удовлетворяющая вышеприведенным условиям (I) и (II), то
f / (w (t)) Рх (dw) — f j(w(t))P'x(dw)
xvd |
xv<l |
для всяких ( > 0, i e |
R4 и / иа тотального семейства функций на R'. |
О it ре д е л е н и е |
6.2. Случайный процесс Х = (Х(<)) на Rd на |
зывается диффузионным процессом, порожденным оператором А,
или просто Л-диффузионным процессом, если почти все траектории
|i>-*-X(f)]. |
принадлежат W d |
и вероятностный закон процесса X |
||
совпадает |
с |
Р м,(-)== 1" Рх (•) р {dx), где (Р*} — диффузионная мера, |
||
порожденная |
nd |
а р — вероятностный |
закон случайной |
|
оператором А, |
||||
величины X (0). |
|
существования и |
||
Наша задача состоит в исследовании вопроса |
||||
единственности /1-диффузий. |
|
|
||
Пусть а = (at (х)) <= R'* 0 |
Rr — такая матрица, что |
|||
|
|
|
Г |
|
х ^ а ( х ) — непрерывная функция и а 13(х) = 2 |
ан{х)а1(х) |
|||
|
|
|
л=“ 1 |
|
|
|
для г, |
j = 1, 2, ..., d. |
(6.2) |
Очевидно, что такая матрица о существует для некоторого г. Выбе рем одну такую матрицу а и зафиксируем ее. Рассмотрим стохасти ческое дифференциальное уравнение
Т
dX l(t) = £ at (X (t)) dli" (i) + Ьх(X (0) dt, i = 1, 2, . . . , d. (6.3)
/ . - - I
Согласно теореме 2.3 для всякого х е R,( существует решение X(t)
уравнения (6.3) такое, |
что Х(0)=;г. По формуле |
Ито (теорема |
11-5. ]) имеем |
|
|
/ (X (*)) - / (X (0)) = 2 2 |
f .Д (* (*)) ot (X (s)) dBh(s) + |
f (Af) (X (s)) ds |
для всякого/e C# (R d). Отсюда ясно, что закон Рх на Wd процесса X удовлетворяет условиям (I) и (II) определения 6.1. Покажем теперь, что единственность решений стохастического дифференци
ального уравнения (6.3) эквивалентна условию |
единственности |
(III) из замечания 6.1. Действительно, ясно, что |
из (Ш ) следует |
единственность решений уравнения (6.3). С другой стороны, если
{PJ — система вероятностей па Wd, удовлетворяющая условиям (1) и (II) определения 6.1, то, нримепив то же доказательство, что и в § 2, можем заключить, что существуют такое расширение (£/, 9~, Р)
204 |
|
|
ГЛ.-IY. СТОХАСТИЧЕСКИК УРАВИКНИЯ |
|
|
|
||||
с потоком |
(3~,) |
вероятностного |
пространства |
(W', |
31(Wd , Рх) с |
|||||
потоком*) |
31,(W*) |
и (&~,)-броуновское движение |
B = (B(t)) |
та |
||||||
кие, что, |
положив |
X(l)— w(l) |
и |
e = e(w), |
будем |
иметь |
для |
|||
t [0, е) |
|
Г |
{ |
|
|
‘ |
|
|
|
|
X 1(t) = |
|
|
|
|
|
1. 2, .... d. |
||||
х* + 2 |
ai (X (*)) с1В!: (*) + |
\bl (X (*)) ds, г = |
||||||||
|
|
|
о |
|
|
i> |
|
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
(X(t), B(t) ) — решение |
уравнения (0.3) |
та |
|||||
кое, что Х(0) — х. Так как вероятностный закон процесса X(t) |
сов |
|||||||||
падает очевидным образом с Рх, то из единственности решений
уравнения (0.3) следует условие |
единственности (III). Так что |
|
имеем следующий результат. |
|
|
Т е о р е м а 0.1. Пусть дифференциальный оператор (0.1) задан, |
||
как выше, и выберем матрицу а = |
W (*)) |
так, чтобы выполнялось |
условие (0.2). Тогда Л-дифнфузия iPx, j e R |
1) существует и единст |
|
венна в том и только в том случае, |
если выполняется условие един |
|
ственности решений для стохастического дифференциального |
урав |
|||
нения |
(0.3). В этом случае . Рх— вероятностный |
закон |
на |
(WЛ, |
J?(\V")) |
решения X = ( X ( t ) ) уравнения (0.3) |
такого, |
что**) |
|
Х(0) = я.
