книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы
..pdfё 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ |
111 |
|
Наша задача эквивалентна нахождению |
такого, что |
|
t |
t |
(2.4) |
У (t) = у + J в! (У («)) dMs + |
j а2 (У (*)) dAs. |
Оо
Положим |
<р(£) = t + <Л/>( + |
|у1 |(, |
где |Л|( |
обозначает |
полную |
ва |
|
риацию функции |
[0, t] э |
s <-* As. |
Тогда |
ср — процесс |
замены |
вре |
|
мени. Применяя замену времени Гфк (2.4), получаем |
|
|
|||||
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
У (t) = |
У + J « 1 (у (s)) dMs + J «2 (У (*)) dAs, |
(2.5) |
||||
«М |
<V |
О |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где У = ГФУ, = ГФД/ и А — ГМ. Достаточно показать существова
ние и единственность процесса У, удовлетворяющего |
(2.5). Так как |
<М>г = <М>ф_ 1(4) и 2 , = Лф_! j, то легко видеть, |
что t*-+t — |
- < M } t -\A\f является возрастающей функцией. В частности, име
ем d(M>, < ds и л и к |
ds как меры Стилтьеса п. н. Построим ре |
|
шение посредством последовательных приближений: |
||
Y w (t) = |
y, |
|
Y W (t) - |
У I ,f я, (У (,'~1> (*)) йМя-I- j' (F (n" ,) (a)) d l„ n = 1 , 2 , . . . |
|
|
i> |
0 |
Пусть задано Г > 0, и опо фиксировано. Положим Кт= 2К*(1 + Т),
гдо К — константа Липшица |
в |
(2.2). Тогда, |
если t е [О, Г], |
то |
|
Е{ I У“ >(t) - |
У(0) (t) |*> |
= |
£ {[«, {у)М< + а2 (у) Я,]*) < С», |
|
|
где Cl = 2(al(y)zT + а2(у)гТ2) |
. Предположим теперь, что |
|
|||
Е [ I У(п) (*) - |
|
(f) I2) < |
1 |
|
|
для некоторого п 5* 1 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ 2Д |
j' [a, (У<*> (*)) - a2 ( y (n-1) (,))] d | Л | ] ):= |
h + |
112 |
|
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
||||||
< 2КаЕ ( J I F (n) (*) - |
F (n-1) (s) |2) ds = |
2 Z 2 u |
{I F (n)(в)- Y (n~v (s)|2)ds |
|||||||
|
lo |
|
|
|
J |
|
0 |
|
|
|
h < 2E ||JT|e| к |
(F (n) (*)) - |
a2 (F (" - 1) (S) ) ] 2 d\Л(, < |
|
|
||||||
|
< 2E {t j [a2(F ("> (.)) - |
a2(F (n- 1) (s) ) ] 2 ds} < |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2F£ |
2 j £ 11 F (n) (s) - |
F (n_1) (s) |2} ds. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ l|F(n+1 )( t ) - F (n)(0 l4) < ( 2 ^ |
+ 2ГЯг) j E [|F(n)(s) — F (n_1 ) (s)|2 )d s< |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Поэтому неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E ( |F (n+1) (t) - |
F (n) (*) |2} < |
CXK% |
t s |
[О* Г1, |
(2.6) |
||||
получается по индукции. Согласно теореме 1-6.10 |
|
|
||||||||
E { sup |
|F (n+1) (t) - |
F (ri) (i) И |
< |
|
|
|
|
|
||
< |
2 E | sup |
j‘ [ « 1 |
k (n) to) - |
« 1 ( r (n_1) to)] |
to |
+ |
||||
+ |
2E \ sup |
,f[a2 ( F (ll)( s ) ) - a 2 ( ^ n_1 ) (s))]dI(s) |
|
|||||||
|
[o <t <T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( T |
[a1( F (n)( s ) ) - a 1( F (n- 1)(s))]dM(s)J |
j + |
|
||||||
|
; 8 £ ^ | f |
|
||||||||
|
|
|
+ 2E ( ! f |
1a, (F (n) (s)) - |
a2 ( Y ^ |
(S)) |d $\(s)} l |
и вычислениями, подобными вышеприведенным, получаем, что
|
|
|
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ |
113 |
|||||
