книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА

183

Предположим, что

решение (X,

В) задано па вероятпостпом про­

странстве (Q,

Р) с потоком

t). Без

ограничения

общпости

можно считать, что эта система

удовлетворяет условию (4.1). Вы­

берем у е si-r' 1 ограниченной или,

в более

общем случае,

удовлет­

воряющей условию

[ехр

X)|2ds

<

оо

для каждого t >

0.

Тогда

I

v

ехр Jу (s, X) dB (s) -

М (t) =

± Jj|y(s, X) |* Ц

(4.7)

является (STt)-мартипгалом. Пусть Р =

М •Р. Согласно теореме 4.1

t

B(t) = В (t) — J у (s, X) ds

(4.8)

о

пространстве

(Q, SF, Р) с потоком

(^ ",)|>0. Действительно, так как

X в (4.2) совпадает теперь с

J Y(*, X)d2?(s)f =

i )

( * ) ) : - Y(t),

о

\

*—1 о

I

В1(t) =

В* (t) - <5\ Y > (t) =

В{ (*) - j

у1 ( S , X) ds е= jr*’loc

О

и <5!, В1} (t) — <В\ В3} (t)=

из чего

следует, что В является

dX(t)=>a(t, X)dB(t) + [p(t, X)+os(f, X)y(f, X)]<ft.

(4.9)

Отсюда следует,

что (X(t),

B(t))

— решение стохастического

диф­

ференциального

уравнения

(4.9)

на вероятностном пространстве

(Q,

3~, Р)

с потоком (@~t) оо- Таким образом, мы получили реше­

ние

(4.9)

посредством применения преобразования сноса к реше­

нию

(1.1).

Кроме того, если выполняется условие единственности

ограничения

общности можем

предположить,

что

у е £ФТ’ 1

имеет

вид y(t, w) =

a*(t, in)ri(£, w)

с

некоторой

(a*(t,

w) e

e s l T-d— транспонированная a (t,

w) ;

как обычпо,

мы рассматри­

ваем ее как липейное отображение R*

Rr.)

Действительно,

пусть

184

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Rr =

a*(f,

w) (R1*) © a* (f, w) (R**)-1- — ортогональное

разложение

и

t(t,

w) = ^i(t, w) + ^ ( f,

W) при этом разложении. Тогда ^ е ,р£г.

и

Чи

очевидно,

ограничена,

если

j

была

ограниченной

а (£,

w)i(t,

w) =

a(t,

w),

так

как <x(t, w)^2(t,

w) =

0, что>

видно из соотношения

(a(t, w)^2(t, w),

y) = {'у2(^

w),

a*(t,

w)y)~

= 0

для любого

y ^ R d. Наконец,

выберем ц(£,

w)

из

аффинного

пространства ly:a*(t,

w)y =

*{,(t,

и;)}

в Rd такую,

что

т | е ^ '';

определеппым функционалом от X:

I

t

t

M(t) = exp

Jv(e, X)dB(s)~ -|-JI Y (S, X)V ds

^0

0

*= exp JJ Ц(s, X) dMx (s) — у

J|| a* (s, X) T]( S , X) J* dsl,

где

'0

0

j

t

t

Mx (?) =

X (t) - X (0) - j* p (s, X) ds =

j' a (s, X) dB (s).

о

0

[

1

t

-

— J Y (s>%)dfi(s)~- Y

J*||Y (S, £ ) f d s

,

U

0

-

t

В (t) = S{t) +

j у (s, X) ds,

о

§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА

185

образованием

сноса из некоторого решения (1.1), и,

следовательно,

н сочетании с

вышеприведенным

замечанием из

единственности

решений для

(1.1) получаем единственность решений для (4.9).

Резюмируя, получаем следующий результат.

Т е о р е м а

4.2. Если уравнение

(1.1) имеет единственное реше­

решение (4.9)

получается из решения

(1.1)

посредством преобразо­

вания сноса.

Предположим, [5 е s4-d-1— ограниченная

функция.

С л е д с т в и е .

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение

dX(t) = dB(t)+$ (t, X) dt

(4.10)

(т. e. стохастическое дифференциальное

уравнение (1.1)

с

a — I,

где I — единичная матрица) имеет единственное

решение

и оно

строится следующим

образом. Выберем

на

некотором

вероятност­

ном пространстве (Q,

ЗГ, Р) с потоком

(3Ft) (Ss0,

удовлетворяющих

условию (4.1), d-мерное (@~t)-броуновское движение B(t)

с В(0) =

= 0 и d-мерную ЗГ0-измеримую случайную величину ^С(О)

с задан­

ным распределением р. на- R*. Положим

X(t) = X(0)+B(i),

7

t

-*

M(t) =

exp

J* p (S, X) dB (s) -

± J Щз, X) I* ds

,

0

0

-

1

P =

Л/-.Р,

t

B(t) = B { t ) - j P(s, X)ds.

0

Тогда

(X(i),

# ( £ ) ) — решение (4.10)

на вероятностном пространст­

ве (Q,

ЗГ, Р)

с потоком (STt) ^ 0.

Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение

(4.10)

всегда решается, и единственным образом, посредством мето­

циального уравнения вида (4.10), решепие

которого

не

является

сильным.

4.1 (Цирельсоп

[178]).