Из результата Струна и Варадана (теорема 3.3) следует, что,
если матрицасх= (о* (я)) ограничена, непрерывна и равномерно поло жительно определена, а коэффициенты (Ь'(х)) ограничены, то Л-диффузия существует и единственна; более того, эта диффузия консервативна. В общем случае, когда матрица (a,J(x)) может вы рождаться, имеем, согласию теореме 3.1, следующий результат: если
сх (х) = W (-т)) и Ь(х) = (Ь’(х)) локально линшицевы, то существу ет единственная Л-диффузия. Волее того, Л-диффузия будет кон
сервативной |
(т. е., Рх{е = <х>)=1 для всякого г е Н |
'1), если только |
|
о(.г) и |
Ъ(х) |
удовлетворяют условию роста Ho(.r) И+ |
U6(.r) II =sc if (1 + |
+ Ы ) |
для некоторой положительной постоянной К. В одномерном |
||
случае |
условие липшицевости для о(х) можно ослабить таким же |
||
образом, как и в теореме 3.2. В частности, если выберем матрицу о(х) локально гёльдеровской с показателем 1/2, а функцию Ь(х) — локально лишницевой, то Л-диффузия существует и единственна. Важным является вопрос о том, когда можно выбрать достаточно
гладкую а такую, чтобы выполнялось условие |
(6.2) для заданной |
|||
матрицы а. Относительно этого вопроса имеем |
следующий |
ре |
||
зультат. |
|
|
|
|
П редл о ж е н и е 6.2. (I) Пусть @г — множество всех гХг-мер- |
||||
ных симметрических неотрицательно определенных матриц. |
Если |
|||
*) |
$i(\\d определяется так же, как и |
Рх |
проверяется так же, |
|
**) |
Универсальная измеримость отображения х |
|||
как и в доказательстве теоремы 1.1.
|
§ 6. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ II УРАВНЕНИЯ |
|
|
205 |
||
о (х) : IV -*■ ©г принадлежит классу Cl{l\d)*), то квадратный |
корень |
|||||
о И |
(т. е. о (я): I V ' @ г, удовлетворяющий равенству а(х)а{х)* = |
|||||
>—«(ж)), является равномерно липшицевым на IV'. |
|
|
|
|||
(П) Если а (х): IV' |
б" — дважды непрерывно дифференцируе |
|||||
мая функция, то квадратный корень |
о{х) является локально лип- |
|||||
шициевой функцией. |
|
требуется докапать |
только |
ут |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что |
||||||
верждение (I). Мы докажем ото утверждение в случае |
с? = |
1; |
об |
|||
щин случай следует из того факта, что функция является |
равно |
|||||
мерно |
липшицовон на |
IV', если только она равномерно |
Л и п ш и ц е - |
|||
на по каждой неремопной x’ e R 1 для фиксированного х = (х1, хг, ...