Последняя сумма мажорируется выражением |
|
||||||||
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 К* j Е { |Y (n) (s) - |
Y (n_1) (s) |2] ds + |
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2TK2- § £ |
(| Y (n)(s) - |
Y (n_1) (s)I2) ds< ( 8 К2+ 2TK2 CxKnT~l ^ |
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||
p ( sup |
1F (ra+1) (t) - |
F (ri) (О I > |
-^r) < const x |
|
|||||
и стандартным |
применением |
леммы |
Бореля — Кантелли получаем* |
||||||
что У*п) |
сходится равномерно на [0, |
У] п. н. Предел Y(t) — непре |
|||||||
рывный |
(#"|)-согласованный |
процесс, |
и согласно (2 .6 ) |
£ ( 1 У„(г)— |
|||||
— У(£)|2)->-0 |
при га-*- оо, |
t е [О, Т\ |
Теперь легко |
видеть, что* |
|||||
Y — (Y(t)) |
удовлетворяет |
(2.5). Чтобы доказать единственность, до |
|||||||
пустим, что |
У, и У2 удовлетворяют (2.5). Тогда, применив выклад |
||||||||
ки, аналогичные вышеприведенным, получим |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
E U Y ^ - Y A W X K T ^ E i l Y M - Y . m d s . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
Усокая, |
при необходимости, |
7i и У2 |
|
моментами остановок, можем |
|||||
предположить, |
что |
функция |
s >-*£{( Y x(s) — У 2 (s) |2} |
ограничена* |
В 10, Т]. Тогда из приведенного выше неравенства легко заключить* что У, = У2.
С л е д с т в и е . Пусть о}(х), i = 1 , 2, ..., |
d, у = 1, |
2, ..., г,— |
действительные непрерывные функции на Rd, |
дважды |
непрерывна |
дифференцируемые с ограниченными производными первого и вто
рого порядков. Тогда |
для заданных dX\ dXz, ..., dXr ^dQ |
и у = |
||||||
= (у\ Уг, •••> y<i) e |
R<J существует единственный набор квазимартин |
|||||||
галов У1, У2, ..., |
Ydе |
Q таких, что |
|
|
|
|
|
|
[ Г 1(0) = |
у\ |
|
|
|
|
|
|
|
{ d Y * (t) = |
£ |
<Jj( F (t)) о d X |
* (t), |
1= |
2 ’ ' ‘ ‘ '’ |
d ' |
( 2 ‘ ? > |
|
v |
|
j=i |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Система |
(2.7) |
эквивалентна |
системе |
г |
d г |
Л*W= 2а](У(*)ИХ’>) +4-2 2(г5®Я(У
|
i=i |
й= 1 |
|
7 |
|
г |
г |
d |
|
= |
2 a } ( Y ( i ) H |
X j ( f2) + 4 - |
/ |
|
|
j=l |
j,Z=l ft=i |
(2.7)- х 7
(*) -
8 С. Ватанабэ, H. Икэда
114 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
Эта система уравнений является частным случаем |
(2.1). Коэффици |
||
енты а) и |
удовлетворяют условию Липшица |
согласно |
|
/i=iдх |
следствия. |
|
|
предположению |
теорема |
сущест |
|
Таким образом, установлена достаточно общая |
вования и единственности решения уравнений для семимартингалов. Ниже приводятся примеры, для которых решения могут быть вы
писаны явно. |
|
|
d = 1, и |
рассмотрим |
для заданного |
|
П р и м е р * ) 2.1. Пусть |
||||||
X ^ Q |
с Х№— 0 следующее уравнение: |
|
|
|||
|
|
dYt = |
a (Y t) ° d X t + |
b(Y t)-dt, |
|
|
|
|
Г 0 = |
У, |
|
|
|
где о е |
С2 (R1 -*■R) |
с ограниченными а' |
и а", а Ъ является лишпи- |
|||
цевой |
функцией. |
Согласно |
следствию |
к теореме |
2.1 существует, |
и притом единственное, решение. Находится оно следующим обра зом. Пусть и(х, z) — решение уравнения
z)= a(u(x, z)),
и(х, 0 ) = х.
