книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ

123

для любой непрерывной функции f ( x ) с компактным носителем.

]1оложим

оо

F (х) =

j / (а) {х — a)+da.

Тогда

F е C2(R),

F ' { x f =

J f (a) IiatCo)[x)da = J f(a)da, F" (x) —

•= f{x),

—oo

—oo

и поэтому согласно формуле Ито

F (Xt) -

F (X0) -

J* F' (X.) dXs =

± §tf (Xs) ds.

Левая сторона равна выражению

OO

f f oo

/(a) /(„,«,) (Xs) da\ d X s.

j /(a) {(Xf — a)+ — (X0 — a)+}da — J j j

— oo

0 l —oo

j

Если применим нижеследующую лемму, то получим

П

I

\

оо

J /(«) (X, — а)+ — (Х„

а )1— J /(о.оо) (X,) dXs| da =

j f{a)(f{t,a)da%

► л»

V

0

j

— оо

и, следовательно, (4.3)

доказано.

Л е м м а

4.1.

(Аналог теоремы Фубини для стохастических ин­

тегралов.)

Пусть

(£2, SF, Р) — вероятностное пространство

с пото­

ком

Пусть

М е

Ж\

(т. е. М — непрерывный

квадратично

интегрируемый

мартингал

с

М0 = О п. н.). Пусть

(Ф(£, а, со)},

t s [0,

оо),

a е

R1,— семейство действительных случайных

величин

таких, что

о ) е ( [ 0 , °о)Х Й)Х R*

Ф(£, а, со) SFX&iR1 -изме­

(I)

((£, со),

римо

(9* определена в главе I, с. 30);

измеримая по Борелю функ­

(II)

существует неотрицательная

ция f(a) такая, что

IФ(?, а, со) I <

/(о)

для каждых t, а, со.

В силу

(I)

и

(II)

интеграл

jtФ(s, а, )ос dMsе

определен

о

корректно. Предположим, кроме того, что

(III)

(а, со) н* | Ф (s, а, со) dM,

J?(R‘) X ЗГ-измеримо для каждого

124

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Пусть p,(da) — неотрицательная борелевская мера на К1

такая,

что

\/ (a) u (da) <

оо. Тогда

к1

t -> ] Ф (t, а, со) р (da) <= 3?2 « М »

(4.4)

R1

г

t

(г. е. эта функция предсказуема и Е

j

jo ( s , a, -)р^а)|

d (M )s <

ОIRI

J

< о о

для каждого t) и

j

( I Ф

а»

I1 (^®)|

=

j*

j" Ф (s, а, со) dMsj |i (da).

(4.5)

0

(R1

J

Rl

lo

J

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ясно,

что \Ф (s, а, со) p (da)

(&~t) -пред-

Rl

сказуем и ограпичеп. Поэтому очевидно, что

Е

j

| j Ф (s, а, (о) р (da)|

d <M>«j <

оо.

Таким образом,

процесс в

(4.4) корректно определен

как элемент

в Ж\. С другой стороны, a ^

j Ф (s, а, со) dMs измерима по Борелю

согласно предположению (III)

о

и для каждого Т > О

( j.i (da) шах

\Ф (s, а,, со) dMs

^

Ri

о< t * T

|J

< j

( Г

И

ф

(.<?,

Г'1 1 1/2

<

И- (da) |Е |

щах^ j ]

а, со) dMsj

Jj

< 2

J (da)

a, со) dMsj jj

=

= 2

f p ( d a ) ^ | j V ( s , a, c o ) d < M > sJ j

<

< 2

( / (a) p (da) {Я [<M> (Г)1>1/2 <

i

Следовательно,

I p (da) max

I ф (s a, ©) dM, < о о п .

H., и

отсюда

0< i-4 T

•’

126

ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

элементом Ж\ таким, что для каждого N е Жг

<N, L }t = J f Ф (и, а, ©) р (da)

d (М, iV>u.

О Rl

Теперь,

согласно предложению II-2.4,

можно

заключить, что

t

Lt = J |

[ Ф (и, а, (а) р (da)\ dMu. Этим завершается

доказательство

О IR1

1

равенства

(4.5).

Пусть

X —(X t) — одномерное

броуновское

движение

и

пусть

Х + =

( x t ) — непрерывный случайный процесс на

[0 ,

°°), опреде­

ленный равенством

X t = \Xt\.

(4.6)

Легко видеть, что

Р [X f+ е= Аи Х+

.........Ап] -

-

[ р + (dx)

| p +(ti, х, xt)dxl J" p + (f2 — *i, *i, x^dx2 . . .