..., ж<-1, х'+1, ..., х'1 |
с константой |
Липшица, по |
зависящей |
от |
х. |
||||||||||||||
Зафиксируем х0е R1. Можно |
|
выбрать |
ортогональную |
матрицу |
Р |
||||||||||||||
такую, |
что |
Ра(х0 Р* — диагональная |
матрица. |
Положим |
а (х) = |
||||||||||||||
— Ра(х)Р*. Для положительной постоянной е > 0 |
пусть |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
а8(ж) = а{х)+ el |
и |
аг(х)= Pat(x)P* = а(х) + el. |
|
|
|
|||||||||||
Квадратные |
корпи |
из |
ае(х) = |
(a’EJ (х)) |
н аг(х) = |
(а " (ж)) обозна- |
|||||||||||||
чим |
через аР(.г) = |
(ае’ (.г)) |
и аЕ(,г) = |
(оу''(.г)) |
соответственно. |
Тогда |
|||||||||||||
aF(x) |
и ас (х) = Рае (х) Р*, очевидно, |
принадлежат |
СДК1). |
Диффе- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
репцируя обе стороны |
равенства йД (.т) = |
^ Стр,! (ж) а / ‘ |
(х) |
к точке |
|||||||||||||||
х — Хо, получаем **) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a? W |
= (о г |
(х о) + оД (ж0)) а ? (.г0). |
|
|
(С.4) |
|||||||||
Пусть К = |
|
Slip |
|
|«i;(.r)| = |
?пр |
|
|йеЧг)1 и |
|
положим |
||||||||||
/(.г)=<й, |
a,(x)k> |
для |
k |
R1. |
Тогда, |
так |
как |
f(x)> 0 |
для всех |
||||||||||
х е |
R1, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
< / ( * + |
й) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= / (.г) + |
/ (ж) й + |
1 |
/ (ж + |
0Й) й* < |
/ (.г) + / (®) й + |
-J ( 2 |
|
|
я й * |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\i=i |
|
|
|
|
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
/(ж)* < |
2 / (.г) ( S |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
*) Говорят, что матрица а(х) принадлежит |
|
если каждая ком |
||||||||||||||||
понента матрицы а(.х) |
принадлежит |
Сjj(jV'). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
•• |
|
|
|
**) Для всякой функции f е Cj; (R2) полагаем /(г) - ~ ^ f(x) и / (*) = ^ “ i/(r).
206 |
|
ГЛ. IV . СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|
|||||
Подставляя вместо К соответственно |
8* = |
{Ьц,)п=п 6у = |
(6j*)ft=i |
|
|||||||
и 6( + 6Л получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а” (х)2 < 2Ка" (х), |
а” (х)2 < |
2Ка? (х) |
|
|
|
||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(аР” (х) + 2а” (х) + а " (х)) < 8К (а"' (х) + 2at (х) + |
(х)). |
|
||||||||
Следовательно, |
существует постоянная |
с (К), |
но |
зависящая |
от |
||||||
е > |
0, такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
(*) I < с (A') (aF1? (х),/а + |
а " (х)1'2) |
|
|
|
||||
для всех х е IV. Если положить х = |
х„, то получим |
|
|
|
|||||||
|
|
I |
WI<с{К) (<?"(^о) + |
|
М ) |
|
|
|
|
||
и, |
комбинируя |
ото |
неравенство |
с |
равенством |
(б/i), |
получаем |
||||
|сг^(хп)| ^ с(/^ ). Так как a'J(х0) = |
(Р*ое (х0) Р)ц. |
то |
нетрудно |
ви |
|||||||
деть, что Upj (х0) | < гС(/О. Н о х „— произвольная точка, |
и коатому |
||||||||||
|
|
|ст” (х) |^ гс (К) |
для всех |
x e R 1. |
|
|
|
||||
Таким образом, |
|a’J (х) — а" (у) \УС гс (К) |х — у\. |
Устремив е I 0, за |
|||||||||
ключаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|сги (х) — oli (у) |< |
гс {К) 1х — у \. |
|
|
|
|||||
С л е д с т в и е . Если |
коэффициенты |
дифференциального операто |
ра (6.1) удовлетворяют |
условиям: (J) |
а” (л) — дважды непрерывно |
дифференцируема, i, у = |
1, 2, ..., d, и |
(II) Ь' (х)— непрерывно диф |
ференцируема, i = 1, 2, |
..., d, то существует единственная Л-дшф- |
|
фузия. |
|
|
§7. Стохастические дифференциальные уравнения
сграничными условиями
Впредыдущем параграфе мы рассматривали класс диффузион ных процессов, описываемых дифференциальными операторами второго порядка. Если рассматривать области е. границей, то диф фузия обычно описывается дифференциальным оператором второго