Пусть D, — решение уравнения
Гx t
^ = exp — j а' (и (Dt, s)) ds b(u(Dt, Xt)),
Р 0= У-
Тогда решение У задается равенством
Yt = u(Dt, Xt).
Действительно, согласно правилу дифференцирования сложной функции (1.14)
dYt = |
а(и(Dt, Xi))adXt + |
( |
x t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
|
|
(Dt, X t) exp I — j |
a' (u (Du s)) dsJ b ( u ( A , X () ) . * . |
|||
„ |
d du |
= |
a |
i i i |
w du |
ди |
, |
n\ |
A |
Но из |
|
(u (x, z)) |
и — |
{x, 0) = |
1 следует, что |
||||
|
|
|
|
du |
i . |
|
|
|
* |
|
|
|
|
— |
(X, z) = exp |
|
|
и поэтому dYt — a(Yt)° dXt + b ( Y t)'dt.
*) Досс [42].
|
|
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПО КВАЗИМАРТИНГАЛАМ |
|
415 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
2.2. |
Пусть Ah= 2 |
А{ (х) |
— С°°-векторное |
поле *) |
|||||||||
ни Rd, |
к — 1, 2, |
|
|
|
j=1 |
что производные |
первого и |
|||||||
..., г. Предполагаем, |
||||||||||||||
второго порядка всех коэффициентов ограничены. Для |
заданных |
|||||||||||||
Х\ X2, ..., Г е С |
с |
Х * = 0 , |
i = 1, |
2, |
..., |
г, |
и г ( | ' , |
|
|
|||||
■е R* рассмотрим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dYl (t) |
= |
21 At (У (t)) о dXh (t), |
i = |
1,2, |
..., d. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
H= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ^ ( 0 ) = |
^, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[I]**). Если векторные поля At, A2, |
Ar коммутативны, т. e. |
|||||||||||||
[Ap, Aq] = 0, |
p, |
q = |
1, 2, ..., |
г, то |
отсюда |
следует |
интегрируемость |
|||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ят/г |
|
A}(u(z,z)), |
i = |
1, |
2, . . |
d, |
j = |
1 , 2, . . . , |
r, |
||||
|
—r(z,z) = |
|||||||||||||
|
ozJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(z, |
0) = |
z e |
Rd, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, таким образом, |
имеем решение |
u(z, z) = (ui(z, |
z), ..., ud(z, z)). |
|||||||||||
Если положим Y] = |
чг (у, X(), |
i = |
1, 2, |
. . . , |
d, |
где X t = (X j, |
Xf, . . . |
|||||||
. .. , X(), то из правила дифференцирования сложной |
функции |
|||||||||||||
(1.14) |
немедленно |
следует, |
что Y — (У }, F?, . . |
Yf) |
— решение |
|||||||||
уравнения (2 .8 ). |
|
|
|
|
некоммутативный |
случай, |
предпо |
|||||||
[И] ***). Рассмотрим теперь |
||||||||||||||
лагая, что векторные поля Аи А2, ..., |
Аг удовлетворяют |
условию |
||||||||||||
|
|
\Аи |
|
А к]] = |
0, |
i, |
/, * |
= |
1 , 2 , ..., |
г, |
|
(2.9) |
т. е. алгебра Ли & (Л„ Л2, .. ., /1г), порожденная полями А2, А2, . . .