[0,ao)

. . .

j* p+ (tn

tn—i,

1 » Xft) dxn,

(4.7)

где

0 < « ! < ^

< •••< t n,

i j E

# ( [ 0 , oo)),

p+ (f, *, y) =

(exp { - (- ^

- * }

+

exp ( -

Ц

^

} )

(4.8)

и

(i+ — распределение

вероятностей

случайной

величины

X j =

=

|X01. Процесс X+ называется одномерным отраженным броунов­

ским

движением. Отраженное

броуновское

движепие

может

быть

Полагаем

Wo = { / е С ([0, о о ) ->- R):

/ (0) =

0}

и

С+ =

= (/ е С([0,

«j) -*■R ): /(f) > 0 для всех f >

0}.

Л е м м а

4.2. Для заданных

/ е WJ

и х е R+

найдутся

един­

ственные функции g е С+ u ft е

С+ такие, что

( I ) * ( f ) = * + / ( f ) + A ( f ) ,

(II)

А(0) = 0 к fw-ft(i)— возрастающая функция,

t

(III)

j"I {0y(g(s))dh(s) = h ( t ) , T .

e. h ( t )

возрастает

только на мно-

§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ

127

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

g{t) = x + f(t) — min

{{х +

/ (s)) Д 0),

(4.9)

0< s< t

h{t) = — min {(х +

/ (s))

Д 0}.

(4.10)

0

Тогда

нетрудно

проверить,

что

g{t)

и

h(t)

удовлетворяют

выше­

приведенным условиям (I), (II) и (III). Докажем единственность.

Предположим, что g(t)

и 7г(£)<= С+ также удовлетворяют условиям

(I), (II)

и

(III).

Тогда

g ( t ) - g { t ) = h (t)-% {t)

для

всех

t > 0.

Если

существует

t, >

0

такое,

что

g(ti) — g(t-t) > 0,

то

положим

tz= max{t < t,: g(t) — g(t)= 0).

Тогда

g { t ) > g (t )> 0

для

всех

t e (£2I

f,] И} следовательно, согласно

(III)

h(t,) — h{U)= 0.

Так как

Ъ(£) — возрастающая функция, ToOCg^fj) — g (tj) = h (fx) — h (fx)

h (f2) — h (t2

= g (f2)— g(t2) — 0 -

Из этого противоречия заключаем,

что g(t)<g(t)

для всех

t > 0.

По симметрии,

g(t)>g(t)

для

всех

t > 0. Следовательно, g(t) =

g(t),

и поэтому h{t) =

%(t).

формулами

Отображения

(х, /) >-*-g

и

(х, /) -+■ /г,

задаваемые

(4.9)

и

(4.10),

будут

обозначаться в

дальнейшем

соответственно

через g = ГДх, /) и й =

Г2 (х, /).

Т е о р е м а

4.2.

Пусть

(Х(£),

B(t),

ф(<)) — система

действи­

тельных случайных процессов, определенных па некотором вероят­

ностном

пространстве,

таких,

что

B (t) — одномерное

броуновское

движение с //(0)*” 0, Х(0)

и процесс \B(t)}

независимы и с

веро­

ятностью единица

для

всех

t >

0 ,

ф(£) — возрастающая

функция с

(I)

X (t)> 0

ф(0 ) - 0

такая,

что

j /{0}(^(.?))^ф(«) = ф(0;

(И)

О

Х(£) =

Х (0) + Я(£)+ф(£).

(4.11)

Тогда Х = (Х(£))— отраженное броуновское движение на [0, °°).

Уравнение

(4.11) называется уравнением Скорохода.

и

ф =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

лемме

4.2

X = (X(f))

= (ф(£))

единственным

образом

определяются

через

Х(0)

и

В = ( B ( t ) ) :

X =

1\(Х(0),

В)

и

ф =

Г2 (Х(0), В ). Для того

чтобы

доказать теорему, нам нужно только показать, что если х< — одно­

мерное броуновское движепие, то X ( t ) = \xt\ удовлетворяют

выше­

приведенным свойствам с некоторыми процессами B(t)

и ф(£).

Пусть gn (х) — неотрицательная непрерывная

функция

на R 1

с

но-

оо

сителем

в

(0,

1/п)

такая,

что

j gn(х) dx =

1.