Пусть

d = 1,

и определим

П р и м е р

|1Ц, w)^ М 1'1

следующим образом:

пусть

0(ж) = ;r(mod 1) = х —

■■[х] е [0,

1),

ze=R‘ , и

пусть

U*: /с == 0, — 1

- 2 , ...} — последова­

тельность такая, что 0 <

th~t < t k и lim

tk — 0. Для w e W

положим

( w(tb) — w(tk-1)\

h-*—*o

P(t, w) =

если t s-- [f&, fftj-x), fc — —■1)

' 2, ..

V

* * - f* -i

/ ’

если t = 0 или 1 t 0.

(4.11)

0,

§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА

187

1faK как

V $ г +1 =

:э

то, устремив Zt <», получаем

в**"™ = £ [е2я^+11 Г *

] = lim £ [e2I,iT1*+i |<^+1] =

О

l-foo

(см. теорему 1-6.6). Но ото, очевидно, является противоречием.

4.2.

Замена времени. Другим вероятностным методом, применяе­

(III)

ф( t

00 при И

оо.

ф ^ I,

то ф-1 ^ I.

Очевидно,

если

ф-1 — обратная функция для

I — подмножество W 1, и борелевские поля, индуцировапные ^ (W 1),

i? ((W '),

обозначаются

через ^ (1)

и 38t’(l) соответственно. Каждая

ф е 1 определяет преобразование

I4 пространства

W* в

себя

по­

средством равенства

Г *: w е

W" — (Г*!г) е W ',

(4.15)

где (Т*w)(* )- W (ф( О» *е

[0,

оо). Т* называется

заменой

времени,

определенной посредством ф ^ Г

с

потоком

Пусть

задано вероятностное пространство (£2, £Г, Р)

о-

Рассмотрим

отображение

ф: £2э ю *-►ф(to)е

I, которое

^ “(1 ^ (1 )-измеримо

для каждого

t. Такое ф = ( ф (((о))

называется

процессом замены

времени. Очевидно, Ф = (ф1 (<«>))— (^^-согласо­

ванный возрастающий

процесс, и, следовательно, если фГ1 (to) — об­

ратная функция к t ь-» ф( (со),

то фГ1 —

4) -момопт остановки

для

каждого

фиксированного

t е

[0,

оо).

Если X = ( X ( t ) ) — непрерыв­

ный (^^-согласованный процесс, то

Т*Х = ( (Т^Х) (t)),

определен­

ный равенством (Г ФХ ) (t) = X (фГ1)] является непрерывным

вый поток

(#"<) равенством

3Tt = 3r _ ь

t е [0, °°). Класс *#з’1осот-

носительно

8Г%обозначается

через

Важным следствием тео­

если X е

1ос, то ГФХ е Ж\’1йС, и если X , 7 G

то

<Т*Х, 7 *7 )= ТЧХ, У>.

(4.16)

188

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

dX(t)=a(t, X)dB(t).

(4.17)

С1< а (М е ’)< (7 2.

(4.18)

Как мы видели в теореме 4.2, если мы решим уравнение

(4.17), то

мы сможем

решить

и

более

общее уравнение, имеющее снос

Р [t, w)dt, посредством метода преобразования сноса.

{ЗГ,)-броу­

Т е о р е м а

4.3.

(I)

Пусть

b = (b(l))— одномерное

стве (S3, ЗГ, Р) с потоком

о, и пусть X (0) — (&~о)-измеримая

случайная

величина. Определим непрерывный процесс £ = (| (t))

равенством

\{t) = Х (0 )+ b{t).

Пусть ф=(ф<)— процесс

замены

времени такой, что га. к.

t

ф( = | о ( ф „ Г фб )-* * .

(4.19}

О

Тогда, если положим X = 7 ,<р| (m. е. X{t) = \(фГ1) = X (0) +

Ъ(фГ1) )

такое, что {X(t),

B(t))

является решением (4.17)

на вероятностном

пространстве (£2,

ЗГ, Р)

с потоком {ЗГ,),>0.

(4.17) на вероят­

(II) Обратно,

если

(X(t), В (t))— решение

поток {ЗГ,),>0, {ЗГ\)-броуновское движение b={b{t))

с

6(0) = 0 и

процесс

замены времени ф = ф(£) относительно

потока

{3Tt),

та­

кие,

что если положим |(£) =

Х(0) + b(t),

то

(4.19)

выполняется

га. га.

и X = Т91 . То есть любое решение уравнения

(4.17)

может

быть задано таким же образом, как в части (I)

настоящей теоремы..

С л е д с т в и е . Предположим, что заданы одномерное

(&"t)-броу­

новское

движение

b = b (t ) и

ЗГ„-измеримая

случайная

величина

Z(0).

Определим

| =(£(£))

равенством

%{t) — Х { 0 ) + b{t).

Если

существует процесс замены времени ф

такой, что

выполняется

(4.19), и если такое ф единственно (т. е.

если i|?— другой

процесс

замены времени, удовлетворяющий (4.19),

то ф ( £ ) " ф ( 0

п. га.), то

решение

уравнения (4.17)

с начальным

значением

Х(0)

су­

Д о к а з а т е л ь с т в о . (I) Если b={b(t)), Х (0 ^ и

ф=(ф() опре­

делены согласно части (I) теоремы, то М = Гф6 <=

и <Af> (t) =