..., Аг, нильпотонтпа с индексом нильпотентности два. Тогда реше
ние уравнения |
|
(2.8) |
задается |
следующим |
образом. |
Пусть |
3£> — |
||||
{(I, J): \ < К |
J |
г) |
и |
20 — (1, 2, ..., |
г} Uiz>. Для |
z = (z1) ^ ^ |
|||||
рассмотрим следующую систему уравнений: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
i-i |
|
|
|
|
|
|
|
- |
4 |
(“ (*)) - |
2 |
z4 |
.i (“ (*)), |
* |
- 1 , 2 , . , |
|
(2.10) |
|
|
° Z |
|
|
|
р=1 |
|
|
|
|
||
|
дип |
= |
A'j'U(и (z)), |
! < / < & < ? • , |
|
h = i , 2 , . . . , d , |
|
||||
|
9zO,k) |
|
|
||||||||
*) |
См. главу V, § 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
**) |
Досс [42]. |
|
|
|
|
|
|
|
[187]. |
||
***) |
Дополнительную информацию на эту тему можно найти у Янато |
8*
116 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
где Afth(x) определяется равенством
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 * ( * ) ^ й |
= |
Г 4 А ]: |
= Aj<k. |
|
|||
Можно |
доказать, что |
из |
(2.9) |
следует |
условие |
интегрируемости |
|||
(2 .1 0 ), |
и |
поэтому |
для |
заданного |
j e R 1 |
имеем решение |
|||
(и*(х, z))(_ 1,2 ......л уравнения |
(2 .1 0 ) |
такое, что |
и*(ж, 0)=х\ i — |
||||||
= 1, 2, ..., |
d. Пусть |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l < / < f c < r , |
|
||
|
|
X{'k = |
§Xi*dXks, |
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
и Х , = (Xf)Isgj. Тогда У| = иг(у, Xt), i = 1 , 2, . . d является ре шением уравнения (2.8). Действительно,
3=1 K K I K r " 1
= |
2 |
4 |
(У,) • dX{ - |
is |
2 |
4,3 <Xt) X’i . d x l + |
|
|
||||||
|
3=1 |
|
|
|
з‘= 1 ft= l |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ |
2 |
|
Aik(Yt) X { o d X ^ |
2 4 ( F t)odX|. |
||||||
|
|
|
|
|
K j< .k < r |
|
|
|
|
|
3 = 1 |
|
|
|
Например*), |
если |
d = 3, |
r = 2 |
и |
Лх = |
+ 2ж2 |
Аг = ~ |
— |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx° |
dx- |
|
— 2a:1 / 5 , то |
решение |
У, = (У?, |
У*, |
У?) |
задается |
равенствами |
||||||||
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y i - y i + X,1, |
y f _ y » + |
X f |
|
и |
|
y » = y* + |
2 (y 2X j - p iX ? ) + |
|||||||
+ 2 ^J X* оdx\ - |
J x ; оdx|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
решение |
Y(t) = (Y'(t), Y*(t), ..., |
Ya(t)) |
уравне |
||||||||||
ния (2.8). Если С2-функция /(ж), |
определенная на Rd, удовлетворя |
|||||||||||||
ет условию |
Л */= 0, |
к = |
1, 2, |
..., |
г, |
то |
f(Y(t)) = f(y) |
для |
всех |
|||||
On. н. Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
df (У (*)) = 2 |
dif (Y (t)) . dYl(t) = |
2 |
2 |
4 |
(У (*)) |
(У (*)) о dxht = |
||||||||
i = l |
|
|
|
|
|
4=1 fe=l |
|
|
" |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
,Д ( 4 /) (У (t))cdx\l |
= 0 |
*) Гавё Г231.
|
|
§ 3. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ МАРТИНГАЛОВ |
117 |
|||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, еслиArf => V |
A)t(х) ^Ц-(х), к = |
1, 2, |
d, с А\(х) = 6 ^— |
|||||||||
|
|
|
|
г—1 |
|
ete1 |
|
|
|
|
<2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
— |
|
а:|*, а: = (х1, х2, . . . , a ^ ) e R d\{0}, |
то |
f(x) = |
|
|||||||
|
2 (^)* удовлет- |
|||||||||||
иоряет условию Лй/ = |
0, к = |
1, 2, . . |
|
|
|
|
г = 1 |
все |
||||
d. Поэтому решепие У(£) |
||||||||||||
гда |
остается |
на сфере |
с |
центром 0 |
и |
радиусом |
|у| (=|У (0 )|). |
|||||
Если |
выберем |
Хк |
|
к = 1, 2, . . |
d, |
с |
dXk•dXl — Ьы•dt, |
т. е. |
||||
(X1, X2, |
Xd — d-мерный винеровский процесс, то тогда решение |
|||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
| d F 4 *)= |
2 |
4 |
(Г (* ))» « ? . |
, |
, о |
|
а |
|
||
|
|
j |
|
ft=l |
|
|
|
4 —- А* |
• • •» t*'t. |
|
ly*(t) = Г,
определяет броуновское движение на сфере с центром 0 и радиу сом lyl *).