порядка с добавлением граничного условия. Общин вид граничных условии был найден Вептцелем [19]. Мы здесь исследуем вопрос построения таких диффузий посредством стохастических диффереп-
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
207 |
Диилышх уравнений*). |
Для простоты |
мы |
рассматриваем |
только |
|||
диффузионные процессы в верхнем полупространстве |
R^. |
0~^2. |
|||||
Итак, пусть D = II'*. = |
|х —■(я1, х2, . . . , хА): |
х 1 |
0], |
dl) = |
{.г е |
D: |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
х“ = 0) — граница области 1) и D = {.г е D: х" > 0 ) — внутренность D. |
|||||||
Предположим, что на I) задан дифференциальный оператор второго |
|||||||
порядка, действующий на **) Ск(О): |
|
|
|
|
|
|
|
i.i"L |
o x OxJ |
+ 2 » ' W j p W * |
(7.1) |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где а"(я) и b'(х)— отраничепные непрерывные |
функции |
на |
D, |
||||
a (all(x))— симметрическая и неотрицательно определенная мат |
|||||||
рица. Предположим также, что задан граничный оператор типа
Вентцеля, т. е. отображение из |
Ск{Ь) в пространство |
непрерыв |
|||||||||||||||||
ных функции на 6D следующего вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Li м |
= |
т |
2 |
|
1aJi и |
|
(;r) + |
2 |
P’ w |
(*) + |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ I* ('T) |
(*) — P (r) л/ M> |
* s |
<9Z>, |
|
(7.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
aiJ(x), |
ji'(.r), |
p(x) |
и p(x) — ограниченные непрерывные |
функ |
||||||||||||||
ции |
на 0D такие, |
что |
(сси(я))'/,уЛ,— симметрическая |
и |
неотрица |
||||||||||||||
тельно определенная матрица, р ( х ) ^ 0 |
и р(х)>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
О п р е д е л е н и е |
7.1. Диффузионной мерой, порожденной парой |
||||||||||||||||||
(Л, /у) вышеописанных операторов, или просто (A, L)-диффузией, |
|||||||||||||||||||
называется |
|
система |
{/\, |
т е / ) ) |
вероятностен |
на |
***) |
|
(W (D), |
||||||||||
|
(D))), |
которая |
является строго марковской (см. § Г>) |
и удов |
|||||||||||||||
летворяет следующим двум условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(I) |
РхЬп: н;(0)=я} = 1 |
для всякого т е Д ; |
|
|
на |
[0, |
°°)Х |
|||||||||||
|
(П) |
существует |
функция |
(p(Z, гг), |
определенная |
||||||||||||||
X W (D), такая, что |
ф(0, |
гг) = |
0, t -» q> (t, w) — непрерывная |
и |
не |
||||||||||||||
а) для Рх-н.и. w |
|||||||||||||||||||
убывающая и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
h o (ю (s)) dq>(.9, |
w) = ф (t, гг) |
для всех |
t > |
0; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•) |
[621, |
|
[10] и |
[13]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
**) С'^(О) — множество |
всех |
дважды |
непрерывно |
дифференцируемых |
||||||||||||||
функций с компактными носителями. |
|
|
|
|
|
|
функций |
||||||||||||
|
***) |
w |
(D) |
= С ([0. o o ) - » - D ) — пространство всех непрерывных |
|||||||||||||||
гг ; [О, о о ) э |
I >- |
и- ( I ) |
6= 1) с |
топологией |
равномерной сходимости |
на ограничен |
|||||||||||||
ных |
интервалах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
208 |
|
|
|
|
1'Л. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УЕДИНЕНИЯ |
|
|
|
|
||||||||
|
б) |
для каждого I 5= 0 |
|
|
|
— <%t(W (D))- измеримое отоб |
|||||||||||
ражение*), |
|
|
|
t |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ (w(t)) - |
/ (Ю (())) _ |
j (AD (W(*)) * - |
f (P/) (и; (.9)) dtp(5, и>) |
(7.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