Положим ип(х)—

И

V

о

'

= j* dy^gn (z) dz. Тогда легко убедиться, что ипs C2 (R‘ ) |ип\

1,

ип{х)\\х\ и ип (х) -> sgn х

при*) п оо. Согласно формуле Ито

X

t

и п {xt) ■iiyi(х0 в

(*^s) dxs -4-

ип {х^ d$ 33

о

о

t

о

»

— J ип {ха dxs +

j gn(— У) ф (f, */) + J gn (у) Ф (f, у) dy

О

— во

О

тде ф(£, у) — локальное время

броуповского движения х%. Устре-

t

В (t) = f sgn [xt) dxs и

ф(f) = 2ф (t, 0).

Тогда,

поскольку

<5>( =

f,

TO 5 (f) — (^",) -броуновское

движение,

где (iFf) == (iF?) — естественный поток для xt.

Так

как

X (0)

^“о-измерима, то

X (0)

и

iB(t)}

независимы.

Имеем

ф(1 ) =

t

х

= lim

\/[ 0,е) (X (s)) ds.

Поэтому ясно, что Г /{0>

($)) dxp (s) = ф(f).

610^^

0J

результат, принадлежащий

Леви.

броуновское движение

С л е д с т в и е .

Пусть B(t)— одномерное

такое, что В (0 ) = 0 . Тогда

/ 5 ( f) — min 5(s)l эквивалентны по

<1 ) процессы

{15(f) 1} и

распределению;

\

O^s^t

}

х

(И) lim ^- f /[о.е) (B (s) — min B(u)\ds = — min 5(s).

elo “ 6 •'

\

0-£u<s

/

0

о

(

1 ,

я > 0 ,

*) sgn я = |

0,

ж = О,

1 — 1,

ж < 0 .

s 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ

129

<

А /(() ■■ [ /(0,оо) {х (s)) dx (s)

является непрерывным мартингалом с

6

t

<Л/> (£) =

] /(о,со) {х (s)) ds.

Легко видеть, что Н т <М> (t) =

оо п. н.

о

если сц = min{f: ж(£) =

0},

Xi = min(£>

<v. x{t) =

Действительно,

—1>,

a„ =

im n{£>T„-i: ж(£) = 0},

т, =

т т ( 1 > 5 „ : x (t)— —1},

Tn

. . .

и

= J /(o,oo) {x (s)) ds,

то согласно строго марковскому свопст-

uy

а п

{£„} независимы и оди­

x(t) (теорема Н-6.4) легко видеть, что

|l + %2 + . . . +

5в “ *■

00 п. н. Отсюда следует, чтоПш

\/ (0iOo) (х (s))ds=

=

оо п. н.

Положим

it o o

J0

т f

inf ju;

j

/ (0>oo) {x (s)) ds >

t

Согласно тооромо

II-7.2 Л/(т,) — одномерное броуновское

движение.

Кромо того,

легко

видеть, что

процесс X(t) =

x (х,)

непрерывен и

X ( t ) X ) дли

всех

1> 0

и.

и.

Поотому

ф(£):=<р(т(, 0) = Х (£ )—

•

X (0) ~М(т()

непрерывен

по

t

и

удовлетворяет

условию

j

I m (X (s)) dcp(s) — ф (t) п. н. Следовательно,

{X(t) =

х (т() ,

B(t) =

О

М(Т|), ф (£ )= ф (т(, 0)} — система,

удовлетворяющая

условиям

=

теоремы 4.2. Таким образом, имЬом следующий результат.

Т е о р е м а

4.3.

Пусть x (t)— одномерное

броуновское движение

и

I

С

I

Положим

Х(1) = х{ т,).

Тогда

Т( — inf |м: j

/[0,оо) (х (s)) d s>

£|.

X (t)— отраженное броуновское движение.

Если x(t)~ — (—x(t))\/ 0, то аналогичным образом получаем

t

х (£)~ — х (О)- =

— j

/(-«.о) (х (s)) dx(s) +

ф(£, 0).

о

t

Пусть Т]( =

inf ju: j

0) {х (s)) ds >

t

Xt —

j

/(—oc,o) (®(s)) dx(s)r

B{t) = N(v\t)

и

У(£) — —х(ц ()- Тогда

Y(t)— также

отраженное

броуповское

движение. Как мы видели выше,

X =

Г ,(Х (0),

В) и

y = ri(F (0 ),

В). Так как <М,

N> *= 0,

то согласно

теореме

II-7.3

процессы

В

и

В

независимы.

Следовательно, если Х (0)

и

У (0)

независимы

(например,

в

случае

х (0) = х

п. п.

для

некоторого

9

с. Ватанабэ, Н. Икэда