§3. Неравенства для моментов мартингалов
1Различные неравенства для момептов мартингалов рассмотрены, например, Мойером |124] и Гарсия [24] в связи с мартингальной версией теории //*’ пространств. Здось мы в качестве приложения стохастического исчисления получим основные иеравенства для не прерывных локальных мартингалов.
Т е о р е м а |
3.1. |
Существуют |
универсальные |
константы |
сР, |
|||||
CV(Q< р < °о) |
такие, что для каждого |
М е |
Ж ( = М\'ш ) и t ^ O |
|||||||
|
срЕ (М(*2Р) < Е (<М, М>?) < |
СРЕ (М ГР г |
|
(3.1) |
||||||
где М* = max |Ms|. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
для ограни |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о * * ) . Достаточно доказать |
||||||||||
ченного |
мартингала M = (Mt), так как общий случай легко следует |
|||||||||
методом |
усечения. |
Действительно, |
полагая |
Т„ = |
in fU: |
\M(t)\&*n |
||||
или <М>( > п), |
имеем Тпt °° п. н., |
и если (3.1) |
выполняется |
для |
||||||
М Тп = (Л7тпд<) |
с не зависящими от п ср и Ср, то, переходя к пре |
|||||||||
делу при п -*• |
|
|
получим справедливость (3.1) для М. В доказа |
|||||||
тельстве |
вместо |
<М, МУ будем писать |
А. |
Согласно |
неравенству |
|||||
(6.16) главы I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( М Г Р) < ( ^ Ё 1 ) " ^ ( 1 М 4|Р), |
р > |
1. |
|
(3.2) |
*) Это представление сферического броуновского движения принадлежит Струну [156].
**) Доказательство следует статье Гетура и Шарпа [25].
118 |
|
ГЛ. Ш . СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
С л у ч а й |
1. |
Если р = |
1, то |
|
|
Е{(М, М>() = £(М?), |
|
и, следовательно, с учетом |
(3.2) получаем (3.1) с с , = 1/4 и С , = 1. |
||
С л у ч а й |
2. |
Если р > |
1, то |
£ (М Г -")Х (2р/(2р - 1))2р £ ( IМ , Г ) .
Так как |ж|2р принадлежит классу С2, то можно применить форму лу Ито, и тогда получаем
t |
|
|
|
sgn {Ms dMs + p ( 2 p - l ) j |Ms\2p~2dAs. |
|||||
|Mt Г = j |
2 р |Ms Г - 1 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Беря математические ожидания, получаем |
|
|
|
|
|||||
E(\Mt Г ) < |
р (2р - |
1) Е ^ f |Ms12p' 2dAsJ < |
|
|
|
|
|||
< р (2р - |
1) £ |
(Mt!P~2At) < p ( 2 p - l ) E (M t2py - 1/P'E ( 4 ) 1/P- |
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E (МГР |
< |
(2p/(2p - |
1))2P p (2 p — 1)2? (МГ2Р)1_1/Р £ ( 4 ) 1/p, |
||||||
откуда следует левое |
неравенство |
(3.1). Чтобы |
доказать |
правое не- |
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
равенство (3.1), положим Nt = |
[ A[?~1^'ldMs. |
Тогда |
p(N , 2V> = |
||||||
t |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= р j 4 _1^ 4 == Лр |
и, таким образом, 2? ( 4 ) |
= |
pZ? (./V2). |
Согласно |
|||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MtA{tp~1)l2 = |
t |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
J 4 |
p~1 /2dMs + j‘ Msd ( 4 P_1)/2) = |
Nt + j |
Msd ( 4 P_1)/2), |
|||||
|
o |
|
o |
|
|
|
0 |
|
|
и поэтому |Nt|^ |
2Mf*4P~1>/2- Следовательно, |
|
|
|
|
||||
■j- E ( 4 ) |
= E (iV?) < |
4E (M f24 _1) < 4E (M ?2p)1/p £ |
|
и, таким образом,
2 ? (4 )< (4 p )p i?(M ?2p).