является (P^ &t(W(Л)))-мартингалом для всякого / е Ск(Л) |
и |
|
|||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
Рш (ю (-9)) d.v = j |
р (w («)) <7ф (.9, w) |
Рх- п. н. |
|
(7.4) |
||||||||||
|
З а м е ч а н и е |
7.1. Предположим, |
что |
(Л, |
L) |
и (A', |
Р') — дне |
||||||||||
пары |
вышеописанных |
операторов |
|
такие, |
что |
Af(x) — A ’j(x) |
и |
||||||||||
Lf(x)— c(x)L'j(x) для |
всех |
/ е |
Сk(D), |
где |
с (г) — положительная |
||||||||||||
непрерывная функция па д1). Тогда |
(Л', |
/ / ) -диффузия является |
и |
||||||||||||||
(Л, Р)-диффувией, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
i L 'D (iv («)) dfp' (s, w) = |
j |
(P /) (»; (*•)) ЙФ (s> «•'), |
|
|
|
|||||||||
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ф(t,w)= |
|
[ c (w(s)) d(pr(.9, w) |
и |
ф |
удовлетворяет условиям |
а) |
и |
|||||||||
б) |
|
|
о |
|
|
|
|
имеется одна |
степень |
свободы в |
|||||||
определения 7.1. Следовательно, |
|||||||||||||||||
определении оператора Р. |
определим другой |
граничным |
оператор |
||||||||||||||
L' |
З а м е ч а н и е |
7.2. Если |
|||||||||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
L'j (х) = Lf (а.) + |
о (,г) Л/ (х) = |
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
<1 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_1_ |
2 |
а ^ И Ох’дх1 |
(х) |
|
Р; И ^ ( .г ) |
+ |
р (.г )^ Р ) |
(7.5) |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
и =1 |
|
|
г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то выражение |
(7.3) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
/ (w (0) — / (W (°)) — j (Л/) (»’ (.9)) ds — J (P/) (н? (.9)) dtp(.s, w) =
о0
t |
(s)) ИЯ («»(*)) * - |
= / (w(0) - / (";(0)) - ,f 7£ |
|
0 |
t |
f |
|
- [ Ion (W(*)) ( Л / ) (H; (.9)) J.9 - |
f (P/) (W(*)) C?«p (.9, «’) = |
*) 38, ( W ( » ) ) — (J-поле па W (/>), порожденное цилиндрическими множест вами до момента времени t.
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
209 |
= / {№(0 ) — / (,0 (°)) — \1Ь{р W) |
(*)) ds ~~ |
|
0 |
|
|
t |
t |
|
— J p (w (5)) (Af) ( W (.9)) dip(.9, w ) |
— j ( L /) (w (.9)) dcp (.9, w ) = |
|
О |
о |
|
(согласно |
(7.4)) |
|
t |
t |
|
■=f(w(t)) — f(w(0))— J /• (»(* )) (Af)(w(s)) d s - j |
(£ '/) ('»(«)) d«f(s, u>). |
|
0 |
0 |
|
Таким образом, (7.-3) эквивалентно (при условии (7.4)) следующе му утверждению:
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
/(Ы7(0) —/(и>(0)) —j I ъ (w(*)) (Af) (w («))ds —j (£'/)(«7(s))dtp(s,w) |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(7.3)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
является (Px, 3h(W (D )))-мартингалом для всякой |
/ е С |
k(D). |
Х = |
||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
7.2. |
Непрерывны!! |
случайный |
процесс |
|||||||||||
= (Х(/)) на D называется |
диффузионным процессом, порожденным |
||||||||||||||
парой операторов |
(A, |
L), |
или |
просто (Л, |
L) -диффузионным |
про |
|||||||||
цессом, если вероятностный закон процесса |
X |
на |
(XV (D), |
||||||||||||
tM(XV(D))) |
совпадает |
с Рц (•) = f Рх (•) р (dx), где 1РЛ — диффузи- |
|||||||||||||
онная мера, |
порожденная |
|
Ъ |
а |
р — вероятностный |
за |
|||||||||
нарой |
(Л, L), |
||||||||||||||
кон величины Х (0). |
|
Согласно |
теореме Й. 1 мы |
знаем, |
|
что |
любая |
||||||||
З а м е ч а н и е |
7.3. |
|
|||||||||||||
система {Рх, |
х е В) |
вероятностей |
на (W (D), 3§(XV (О))), |
удовлет |
|||||||||||
воряющая условиям |
|
(I) |
н |
(II) |
определения 7.1 и такая, что |
||||||||||
х<-*Рх —универсально |
H3Mej)iiMoe |
отобра'/кепие, |
является |
строго |
|||||||||||
марковской |
и, следовательно, |
(3, |
L)-диффузией, |
если |