§ 3. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ МАРТИНГАЛОВ |
|
119 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<• |
|
С л у ч а й |
3. |
Пусть |
0 < р < 1. |
Положим |
Nt = |
J 4 р -1 )/2йМ,,. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
о |
|
|
|
|
Е (4) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда, как и выше, |
рЕ (N2) и Mt = J ^ 1 _р)/2йЛг8.Согласно |
|||||||||||
формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nt4 1 - р)/2 = |
J 4 l- p)/2dATs + |
JЛГ<й ( 4 1~р)/2) = |
|
M t + J JV4d ( 4 1-p)/2) |
||||||||
*, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|M (|< 2 Л^ГЛ^Р)/2. |
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
М* |
2N*A\X р)/2 и согласно |
неравенству Гёльдера |
|||||||||
Я (M t*2p) k 22р £ (JV,*2P4 |
(1_P)) < |
22р£ (iVDP Е ( 4 ) 1-р < |
|
|||||||||
< 22Р4Р£ (tf? )рЯ ( 4 ) 1_р = |
(16/р)р £ ( 4 ) р £ ( 4 ) 1_р = |
(16/р)р £ ( 4 ) - |
||||||||||
Наконец, мы должны показать, |
что |
Е(Ар)^ .С рЕ(М*2р). |
Пусть |
|||||||||
сс — положительная |
константа. |
Применив |
|
неравенство |
Гёльдера |
|||||||
к тождеству |
Avt = |
[ 4 |
(а + М *)-2р(1-р)] ( а |
+ М*)2р(1~р\ |
получим |
|||||||
£(4)< (E(At(a + M*t)*p~l))}p{£((а + М?)2р)р-р. |
||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая Nt = J (а + M * ) p _ 1 йМ», имеем |
|
|
|
|
||||||||
|
О |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ДГ, |
|
- |
J (а |
+ МГ)а(р- 1 )й 4 > 4 ( а |
+ M ?)2(p- 1). |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле Ито |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
М, (а ь Л/ ? ) * — 1 |
- , [ ( « + М ? ) р" |
1 ЙМ* + |
J МЛ ((а + М |
^ - 1) = |
||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Nt + |
(Р - |
1).( М* ( а |
+ М*У~ 2 ЙАГ; |
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
||
|
|
- р) Jt м У -^dMt = j мГр. |
|
|||||||||
I Nt |<мГр +( 1 |
|
о
ГЛГ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1 2 0
Поэтому E (N 2t) ^ —2E (M t2P Для каждого а > 0 и, таким образом,
р
Е (И?) < р - 2р [Е ( МТ2Р )Р\Е ((а + МГ)2р)]1-р. Переходя к пределу при а 1 0, заключаем, что
£(Д ? ).< Р “ 2РЯ(М Г2Р).
§4 . Некоторые приложения стохастического исчисления
к броуновскому движению
4.1. Броуновское локальное время. Пусть X = ( X t) — одномерное броуновское движение, определенное на вероятностном пространст
ве (£2, |
Р). |
4.1. Локальным временем или плотностью вре |
|
О п р е д е л е н и е |
|||
мени пребывания X назовем семейство |
неотрицательных случайных |
||
величин {<р(£, ж, и ), |
f e [0, <»), j j e R 1) |
таких, что с вероятностью |
|
единица |
|
|
|
(I)(t, х) у* <р (t, х) — непрерывное отображение;
(II)для каждого борелевского подмножества А из R1 и t > О
Нетрудно видеть, что если такое семейство {<p(Z, х )} существует, то оно единственно и задается формулой
Понятие локального времепи броуновского движения было впервые введено Леви [105], а следующая теорема была впервые установле на Троттером [163].
Т е о р е м а 4.1. Локальное время {ср(£, |
х)} броуновского движе |
ния X существует. |
теорему с применением |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы докажем эту |
стохастического исчисления. Идея этого доказательства принадле
жит Танаке (Маккин [107] и [108]). Пусть |
ЦУ"t) = (&"?) — естест |
|||
венный поток |
броуновского |
движения X. Тогда X — {9~х) -броунов |
||
ское движение |
и X t— Х0 |
принадлежат пространству Ж. |
Пусть |
|
gn{x)— непрерывная функция на R1 такая, |
что ее носитель |
содер |
||
жится в ( — 1 /п + а, l/ra + a), g„(x)> 0 , |
g„(a + ж)**gn(a — х) и |