только |
ата |
|||||||||
система удовлетво])яет донолнителыю следующему условию единст венности:
(III) |
если {Рх\ — |
другая |
система |
вероятностен на |
(\Х(0), |
|||||
33(\У(.D))), |
удовлетворяющая |
вышенриведенным |
|
условиям |
(I) и |
|||||
(II), то Рх = |
Рх для всякого х £= D. |
|
и |
единственности |
||||||
Теперь |
исследуем |
вопрос |
существования |
|||||||
(Л, L) -диффузий посредством метода стохастических дифференци |
||||||||||
альных уравнений. Будем предполагать, |
что inf |
|
и ( х ) > 0 |
,и, |
таким |
|||||
|
|
|
|
|
хеоо |
|
|
|
|
|
образом, согласно замечанию 7 . 1 можно так нормализовать L, что бы р(.г) = 1. Сначала образуем стохастическое дифференциальное уравнение, которое описывает (Л, L)-диффузионный процесс, /(ля
этого выберем непрерывные функции о(х) = (вЪ(х)У / ) —»- R<( (g) Rr и
■4 С. Ватапабэ, Н. Нкпда
2 1 0 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
Т (.г) = (т/ (.г)): dD-*- Krt 1 ® Rs такие, что
|
d v (./) = |
^ o l (г) o l (.г), |
г, / = |
1,2, |
..., <1, |
(7.6) |
||
И |
|
|
Ii—l |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aW(-') = |
^j r}(x)\1,(x), |
i, j — 1, 2, |
.. ,,d — 1. |
(7.7) |
|||
|
|
|
i " l |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
следующее |
стохастическое |
дифференциальное |
урав- |
||||
пеыие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(г) = |
S |
а/, (X (0)7? 1 |
(X (г)) dBh (t) + ь* (X (0) /■= (X (О) л + |
|
||||
|
+ |
£ т! (X (0) hi> (X (0) dM' (£) + Р' (X (0) /„ „ (X (0) dq) (1), |
||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
d — 1 , |
d xd(£) = |
£ |
о-;: (X (£)) / . (X (£)) dBk(£) + V1(X (0) / . (X (£)) dt + |
dtp (|l), |
|||||
|
/ , ' = 1 |
|
D |
|
|
u |
|
|
IoD (X (£)) dt = P (X («)) cty (£).
(7.8)
Интуитивный смысл этого уравнения состоит в следующем. Процесс ср(£) является возрастающим процессом, растущим только тогда,
когда |
X(t) |
находится па |
границе dD; |
он называется локальным |
|
временем процесса X(t) |
на dD; при этом d(p(t) |
возникает только |
|||
тогда, |
когда |
X(t)<^dD, |
и вызывает |
отражение |
от dD. Система |
(Bh(t), M'(t)} есть взаимно ортогональная*) система мартингалов
таких, что <£</?'’> (£) = dt, |
k = 1, |
2 , |
..., г, |
|
и d<M‘>(£) = |
c/tp(£), 1 = |
||||||||||
— 1, 2, ..., |
s, т. e. В — г-морпое |
броуновское движение |
с |
обычным |
||||||||||||
временем, |
а Ж — «-.мерное |
броуновское движение, |
если |
только вре |
||||||||||||
мя измеряется локальным временем <р(£). Функция р(.г) |
характе |
|||||||||||||||
ризует скорость (временного) пребывания процесса X(t) |
на границе. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Заметим, что р(.т)“ |
0 |
тогда и только тогда, когда |
f 7QD(X («■)) ds— |
|||||||||||||
= 0 для всякого |
£ 5s 0 |
н. н. В |
этом |
случае |
|
|
в |
что |
граница |
|||||||
говорим, |
||||||||||||||||
dD — незадерживающая’, |
в |
противном случае |
граница |
называется |
||||||||||||
задерживающей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.8). |
|
|
|
|
|
||
Уточним понятие решения уравнения |
(7.8)**) |
называется |
||||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
7.3. Ношением уравнения |
|||||||||||||||
совокупность случайных |
процессов |
Зс = |
|Х(£) = (Х ‘ (£), |
Х'(£), .. . |
||||||||||||
—*Х!'(£)), |
B(t) = (B'(t), |
B2(t), |
..., |
Br{t)), |
Ж(/)=(Ж1 (0, |
№(t),... |
||||||||||
*) Относительно случайного скалярного произведения <,> в смысле оп |
||||||||||||||||
ределения II 2.1. |
называем |
его |
решением |
относительно |
коэффициентов |
|||||||||||
**) Также мы |
||||||||||||||||
Го. Ь. т_ X р]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|